对二次函数中巧用轴对称性解决线段和最小值问题的一些思考

江苏省泗阳经济开发区学校 刘小艳

对二次函数中巧用轴对称性解决线段和最小值问题的一些思考

江苏省泗阳经济开发区学校 刘小艳

在苏科版八上《轴对称图形》一章中学习过利用轴对称性解决线段和差最值问题，尤其是最小值问题屡见不鲜，而二次函数中也常出现这类问题。在此，就利用轴对称性解决二次函数中线段和最值问题进行探讨。

一、两条线段之和的最小值

例1：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2。

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

分析：

（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）。所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根。由韦达定理易求b、c的值；

（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA。根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；

解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2。

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根。

由韦达定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；

（2）连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA。

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

此时，PB+PC=BC。

二 、三条线段之和的最小值

（1）求抛物线的解析式。

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。

分析：

（1）利用根与系数的关系得出α+β=，αβ=-2，进而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D'，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D'E'+DE，进而利用勾股定理求出即可；

解：（1）由题意可得：α，β是方程-mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

解得：m=1，

故抛物线解析式为：y=-x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），

作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E'，

则D'的坐标为；（-2，6），E'坐标为：（4，-2），

连接D'E'，交x轴于M，交y轴于N，

此时，四边形DNME的周长最小为：，如图1所示：延长交于一点F，在Rt△中，=8，

设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

由上面两个例题我们总结出一条规律：在二次函数中求线段和最小值时，可以把一条线段转换成与它对称的线段，从而利用两点之间线段最短求出线段和的最小值。