因果之间求发散——例谈初中几何解题实践中发散思维的培养

江苏省如皋市高新区实验初中 程红卫

因果之间求发散
——例谈初中几何解题实践中发散思维的培养

江苏省如皋市高新区实验初中 程红卫

发散思维也叫作求异思维，是通过对信息的了解与分析，向着不同的方向探索多样化解决问题途径的思维过程，从而开拓学生的思路、培养学生思维的灵活性与变通性，在创造性思维中占有重要地位。初中数学中的几何教学，是培养学生发散思维的良好载体，在不断向外扩展的过程帮助学生在尝试摸索、反复变通中锻炼数学思维能力。

一、执因求果，在一题多解中培养发散兴趣

在初中数学几何解题实践中，学生思维僵化、循规蹈矩且缺乏活力是培养发散思维的主要障碍，因此激发学生对于新方法的认知热情、对新思路的探究欲望，就成为培养发散思维的首要环节。一题多解通过启发学生依据已知条件，从不同角度、不同途径解答同一道数学问题，从而多方面地获取该问题的正确结论，能够让学生的思维在各种新颖思路逐一展现的过程中，变得活跃起来；同时，在执因求果的多样化解答中，会促动学生进行主动交流、积极合作，在个体智慧的碰撞中得到各知识点之间的有效整合。

如在进行“添加辅助线”这一专项练习指导过程中，教师出示下题：

如图①，在四边形ABCD中，已知∠A=60°、

∠B=∠D=90°，BC=2、CD=3，求AB的长度。

通过组织学生分组讨论和集体汇报，学生从不同角度进行了思考，得出如下多种解法：

解法一：如图②，延长AB、CD交于F；解法二：如图③，延长AD、BC交于F；解法三：如图④，分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥BE……随着解法越来越多，学生的热情愈发高涨，在一题多解中唤起强烈的发散兴趣，加深了有效添加辅助线这一几何解题策略的认知水平。

二、倒果为因，在角度转换中拓展发散思路

培养学生的发散思维，可以通过“反向推理”、“倒过来想”等倒果为因的举措，实现正向思维与逆向思维之间的互补，不但促进了学生几何解题策略的灵活性，更因为思维的双向互通，促进他们对于几何相关概念、定理以及公式的全面理解，形成完整、立体的知识印记。

如在指导学生解答下题时，教师就采用了逆向思考的方式拓展学生的发散思路：如右图（图⑤），一张长方形纸片ABCD，沿对角线AC把△ACD翻至△ACD'，AD'与BC相交于点E，判断△AEC的形状并说明理由。

通过教师启发，学生倒果为因展开思考：如果△AEC是等腰三角形，则∠EAC=∠ECA即可，而△ACD'是△ACD沿AC翻折的，可知∠DAC=∠EAC，同长方形纸片ABCD可得AD∥BC,则有∠DAC=∠ECA,所以∠EAC=∠ECA,△AEC为等腰三角形；如果是等腰直角三角形，∠AEC=∠ABE+∠BAE,而∠ABE=90°，∠AEC不可能是90°，所以不可能是等腰直角三角形；等边三角形呢？条件不成立。通过这样的梳理，帮助学生逆向思想理顺了思路。

三、知果索因，在变式引申中提升发散能力

变式练习是数学教学中不可或缺的组成部分，是学生巩固既有认知、锻炼实践能力的重要途径，对于提升发散能力更是具有积极的推动作用。通过对同一类型的题目进行引申和变换，变化其非本质特征而保留本质特征，让学生从不同的层面和不同的角度知果索因，围绕着其中“变”与“不变”展开分析和思考。教师可以改变题目的条件、替换题目的结论以及转换题目的情境等多种变式方法，引导学生在反复探究中深化对于基本知识的理解和基础技能的掌握，使得他们的发散能力得以有效提升。

如教师在指导解答下题时，运用了变式的方法提升学生发散思维能力：如下图（图⑥），已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG。求证：EG=CG。

变式一：将图⑥中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图⑦所示，取DF中点G，连接EG，CG。EG=CG的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

变式二：将图⑥中△BEF绕B点旋转任意角度，如图⑧所示，再连接相应的线段，问原结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论。

四、收因结果，在梳理建构中巩固发散成果

归纳和梳理是学生数学学习所必备的一项基本素质，也是他们实现自我建构的必经之路，通过将分散、零碎的知识点进行分类和总结，从而形成一套适合他们个体使用的知识网络。这不但是对于几何解题练习中发散思维成果的巩固，更为他们后继数学学习提供了可持续发展的基石。

如在“证明两条直线互相平行”的复习整理中，教师指导学生展开回顾，将相关内容整理如下：①垂直于同一直线的两条直线平行；②同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），两条直线平行；③平行四边形的对边平行；④三角形的中位线平行于第三边；⑤梯形的中位线平行于梯形的两底；⑥平行于同一直线的两条直线平行……帮助学生在解答此类问题时，做到心中有底、脑中有法。

发散性思维以其积极性、求异性、广阔性、联想性等，对于初中几何教学效率的提升和效果的彰显具有重要意义，每一个初中数学教学工作者都应当给予足够的重视，以此与诸君共勉。