应用Mathematica计算单摆任意摆角下的振动曲线

谢忠伟

摘 要：本文应用Mathematica软件，绘制在无阻尼自由振动中，不同摆角下，单摆的振动曲线。通过对振动曲线的研究，给出了单摆的周期随摆角不同而变化的定性规律，为高中物理教学提供了便捷的途径。

关键词：Mathematica；单摆；摆角；振动曲线

单摆是由一根质量可忽略且不可伸缩的细线，上端固定，下端系一可看作质点的重物所构成的装置，如图1所示。单摆在摆角小于5°时的无阻尼振动是高中物理中一个作为简谐振动的典型实例。

现取逆时针为正方向，则任意时刻质点所受重力的分力为。当摆角很小时，，得，此即为单摆所受的线性恢复力[1]。此时，单摆运动为简谐运动。

就高中阶段物理而言，如何能够给学生展现出任意摆角下，单摆的振动周期与摆角的关系，就是一个难题。

通过应用Mathematica软件，可使这个复杂的问题，很直观而准确地用图像的方式呈现出来，便于学生理解。本文为了避免使用复杂的计算机语言而带来操作上的困难，因此，基于Mathematica 9应用环境下，使用最简单、最基本的函数语言进行计算实现的。

1.计算在小角度5°和10°时，单摆的振动曲线，如图2所示。

摆角为10°和5°时，在短时间内，振动几乎同步；而随着周期的增加，使两周期的差逐渐累加，便可明显看出10°时的周期略大于5°，如图2。利用Mathematica中“获取坐标”的简单操作，可直接读出各点的坐标。依此，可粗略计算出摆角为10°时的周期为22.00381s；摆角为5°时的周期为2.00095s，而在的条件下，单摆简谐运动的周期为2s。因此，若要求精度不高，可选择摆角小于10°时作为简谐运动进行研究。

2.计算无阻尼下单摆在摆角为5°、15°、25°、35°、45°、55°、65°、75°、85°运动曲线，如图3所示。

由图3可知，随着摆角角度的增加，单摆的振动周期逐渐增加，且随着摆角角度的变大，其周期增速变大。

3.结论。

基于Mathematica软件，可研究任意摆角下，各种情况的振动，如：阻尼振动、受迫振动等。由此绘制的图形，不但精度高且直观，非常适合给高中学生进行定性地分析和讲解。同时，还能有效地拓展学生思维，点燃学生学习的动力。

参考文献：

[1]张三惠.大学基础物理学（下）[M].北京：清华大学出版社，2007.

（作者单位：辽宁鞍山台安县第二高级中学物理组）