中美小学数学教材的比较研究——以三年级“分数的认识”为例

丁 锐，Yan Ping Xin



中美小学数学教材的比较研究——以三年级“分数的认识”为例

丁 锐1，Yan Ping Xin2

（1．东北师范大学教育学部，吉林长春 130024；2．美国普渡大学教育学院，西拉法叶 47907）

对比美国的（简称）和中国人教版两个版本的三年级小学数学教材中有关“分数的认识”部分（主要包括分数的引入、分数的意义、分数的大小比较等）的编写依据、主题、内容设计、组织结构和核心概念及规律的呈现方式等．结果发现，美国的教材在三年级“分数的认识”部分强调不同的分数模型，比较忽视对分母、分子意义的理解；重视概念和规律的严谨性/完整性，但较少鼓励学生探究；同时，该教材注重不同的表征和方法，但是内容之间缺少较为紧密的联系．相比较来说，人教版数学教材在“分数的初步认识”部分则更强调学生对分数的基本意义（整体、分子、分母）的理解，而不是不同模型的介绍；强调通过直观和操作帮助学生建立分数的概念，进行大小比较；鼓励学生对规律进行探索和总结，重视计算和运算规律；内容设计由浅入深、逻辑联系紧密．

教材比较；小学数学；分数的意义；分数模型

1 问题提出

近年来，由于上海在2009和2012年两次PISA测试中名列前茅，各国的教育研究者对“儒家文化圈”（尤其是中国）教育的关注再次升温．教科书的比较研究成了解释东西方教育差异的重要视角．由于分数是小学生对数的认识的一次重要扩充，所以分数部分一直是小学数学教材比较的热点．研究者们对分数的基本性质[1]、分数的概念体系[2]、分数和小数的关系[3]、分数的加减法[4]、分数的乘除法[5~7]等都做了比较研究．其中Charalambos等（2010）的教材比较研究采用了横向和纵向两个大维度，横向包括背景信息和整体结构两个部分，纵向包括与学生交流、对学生的要求以及联系3个方面[4]．Li, Chen, & An（2009）从宏观和微观两个维度进行教材比较，宏观维度主要包括以前的章节内容、页数、教材整体的内容安排、教材焦点内容的组织结构；微观维度主要是指数学的概念化，包括内容的引入、例子的类型、复杂程度和呈现方式，以及练习题的类型和个数等[5]．另外，教材的编写依据是教材比较的基础，而主要核心概念和规律的呈现方式更能反映教材编者的基本理念，因此，研究者从编写依据、主题、内容设计、组织结构、核心概念和规律的呈现方式5个方面来对中国人教版和美国的enVision两个版本的三年级教材中有关“分数的认识”部分的内容进行比较．

2 研究方法

2.1 研究方法

研究主要采用内容分析法，分析框架主要包括5个方面：编写依据（课程标准的要求）；主题（主要内容、与其它相关内容的关系）；内容设计（呈现方式、主要内容的设计等）；组织结构（内容顺序、结构）；核心概念和规律（概念和规律的个数、呈现方式、要求）．

2.2 研究内容

研究主要选取了三年级的“分数的认识”这个内容，主要是因为无论在中国还是美国，第一次比较系统的认识分数都是在三年级，是后面相关内容学习的重要基础．因此，研究者认为通过这个内容的比较，不但可以看出两个教材的编者对分数是如何理解的，更能够透过这样一个比较来发现两个教育体系对类似问题的处理有何不同．具体地说，比较的内容主要包括分数的引入、分数的大小比较、分数意义的理解等．同时，为了说明该部分内容与其它相关内容的联系，也对两个教材的其它年级有关分数的内容进行了简单的整理和比较．

2.3 研究材料

比较了美国的（后面简写为）和人教版的小学数学教材．

其中，是美国Pearson公司2012年出版的小学数学教材[8]，该教材是根据美国2010年公布的《共同核心课程标准（）》（后面简称）编制的．教材是目前美国大陆非常有竞争力的一个教材，有超过600万美国儿童在使用该教材[9]，约占美国全国儿童人口的十分之一．

参与比较的另外一个版本的教材是人教社2014年出版的小学数学教材，该教材依据修订后的《义务教育数学课程标准（2011版）》（简称《标准（2011年版）》）编制[10]．

3 研究结果

3.1 两个版本教材三年级“分数的认识”部分编写依据的比较

两个版本的教材都是在三年级第一次正式出现了分数的内容，教材在三年级有两章内容与分数有关，第九章是“理解分数”，第十章是“分数的比较和等值”．而人教版的小学数学教材在三年级安排了“分数的初步认识”．

的编写依据是[11]，而人教版教材依据的是《标准（2011版）》[12]．表1展示了两个版本教材所依据的课程标准对相关内容的要求．

表1 EVM和人教版教材有关三年级“分数的认识”编写依据的比较

相对来说，中国数学课程标准的要求更简洁明了，而的内容要求更为详尽；中国数学课程标准在第一学段有关分数的要求非常低，只要求学生“结合具体情境，初步认识分数”，而要求比较全面的理解分数的意义，不仅包括“部分—整体”模型，还包括分数的数轴模型；在三年级只有分数比较的内容，没有分数计算的内容，而人教版则不但包括同分母分数的比较，还包括简单同分母分数的加减法．中对于分数比较的内容也非常丰富，不但涉及同分母分数的比较，同分子分数的比较，还涉及在数轴上寻找等值分数，分数和整数的关系，并且强调用推理的方式来验证自己判断的合理性，但是没有关于分数计算的内容．

总的来说，更强调“理解分数也是数”，也就是分数的测量意义，并在此基础进行分数的比较，理解等值分数；而《标准（2011版）》中相关的要求更强调“初步”，要求结合具体情境来认识分数，并进行分母小于10的同分母分数的加减计算．

3.2 两个版本教材中有关分数的主题和内容的比较

表2呈现了两个版本教材中有关分数内容的安排．表3则稍微详细地比较了三年级“分数的认识”的内容．

表2 EVM和人教版教材有关分数内容的安排

注：由于部分内容和本研究的相关不大，所以未展开

由表2看到，两个教材在年级安排、选择主题、内容顺序等方面均有显著的差异．

教材几乎在每个年级都安排了分数的内容，而且有些内容多次涉及，比如等值分数、分数与小数的关系、分数的计算等（当然每个年级所学的内容逐步加深），但是对于分数的意义的理解却几乎在三年级一次性完成的，包括了面积模型、线段模型、群体模型和数轴模型；而人教版教材中二年级、四年级都几乎没有分数的内容，在其他年级分数相关内容大部分只涉及一次，只是分数的加减法在三年级有一次简单计算（分母为10以内的同分母的分数），在五年级有一次系统学习（同分母、异分母都有），而分数的意义则分为两个水平的学习，第一次是三年级的初步认识，第二次是五年级的系统的对分数意义的理解，几乎包含了分数意义的所有方面．相对于，人教版对其他很多内容的处理则都是一次性的，比如，在学习了约分和通分之后，一次性学习分数和小数的互化，而不是像一样分为几个阶段、不同水平的互化．总的来说，尽管人教版教材加入了数轴模型的内容，但仍较为忽视对分数的测量意义的学习，所以学生是否能够建立起完整的“分数”概念，是否会忽视分数本身也是一个绝对的数值[14]，仍然是值得进一步研究的问题．

从选择的主题和内容看来，的内容比较全面，不但包括分数的意义、分数的大小比较、等值分数、分数的计算，也非常强调分数与数（整数、小数）的关系（甚至还有一章是关于如何从分数的概念扩展到小数的概念），并且还有一些人教版教材几乎没有出现的内容，比如基准分数，利用基准分数来估计和比较分数大小．有研究者认为由于分数在从整数扩充到有理数，再由有理数扩充到实数的过程中，起到非常关键的作用，因此小学数学教材中有关分数和小数部分的内容的安排上，应该充分考虑分数与整数以及小数的关系[3，15]，这对学生建立完整的数概念有重要的作用．

同时，对于同样一个主题，两个教材的处理也很不同．对于一些重要内容会列举各种情况，比如在三年级分数的大小比较和排序的这一章，不但介绍了如何使用模型进行同分母分数、同分子分数的大小比较，还有使用基准分数比较，使用数轴进行比较等．而人教版则只在认识几分之一、几分之几的同时，利用直观模型学习了分数大小比较的内容，排序则只在练习中出现，并没有像那样试图呈现所有的模型和方式．

尽管在年级之间倾向于螺旋设计，但是在每个年级的内容设计中，却倾向于水平设计，也就是每个年级的有关分数的内容之间较少层层深入的设计，而比较多的是同水平的内容，并且每一种方法都需要一节课的时间来学习，比如，三年级的分数的意义，就涉及到分数与面积、分数和群体、分数和数轴、分数和线段等；而分数的大小比较等，则涉及使用模型比较（同分母、同分子）、使用基准分数比较和使用数轴比较等．相对的，人教版的教材中没有罗列这么多的内容，却倾向于围绕一个内容，展开越来越深入的学习．比如，在三年级的内容中，人教版并没有列出专门的一节课来学习分数的大小比较，但是却在认识简单分数（几分之一、几分之几）的同时，让学生通过直观的物体和图形来学习同分子和同分母分数的大小比较的内容；在学习分子意义的同时，了解分数单位，为后面的分数计算做好铺垫．

3.3 两个教材三年级有关“分数的认识”的呈现形式及内容比较

表3呈现了两个版本教材每节课的设计方式，通常，每节课只有一个例题，而人教版每节课通常有2~5个连续的逐层深入的例题，后面还有一个“做一做”，也是对前面学习内容的扩展．

表3 两个版本教材的新课呈现形式

表4详细的比较了两个版本教材三年级有关“分数的认识”的内容，通常的教材每节课都是围绕例题展开的，所以这里面也只列了每节课的例题的内容；而人教版节数比较少，但是每节课的内容非常丰富，通常包含几个例题，做一做的内容也是对所学内容的深入学习，所以，会比较详细地列出人教版的例题以及做一做的内容．同时，为了比较的方便，还在教材内容后面附上一些“解读”，帮助理解教材编者设计的意图．

表4 EVM和人教版教材三年级有关“分数的认识”内容的比较

表4详细展示了两个版本在三年级“分数的认识”部分的内容．人教版的三年级教材只有一章的内容涉及分数，题目为“分数的初步认识”，主要内容包括认识几分之一、几分之几、同分母分数的比较和加减法，1减几分之几，以及分数的群体意义，和如何求一个群体的分数部分的大小（最后这两个部分是人教版教材2014年新加上去的）．版本的教材在三年级共有两章的内容涉及分数，分别是“理解分数”和“分数的比较和等值”，内容非常的丰富．“理解分数”部分从体会平均分，到理解分数可以表示区域（面积模型）的一部分，也可以表示一个群体的一部分，数轴上的一个点，以及长度的一部分，另外除了分数这4种不同的意义之外，还涉及到如何用直观的方式来求出一个群体的分数部分的大小以及如何用常用的基准分数来估计分数的大小，教材对这几部分内容的安排是并列的，每节课都有两页，除了“一个群体的分数部分的大小”是衔接了上一节课的内容之外，其它内容之间的联系并不紧密．“分数的比较和等值”部分包括使用分数条、数轴、基准分数来比较同分母分数、同分子分数的大小，并通过数轴上的分数大小比较来初步认识整数和分数的关系．

每节新课都有引导性的问题，均给出解决方法和结论．人教版则没有引导性的问题，但是注重引导学生的思维，比如在“分数的简单计算”部分的前两个例题中写出思维过程，在“分数的简单应用”中的解决问题中也同样给出了解决问题的思路．

3.4 “分数的引入”的内容设计

下面呈现了两个教材在“分数的引入”部分的内容设计．从中可以管窥二者在具体内容设计上的差异．这里主要比较了两个教材的第一节课和第二节课，这是因为教材中第一节课是认识平均分，第二节课是认识几分之几．而人教版第一节课是认识几分之一，第二节课是认识几分之几．两个版本教材后面的内容差异也较大，所以前两节课具有较高的可比性．

教材中的第一节课的内容主要是认识平均分，并且要学习几等分的说法（halves, thirds, fourths等）．第二节课的内容是“分数与区域（fractions and regions）”，该部分由一个“招待客人”的现实情境引入（将一个盘子中的食物分成6份，吃掉2份，还剩4份），然后问每一份表示什么，吃了多少，还剩下多少，紧接着就介绍了分数和单位分数的概念，并结合例题认识分数每个部分都代表什么，以及分子、分母的定义．具体内容见图1．

图1 EVM教材中“分数与区域”部分的例题

人教版第一节课的主要内容是认识几分之一，包括3个活动，分别是“分月饼”（认识1/2和1/4，引出初步的分数描述性的定义，并认识分子、分母、分数线），“折纸”（感受平均分），“比一比”（分子为1的分数的大小比较，基于直观图形的比较）．第二节课也包含3个内容，首先是通过将正方形纸片平均分成4份，描出其中的几份，认识四分之几；第二个活动是将彩纸条平均分为10份，认识其中的几份（同时将分数的描述性定义进一步扩充）；第三个活动是涂一涂和比一比，通过涂色的活动，充分感知和比较同分母分数的大小．

总的来说，教材该部分的内容设计比较注重整体性和情境性，但是缺乏层次感．教材一次性将所有内容全部呈现，直接认识整体、平均分、几分之几、几分之一、分子、分母等，给出的概念多而且较抽象，并且缺乏对概念的体验过程；教材给出的例题的情境比较复杂，包含太多的信息，学生既要学习“单位分数”，又要学习“空白的部分”是几分之几，“剩余部分”是几分之几，缺乏由浅入深的概念层级关系，容易造成概念混淆．

而人教版该部分的内容设计强调概念的层级关系以及体验操作．先学习几分之一，再学习几分之几；通过对几分之一的大小比较，充分体会分母的意义，通过同分母分数的大小比较，充分感知分子的意义；教材中的动手操作活动比较充分，有较多的分一分、涂色、折纸等活动，给学生较多的感知、体验的机会．这种设计有助于学生逐步建立起比较稳固的分数的基本概念．

3.5 两个版本教材三年级“分数的认识”部分组织结构的比较

根据表4，可以整理出两个版本教材有关“分数的初步认识”的组织结构图（如图2和图3所示）．

由图2、图3看到教材中涉及到的模型比较多，比较强调不同模型的功能，后面的分数大小的比较方法和寻找等值分数等都是从不同的模型中引申出来的．长度模型在人教版教材中出现过，但没有强调，而对来说是分数条的重要基础，而分数条模型在后面的分数比较和等值分数中起着非常大的作用．

人教版教材没有强调各个不同的模型以及多种不同的比较方法，内容相对聚焦，不同模型只是暗线，更强调分数基本的意义（整体、分子、分母），而从这个基本意义出发，来学习比较、计算、应用等，而这些内容的学习反过来又加强了学生对分数意义的理解．比如，通过对几分之一的学习来充分认识分母的意义，并通过直观来进行几分之一的分数大小的比较，通过几分之几的学习来充分认识分子的意义，并通过直观比较，来学习简单同分母分数的比较，而这个比较的过程，进一步加深学生对分母和分子意义的理解．在分子的意义的学习过程中，没有出现单位分数的概念，却强调了几个几分之一，而这一学习，又为分数加减法的学习进行了较好的铺垫，学生可以通过直观的面积模型解决几个几分之一加减几个几分之一的问题．

总的来说，人教版更强调分数的基本意义和“初步认识”，所以不求全面，试图建立知识之间的内部联系；而则更重视全面理解分数不同模型的意义，多种不同的方法的呈现，但是对于分子和分母的意义的强调不够，并且由于涉及的内容过多，又多是简单介绍，使得学生不但不容易建立起对分数模型的全面理解，反而很难掌握分数的基本意义．

3.6 两个版本教材三年级“分数的认识”部分涉及的重要概念和规律的比较

表5呈现了两个版本的教材中相关的概念和规律的比较．在教材中出现了6个比较重要的概念，每个概念的定义都比较严谨；而人教版教材中有关概念均是描述性的．

表5 EVM和人教版教材三年级有关“分数的认识”概念和规律的比较

由表5可知，教材中有较多的概念、除了比较重要的分数、分子、分母、单位分数的概念之外，学习数轴上的分数时还介绍了带分数的概念．而人教版教材在分数的初步认识的内容中，只有非常少的概念，而且概念也都是非常简单的描述性的概念．尤其值得注意的是，尽管人教版教材中没有出现分数单位的概念，但是由于学生在学习中涉及较多有关分数单位的操作和体验，所以在学习同分母分数的加减法的时候，使用单位分数的含义来解释，也显得比较自然．

另外，教材中出现了较多的规律，却没有鼓励学生自己探究规律是如何产生的，练习题也多是让学生应用规律来解决问题，而人教版的教材上没有出现分数大小比较的规律，却鼓励学生通过动手和观察图形来感受和总结．

4 结论与讨论

4.1 分数模型的建立：多而浅vs. 少而精

通过比较，可以发现在分数的初步认识部分，教材试图呈现一个有关分数的较为完整的图画，除了面积模型以后，还有长度模型（后来发展为分数条、基准分数），群体模型，以及数轴模型，而人教版教材比较强调面积模型，在此基础上出现了长度模型和群体模型，但是在这个阶段没有出现数轴模型．

通过对“分数初步认识”前两节课的内容设计的比较，可以发现教材强调在情境中对分数意义的整体性理解，一开始就引进大量抽象概念，有较多的数量关系（单位1，部分与部分之间的关系），而没有强调对分数各个部分意义的感知与理解；而人教版虽然只介绍了分数的描述性定义，却通过大量的动手操作、体验活动，让学生充分理解面积模型中的平均分，以及分子、分母的含义．

Behr（1983）认为，在分数的5个子结构[13]中，“部分—整体”子结构是基础的语义结构，其它4个子结构在“部分—整体”子结构上发展而成[14]．倪玉菁（1999）的研究结果显示学生最容易掌握的是面积表征，其次是线段表征，再次为集合表征，最难的是数线表征[15]．因此，从这些研究结果来看，在学生刚开始接触分数的时候，介绍较为简单的面积模型似乎更合适，但是也不应该忽视分数的其它意义．刘春晖、辛自强（2010）认为应提供多种表征模型，尤其是数轴模型，能帮助学生形成较全面的分数概念[16]，这与张奠宙等人的观点一致，就是应该强调在数轴上直观表示分数[17]．但是这些概念模型并不需要一次性都教给学生，根据学生的理解水平和知识基础，在不同阶段强调不同的概念模型似乎更合适．

4.2 分数各部分意义的理解：模糊vs. 清晰

教材在编写过程中，非常重视建立不同的概念模型，但是在分子、分母意义的理解方面下得笔墨明显不够．比如该教材比较强调分数条的使用来帮助学生进行分数比较，理解等值分数，估计分数的大小等，但是值得注意的是，由于分数条是比较固定的，“总体”比较含糊，没有强调“平均分”的过程，使得学生很难建立正确的对分母意义的理解．

而人教版非常重视对分数各个部分意义的理解．不但在每道例题中都会强调是“谁”的几分之几，在内容的编排上，也是先学习几分之一，比较几分之一的大小，让学生充分理解分母的意义，再认识几分之几，比较同分母分数的大小，让学生体会分子的意义，也就是说，尽管学生学习的模型简单，但是学生对分数的各个部分的意义的理解是比较扎实的．

另外，与教材相比，人教版在设计时比较强调让学生动手操作，比如折一折、涂一涂等操作性的活动，这种活动能够有效的帮助学生建立起有关分数的经验，而这种经验能帮助学生较好的从整数的学习过渡到分数的学习，减少整数经验对分数学习的阻碍作用[18]．

4.3 关注的焦点：概念vs. 程序vs. 学生

相对来说，教材重视分数的各个层面的意义，以及分数与整数、小数、百分数、比等概念的关系，而且为了加深学生的理解，不惜在各册教材中不断地重复较为复杂的概念，比如“等值分数”等，试图帮助学生建立起较为完整的有关分数的概念体系．而人教版在不同的概念模型方面花的笔墨明显少了很多，非常重视分数的面积模型，却较少提及分数的测量意义，也没有专门的章节强调分数、整数、小数之间的关系，而更重视分数的计算和运算规律的学习．所以人教版教材在认识了分数的基本意义之后，很快进入分数的简单计算和应用，“计算”占“分数的初步认识”内容的三分之一；而美国的三年级教材有两章共15节分数的内容，其中仅涉及分数大小比较和等值分数，而几乎没有分数计算的内容，仅有“群体的分数部分”涉及一点计算（8的1/4份是多少），但目的并非学习整数与分数相乘，而是通过画图来直观理解群体的分数部分的大小．所以尽管美国的教材提供了大量严谨的概念、规律，但由于缺乏对核心概念意义的深刻体验和对相关规律的系统训练，学生很难真正理解概念和规律的意义[19]；而中国的教材则由于概念简单明了，计算的学习由浅入深，学生更容易在了解基本概念的基础上，提高程序的流畅性．而且，人教版教材较为强调对学生思维的引导，比如，在学习分数的简单计算时，在例题的下面给出“想”的过程，而在学习使用分数来解决问题的时候，更给出了解决问题的基本思路，这可能是新版人教版教材的一个亮点．

两本教材有关概念以及规律的呈现方式的比较结果显示，教材更常用直接呈现的方式，直接给出了核心概念以及重要的规律，而人教版教材则较少给出规律，更鼓励学生在体验的过程中，自己总结和探究．这个研究结果与Xin（2007）和Xin等（2011）的发现恰恰相反，Xin在她的研究中比较了课改前（1997—1999）中美的小学数学教材，结果发现，中国数学教材更多的提供严谨的学术概念，而美国的教材则鼓励学生去探索发现[20~21]．课改以后，中国的小学数学教材借鉴了西方很多国家的经验，强调学生的体验、自主探索，而美国教材则可能借鉴了亚洲教材的严谨性．

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Comparison of Elementary Mathematics Textbooks between China and USA: A Case Study of “Knowing Fractions”

DING Rui1, Yan Ping Xin2

(1. Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. Purdue University, West Lafayette 47907, US)

A five-dimension framework (i.e., alignment with the standards, topics, content design, structure, and core conceptions) was used to compare “knowing fractions” between two primary mathematics textbooks (enVision Math and Chinese People Education Press (PEP) Math) in US and China. Results revealed that, enVision math (EVM) emphasizes multiple representations using different models of fractions, however it falls short in explaining the meaning of numerator and denominator; it provides comprehensive definition of the concepts, but seldom encourages students to find the patterns themselves. The EVM presents many models of the concept, but neglects the relationships among them. In contrast, PEP math emphasizes an understanding of each element in a fraction, such as “whole,” “numerator,” and “denominator,” but not different models of fractions; it encourages students to explore and find patterns through visual image and hands-on experiences as well as practices through comparing and calculation. In addition, the content progresses from easy to more difficult with logical connections.

textbook comparison; primary mathematics; fraction concepts; models of fractions

[责任编校：周学智]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0020–09

2016–01–05

东北师范大学教师教学发展基金项目——美国小学教师培养的个案研究（15B1XZJ011）

丁锐（1978—），女，满族，辽宁本溪人，副教授，博士，主要从事小学数学教育、课堂环境、教师教育等研究．