高中数学中导数的概念及导数的应用

◎谢楚舒

高中数学中导数的概念及导数的应用

◎谢楚舒

在我们数学的学习中，导数是非常重要的基础内容。高中教材中导数的引入给我们解决数学上的问题提供了新的视野，导数应用在高中数学中的很多领域。导数对我们来说不仅是普通的数学知识，它也是我们手中的一把利剑，它让我们对函数性质的研究、函数极值最值的探求、曲线斜率等的求解提供了解决的途径。

高中数学导数的基本概念总结

当自变量的增量Δx＝x-x0，此时Δx→0时函数增量Δy＝f（x）-f（x0）与自变量增量之比的极限是存在并且有限的，我们就可以称函数f在x0点是可导，称之为f在x0点的导数（变化率)。函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f（x0）］点的切线的斜率（该函数曲线在这一点上的切线斜率就是该导数的几何意义）。

一般情况下，我们判断函数的增减性是利用函数的导数，设y＝f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）＞0，则f（x）在这个区间是单调递增。如果在（a，b）内，f'（x）＜0，则f（x）在这个区间是单调递减的。因此，当f'（x）=0时，y＝f(x )有极大值或极小值，极大值里最大的数就是最大值，极小值中最小的数就是最小值。对导数求解的步骤，一般如下：求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ；② 求平均变化率；③ 取极限，得导数。

导数的应用

几何方面的应用

在掌握导数概念的前提下，在函数图像的基础上来对导数的几何意义进行研究是导数相关概念的扩展，也是导数内容中重要的知识。微积分中重要的基本概念就是导数，假设自变量的增量趋近于零，是因变量的增量比上自变量的增量的极限。假设一个函数可导或可以微分，那么这个函数一定是存在导数的。可以求导的函数一定是连续的，但是不连续的函数一定是不可以求导的。在几何解析中，我们求曲线的切线时，我们只要知道曲线的方程y=f(X)和曲线上存在的任何一个点的坐标，我们来求这一点的切线方程时就可以对函数求导。求曲线的切线方程具体做法：第一，对导数进行求解，得到曲线在已知点的切线的斜率。第二，假设已知切线的斜率和对应切点的坐标，那么我们就利用点斜式来求切线方程。例如，已知曲线上点（1，2）和曲线y = xlnx，求此点所在的切线方程。解：对函数f(x) =xlnx求导得f'(x)=lnx+1，得到f(1) = lnl+1=1，所以在点(1，2)的切线方程为y-2=1(x-1)，即y=x+1，可得切线方程：y=x+1。从上题可以看出求解切线方程时，先求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，就是曲线在已知点的切线斜率，在运用点斜式公式，就可得到切线方程。

在函数方面的应用

函数的单调性。判断函数的增减性利用导数的符号，这是在对曲线变化规律进行研究时导数几何意义的一个应用，数形结合的思想也被充分体现。一般情况下，假设在某个已知区间（a，b)内，假如f'(x)＞0，我们可以得到函数y=f(x)在（a，b）内单调递增；同理，如果f'(x)＜0，那么函数y=f(x)在（a，b）内单调递减。除此以外，还有f'(x)=0在某个区间恒存在，则f(x)则为常数函数。需要注意的是，在某个区间内f'(x)＞0是f(x)不是在此区间为增函数的必要条件，而是充分条件。如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知增函数f(x)，答题就必须写f'(x)≥0。对函数单调区间求解的步骤为：①确定f(x)的定义域；②求导数；③由解出相应的x的范围。当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；反之，当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．

函数的极值。我们对函数极值求解的步骤一般是：第一要明确函数的定义域；第二求函数的导数；第三在定义域内求解所有的驻点与导数不存在的点，也就是求解方程的所有实根。第四，看驻点左右侧的符号，如果左边为正，右边为负， f(x)的极大值就在这个根处。反之， f(x)极小值就在这个根处。

函数的最值。假设f(x)在［a，b］上的最大值（或最小值）是(a，b)内的一点，那么极大值（极小值）就是这个最大值（最小值），也就是说，它是 f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是在［a，b］的端点a或b处也能取得极值，极值与最值的概念是不同的。求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤为，第一求f(x)在(a，b)内的极值； 第二，将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中一个最大是最大值，最小的那个就是最小值。

利用导数解决实际优化问题。生活中经常遇到利用导数来求解实际的优化问题，比如说求最大利润，最省用料、最高效率等，我们将这些问题称为优化问题，其实就是最值问题。对这些问题进行解决是非常有现实意义的，这些问题一般都可以转化成我们所学的函数问题，然后对函数的最大或最小值进行求解。

从以上的叙述中可以看出，在应对复杂的问题时使用导数，感觉比较容易，计算过程也比较简便，其实这就是对求导公式和求导法则的考察。我们要掌握好关于导数的概念，将导数与其他知识相结合，来用简单的方法解决复杂的问题。

（作者单位：湘阴县第一中学）