中美澳初中数学教材统计内容比较研究

王建波，曹一鸣



中美澳初中数学教材统计内容比较研究

王建波1，曹一鸣2

（1．北京师范大学出版集团，北京 100875；2．北京师范大学数学科学学院，北京 100875）

从中国、美国、澳大利亚3个国家共选择4套现行的初中数学教材，以教材中的统计内容为研究对象，从内容设置、内容分布、体例栏目与活动设计、内容广度与深度等4个方面进行比较研究，4个版本教材统计内容各具特色：IMPACT教材以探究为主线，注重培养学生的问题意识，统计内容占教材的比重最低、内容广度居中、内容深度最大，呈现出典型的“精而深”的特点；Heinemann教材注重统计的概念和技能，统计内容占教材的比重最高、内容广度最高、内容深度最小，呈现出典型的“广而浅”的特点；BNUP教材和PEP教材注重“数据收集、整理与分析”的过程，统计内容占教材的比重居中、内容广度最低、内容深度居中，对学生的要求介于IMPACT教材和Heinemann教材之间．得到如下启示：适当增加比重，拓展知识点；优化知识的呈现方式；有效整合统计活动与统计内容．

初中数学教材；统计；比较研究；启示

1 研究背景

在以信息和技术为基础的现代社会里，人们身边充满着大量的数据[1]，需要从中作出恰当的选择与判断．为了更好地了解世界、适应社会，人们必须学会处理各种数据和信息，而统计正是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，统计的基础知识成为每一个公民都应当具备的基本素质，正如英国学者威尔斯所说：“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将成为效率公民的必备能力．”[2]统计内容在数学课程中也得到越来越高的重视．教育部2001年正式颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将“统计与概率”作为4个内容领域之一，列入中国义务教育阶段各学段的数学课程[3]．《义务教育数学课程标准（2011年版）》进一步将“数据分析观念”作为数学课程的重要目标之一，明确数据分析是统计的核心[4]．很多国家都将统计内容列为初中数学课程的重要组成部分[5]．

选择中国、美国、澳大利亚3个国家4套现行初中数学教材，以教材中的统计内容为研究对象，从内容设置、内容分布、体例栏目与活动设计、内容广度与深度等4个方面进行比较研究，希望对中国统计内容教材的编写和完善提供一些思考和启示．

2 研究设计

2.1 教材版本的选取

选择3个国家教育行政部门发布或推荐使用，且在统计内容的编写上有一定特色的正式出版教材，情况如下．

中国：按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写审定通过的、北京师范大学出版社2012年出版的初中数学教材，该套教材共6册，每学年两册，供7，8，9年级使用，以下简称BNUP教材；按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写审定通过的、人民教育出版社2012年出版的初中数学教材，该套教科书共6册，每学年两册，供7，8，9年级使用，以下简称PEP教材．

美国：由McGraw-Hill Companies 2009年出版的，包括3本，分别是-、、，专为6~8年级学生设计．以下简称IMPACT教材．

澳大利亚：澳大利亚没有全国统一的数学教材，选择在维多利亚州广泛使用的Pearson出版集团2008年出版的教材，共4册．以下简称Heinemann教材．

考虑到3个国家的初中学制间存在差异，中国初中三年为7~9三个年级，澳大利亚四年为7~10四个年级．而美国的6，7，8年级刚好是初中阶段，分别对应中国和澳大利亚的7，8，9三个年级．因此，选定BNUP教材、PEP教材、Heinemann教材的7，8，9年级和IMPACT教材的6，7，8年级进行比较研究．（为方便表述，以下统一记为7，8，9年级）

2.2 研究方法

采取定性描述与定量刻画相结合的方法．定性描述包括对4个版本初中数学教材统计内容设置、教材体例栏目、统计活动设计等方面的比较研究，定量刻画包括对统计内容分布、内容广度与深度等方面的比较研究．

2.3 比较维度

2.3.1 内容设置

对比4个版本初中数学教材统计内容目录及包含的章节情况．

2.3.2 内容分布

通过对内容所占的页码数（主要是正文内容，去掉了前言、目录、后记等）进行比较，定量分析统计内容在4个版本教材中所占的比重．

2.3.3 体例栏目与活动设计

对比4个版本初中数学教材统计内容的教材体例栏目、统计活动设计．

2.3.4 内容广度与深度

内容广度是指教材所涉及的范围和领域的广泛程度，考虑到研究对象是4个版本初中数学教材统计内容，内容广度用统计内容所包括的知识点个数来量化．

内容深度主要根据知识点所含概念的呈现方式进行刻画，概念的呈现方式分为直观描述、归纳、演绎3种类型，分别赋值1，2，3．

（1）直观描述：仅仅通过一个案例的呈现描述相关概念．例如案例1“数据”，Heinemann教材开门见山、简洁明了地呈现了数据的概念，让学生对数据这一统计中的核心概念有基本的了解．

【案例1 “数据”】In this topic we talk a lot about data. Data is simply information that has been collected in some way.

译文：在这个话题中我们讨论有关数据的内容．简单地说，数据就是能够通过某种方式收集到的信息．

（2）归纳：至少通过两个或两个以上案例进行归纳，获得一般结果．例如案例2“加权平均数”．

【案例2 “加权平均数”】BNUP教材在学习算术平均数的基础上，通过某广告公司招聘广告策划人员的例题，让学生体会到在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，从而引入了加权平均数的概念，并让学生体会平均数与加权平均数的区别与联系．进而，教材又给出了学校进行广播操比赛的案例，让学生应用加权平均数解决实际问题，加深对加权平均数概念的理解，并在此基础上让学生自己举出生活中加权平均数的实例．

BNUP教材采取归纳的方式帮助学生理解加权平均数的意义，并通过案例加深理解，进行应用．

（3）演绎：从普遍性的数学理论知识出发，去认识个别的、特殊的数学概念的一种逻辑推理方法．

3 研究结果与分析

3.1 内容设置

4个版本初中数学教材统计内容的设置如表1．

表1 4个版本初中数学教材统计内容设置

从表1可以得到：BNUP教材和PEP教材统计内容均按照“数据收集、整理与分析”的过程展开，BNUP教材共有两章、8节内容、4个综合与实践活动，PEP教材共有两章、6节内容（含两节课题学习）、两个数学活动；IMPACT教材以“探究”为线索展开，共有3章、5节内容、18个探究活动；Heinemann教材则以知识为线索展开，共有3章、18节内容、4个探究活动和3个任务设计．

需要说明的是，BNUP教材和PEP教材统计与概率内容都是分章独立编写，章名根据具体内容的不同而不同．而IMPACT教材和Heinemann教材统计与概率内容则是整体设计的，以更好地体现统计与概率之间的联系：IMPACT教材3个年级统计与概率内容均是合在一章内，章名为“数据和概率”；Heinemann教材在7年级和8年级统计与概率内容是合在一章的，章名为“机会和数据”，9年级则是统计与概率内容分章独立编写的，章名分别为“统计”和“概率”．（考虑到篇幅，表1没有呈现各版本教材中的概率内容）

3.2 内容分布

10个国家初中数学教材内容分布的国际比较研究显示，“数与代数”、“测量与几何”、“统计与概率”3部分平均各占的百分比为：56%，32%，12%，“统计与概率”内容分布比重最低[6]．中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》，“统计与概率”领域在第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6年级）、第三学段（7~9年级）的内容条目数分别为3条、8条和11条，第三学段所占比重为7.33%．对美国数学课程标准内容分布的研究显示，美国初中“统计与概率”内容条目数在7，8，9年级分别为5条、8条和4条，8年级所占的比重最高[7]．对澳大利亚数学课程标准内容分布的研究显示，“数与代数”“测量与几何”内容很多，虽然相比之下，“统计与概率”内容比重略少，但条目频数累计达58 条，7，8，9，10年级条目数分别为6条、6条、7条、8条，足以见其对统计与概率知识的重视[8]．

分别统计BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材、Heinemann教材“统计”内容在每个年级所占页码数，以及每个年级教材总页码数，并分别计算“统计”内容所占页码数与教材总页码数的比值，得到的结果如表2．

从表2可以得到：统计内容在4个版本教材内容中所占的总体比重都相对较低，均未超过10%．其中，Heinemann教材各年级统计内容占教材的比重比较平均，且总体比重最高；BNUP教材、PEP教材各年级统计内容占教材的比重差异最大，两教材总体比重相当，在4个版本中居中；IMPACT教材统计内容占教材的总体比重最低．

表2 4个版本初中数学教材统计内容分布

表3 4个版本初中数学教材统计内容体例栏目与活动设计

3.3 体例栏目与活动设计

3.3.1 体例栏目相同之处

从表3可以看出：4个版本教材均按照章节顺序呈现所学内容，栏目设置上有以下相同之处，即章前设置主题图、章引言，节内容是教材的核心部分，且节内设置例题和习题，章末设置复习题．

3.3.2 体例栏目不同之处

BNUP教材、PEP教材和IMPACT教材每节内容均以问题情境或问题探究入手，通过设置问题或探究以及不同的栏目设计引导学生思考，引出要学的统计内容，如，BNUP教材设置“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目，PEP教材设置“思考”、“归纳”、“探究”等栏目，IMPACT教材设置“思考与讨论”、“发展与理解”、“分享与总结”等栏目．Heinemann教材则通过直观描述、类比归纳等方式呈现重要的统计知识和概念．

另外，在章前，BNUP教材明确提出了章学习目标；IMPACT教材有章目录与学习指引；Heinemann教材有章学习目标，且设置了“预备区域”，帮助学生复习与本章内容相关的已学知识．在章末，BNUP教材设置“回顾与思考”栏目，引导学生梳理所学知识，建立符合个体认知特点的知识结构；PEP教材设置“小结”栏目，给出本章知识结构图．

3.3.3 统计活动设计

对比4个版本教材统计活动的设计，IMPACT教材将统计内容的学习融入到统计活动的过程中，通过探究活动让学生经历讨论、理解、总结等过程；Heinemann教材专门设计了与节内容并行的“探究”和“任务设计”两类统计活动，分别以问题和任务的形式引发学生进行思考和设计，在解决问题和完成任务的过程中应用所学的统计知识和统计方法；PEP教材在章末设置“课题学习”和“数学活动”两个栏目，分别以课题和活动的形式引导学生从事统计活动；BNUP教材则是在全书最后设置了与章内容并行的“综合与实践”，让学生经历“从具体问题出发，提出有价值的统计问题，并通过收集数据、整理数据、分析数据，从而作出合理的推断”这一完整过程．

3.4 内容广度与深度

4个版本初中数学教材统计内容的知识点及知识点所含概念的情况如表4（表格括号中的内容均为相应知识点所含的概念）．

表4 4个版本初中数学教材统计内容知识点及所含概念

3.4.1 内容广度

根据表4中4个版本初中数学教材统计内容的知识点情况，以教材内容所包含“知识点”的个数来刻画内容广度，可以得到BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材和Heinemann教材统计内容的广度值分别为16，17，22，26．在内容广度方面，Heinemann教材最高、IMPACT教材其次、PEP教材和BNUP教材排最后两位．

3.4.2 内容深度

统计内容的知识点及其所包含的概念在不同版本教材中是如何处理的，不同教材采取什么方式呈现相应的统计知识和概念，这些均涉及内容深度问题．同样的数学内容通过不同的呈现方式会导致不同的难度，对学生理解和掌握相应的知识和概念起着至关重要的作用，因此研究内容的呈现方式非常重要．内容深度泛指课程内容所需要的思维深度，较为抽象[9]，根据知识点所含概念的呈现方式进行刻画，概念的呈现方式分为直观描述、归纳、演绎3种类型，分别赋值1，2，3．

由此，可以得到表4中各版本教材每一个知识点的内容深度值，根据前文中内容深度的计算公式，可以求出BNUP教材、PEP教材、IMPACT教材和Heinemann教材统计内容的深度值分别为1.187 5，1.235 3，1.863 6，1.076 9．在内容深度方面，IMPACT教材最大、PEP教材和BNUP教材其次、Heinemann教材最小．

4 研究结论及启示

4.1 中美澳3国教材统计内容各具特色并各有所长

IMPACT教材以探究为主线，注重培养学生的问题意识，将统计知识的学习融入统计活动及问题解决的过程之中，教材通过对问题情境的思考、讨论和理解，引导学生进行交流与总结，在解决问题的同时掌握相应的统计知识，渗透相关的统计思想．IMPACT教材统计内容占教材的比重最低、内容广度居中、内容深度在4个版本中排名第一，对学生的思维水平的要求也最高，内容呈现出典型的“精而深”的特点．

Heinemann教材注重统计的概念和技能，通过直观描述、类比归纳等方式呈现重要的统计知识和概念，并通过大量的例题加深对相应内容的理解，同时给出解决一般问题的规范步骤和方法．此外，教材还通过大量与例题匹配度较高的习题进行复习与巩固，以提升学生对知识的更高水平的理解[10]．Heinemann教材统计内容占教材的比重最高、内容广度最高、内容深度在4个版本中最小，对学生思维挑战性相对也最低，内容呈现出典型的“广而浅”的特点．

PEP教材和BNUP教材在设计思路、内容设置和呈现方式等方面比较类似，均遵循“数据收集、整理与分析”的过程，强调在数据分析的过程中掌握统计的基本方法，体会统计对决策的作用，培养学生的统计意识．PEP教材和BNUP教材在统计内容所占比重、内容的广度和深度方面指标也比较接近，统计内容占教材的比重居中、内容广度最低、内容深度在4个版本中排名居中，对学生的要求也介于IMPACT教材和Heinemann教材之间．

4.2 对中国教材建设的启示

（1）适当增加统计内容的比重，拓展知识点．

前面的研究结果与分析显示：BNUP教材和PEP教材的统计内容分别以6.89%和6.41%的分布比重排名第二和第三位，比Heinemann教材分别少了3.05%和3.53%．同时，PEP教材和BNUP教材统计内容广度最低，即知识点数量最少．如，4个版本教材在统计图的内容中都设置了扇形图、条形图、线形图和直方图，而IMPACT教材和Heinemann教材还设置了双条形图、茎叶图与盒式图等．另外，统计与概率教学内容的研究表明，虽然一些教材的编排达到要求，但还有一些问题，如内容编排的层次、梯度不够清晰[11]．因此，建议适当增加中国教材统计内容的比重，拓展相关知识点，并进一步加强统计内容的层次性，使学生在初中阶段有机会了解更多的统计知识和统计方法，且更符合学生的认知结构与学习规律．

另外，教材中还应特别关注统计的核心概念．2010年由全美州长协会和美国各州教育长官委员会联合推出的《统一核心州数学标准》[12]着重强调“突出重点（focused）”、“注重连贯（coherent）”两个核心思想[13]．如，数据和分布是统计中的核心概念，在Heinemann教材和IMPACT教材中都有涉及．在生活、工作和学习中处处都有大量的数据，但数据并不等于信息，真正有用的信息是隐藏在这些数据之后的关于数据整体特征的描述及对其发展趋势的预测[14]．而分布就可以用于描述数据的整体特征，一旦明确了数据的分布，也就对数据的规律有了全面把握．因此，建议在中国教材中增加数据与分布等内容，帮助学生发现数据的整体特征，并重视数据、分布与统计图表和统计量的联系，这将有助于学生整体理解数据和把握统计内容．

（2）贴近学生实际，优化知识的呈现方式．

进一步研究4个版本教材统计内容知识点的呈现方式，汇总情况见表5．美国IMPACT教材的22个知识点中，除3个是直观描述外，其它19个均是归纳所得．教材一般是通过提出实际问题，让学生进行自主探究和思考，并在解决问题的过程中学习统计的相关内容．在这个过程中，学生在探究、思考的基础上归纳并掌握相关的统计知识．因此，IMPACT教材的内容深度以1.863 6排名4个版本第一位，对学生的要求也比较高．而Heinemann教材的26个知识点中，除两个是归纳外，其它24个均是直观描述的方式，且基本都是以例题的方式进行讲解或归纳，从而呈现相应的统计内容．Heinemann教材的例题数量高达24个，远远高于其它3个版本教材，例题针对统计内容的学习给出了有效的指导，步骤也非常详细，降低了学生学习的难度．因此，Heinemann教材的内容深度以1.076 9排名最后，对学生的要求也比较低．

表5 4个版本初中数学教材统计知识呈现方式汇总

中国的PEP教材和BNUP教材在内容深度上比较接近，均有13个知识点是直观描述，分别只有3个和4个知识点是归纳，内容深度值在4个版本教材中排名中间，相比而言学生掌握起来比较简单，但是对学生的挑战性不够，教材呈现的概念和问题大都比较简单和直接，缺乏一些贴近实际又能引发学生进行思考与实践的内容，难以激发学生的学习兴趣．因此，建议优化中国教材统计知识的呈现方式，无论是直观描述、还是归纳，均设计一些贴近学生生活实际或与其它学科相联系的栏目和内容，通过直观感受、思考操作、归纳等多种方式获取新知，构建自己对相应知识的理解，并在此过程中不断积累基本活动经验．

（3）创新栏目设计，有效整合统计活动与统计内容．

数学的学习主要应是一个自发探究的过程[15]，统计的学习本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习．数学探究学习的开展应立足于过程知识的获取，而不是一味地追求结果知识的掌握[16]．要特别注重统计的过程，即让学生经历“收集数据——整理数据——分析数据——作出推断”的全过程．之所以如此，是因为处理统计问题的思维方式和传统的数学思维方式有所不同，传统的数学更强调演绎推理，而统计是根据具体东西概括出来的，所以更强调归纳的过程．

IMPACT教材统计活动与统计知识融为一体；Heinemann教材的统计活动与统计知识则是在章内穿插进行；而PEP教材和BNUP教材的统计活动是与初中阶段“综合与实践”内容领域整体进行设计的，强调让学生经历设计解决具体问题的方案并加以实施的过程，反思参与活动的全过程，进一步获得数学活动经验，发展应用意识和能力．因此，统计活动都安排在全书的最后或统计内容的章末，让学生相对完整地经历统计活动的全过程．建议中国教材统计活动的设计可以在保持现有特色的基础上，吸收借鉴其它两个版本教材的处理方式，将统计活动的开展和统计内容的学习进行更有效地整合，使统计活动经验的积累和统计知识方法的掌握相互促进．例如，可以在统计内容的章内创新设计与节内容并行的统计活动栏目，适当增加部分活动环节相对较少的统计活动．这样的改进会带来两个好处：一是有更多从事统计活动的机会，这样更有助于学生统计意识的培养，因为要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动中[17]；二是在统计内容学习的不同阶段，学生经历的统计活动环节各有所侧重，能够帮助他们循序渐进地经历统计活动的全过程，有利于他们掌握运用统计思想解决问题的方法．

[1] 童莉，张号，张宁．义务教育阶段学生数据分析观念的评价框架建构[J]．数学教育学报，2014，23（2）：45-48．

[2] 曲元海，项昭，李俊扬，等．初中生学习统计量理解水平的调查分析[J]．数学教育学报，2006，15（1）：50-53．

[3] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．

[4] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[5] 曹一鸣．十三国数学课程标准评介[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

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[7] 康玥媛，曹一鸣．中英美小学初中数学课程标准中内容分布的比较研究[J]．课程·教材·教法，2013，（4）：118-122．

[8] 康玥媛．澳大利亚全国统一数学课程标准评析[J]．数学教育学报，2011，20（5）：81-85．

[9] 周九诗，王延文.中英初中数学教科书难易程度的比较研究——以中国“人教版”和英国《数学连接》为例[J].数学教育学报，2013，22（3）：18-23.

[10] 吴立宝，曹一鸣，董连春．澳大利亚初中Heinemann数学教科书编排结构特点及启示[J]．数学教育学报，2013，22（5）：21-26．

[11] 高海燕，巩子坤．义务教育阶段统计与概率教学研究的进展与问题[J]．数学教育学报，2010，19（3）：12-14．

[12]  National Governors Association and The Council of Chief State School Officers. Common Core State Standards for Mathematics [EB/OL]. http://www. corestandards. org/ assets /CCSSI＿Math%20Standards.pdf, 2010.

[13] 张楠．中美义务教育数学课程标准“统计与概率”领域的比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（1）：88-91．

[14] 李红梅．数据分析观念的认识及调查分析——以七年级为例[J]．数学教育学报，2014，23（4）：78-82．

[15] 宁连华．数学探究学习研究的特点及其思考[J]．数学教育学报，2005，14（4）：28-30．

[16] 马一新．基于过程知识的数学探究学习展开的几个环节[J]．数学教育学报，2008，17（6）：12-15．

[17] 张丹，吕建生，张春莉．统计观念的发展和培养[J]．数学教育学报，2002，11（2）：61-63．

Comparative Study of Statistics in Junior High Schools Based on Mathematics Textbooks of China, the US and Australia

WANG Jian-bo1, CAO Yi-ming2

(1. Beijing Normal University Publishing Group, Beijing 100875, China;2. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The content of statistics in current four versions mathematics textbooks used in junior high schools of China, the US and Australia, are chosen as the objects in this study. The paper conducts a comparative study in light of content, content distribution, style column and activity design, and content width and depth. This study shows that the content of statistics in the textbooks of four versions have their own characteristics: IMPACT textbooks follows the main clue of investigation, focus on training students awareness of the problem, the statistical content has the lowest proportion, the middle width of content, and the maximum depth of content, showing a typical “precise and deep” characteristics; Heinemann textbooks focus on concepts and skills of statistics, the statistical content has the highest proportion, the highest width of content, and the minimum depth of content, showing a typical “wide and shallow” characteristics; BNUP textbooks and PEP textbooks pay attention to the process of “data collection, collation and analysis”, the statistical content has the middle proportion, the lowest width of content, and the middle depth of content, the requirements to the students between IMPACT textbooks and Heinemann textbooks. Get some enlightenment: increasing the proportion and expand the knowledge points; optimize the presentation of knowledge; integrate the statistical activity and statistical content.

mathematics textbooks; statistics; comparative study; enlightenment

[责任编校：张楠]

G40-059.3

A

1004–9894（2016）03–0014–06

2016–01–10

国家社会科学基金“十二五”规划教育学重点课题——中小学理科教材国际比较研究（初中数学）（AHA120008）

王建波（1976—），男，江西吉安人，副编审，博士，主要从事数学教材研究．