回析运算过程，详解错误成因——以一道整式除法教学为例

☉江苏省苏州市高新区第一中学 杭超峰

回析运算过程，详解错误成因
——以一道整式除法教学为例

☉江苏省苏州市高新区第一中学 杭超峰

运算法则是学生进行数学运算的重要依据.由于负数与代数式的加入，使得初中阶段的运算法则显得较为繁杂.当运算法则集中出现时，学生进行运算时极易混淆法则，出现共性错误.为了规避这些错误，我们应引导学生回过头分析自己的运算过程，在对法则应用历程的梳理中找出错因，形成个体化的避错策略，推动其运算能力的提升和运算素养的积累.

一、一道计算题的教学历程

1.例题及其简析

例题计算：

简析：本题是笔者执教人教版“14.1.4整式的乘法”第4课时的一道例题，这节课学生学习的是同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式等知识，涉及的知识较多，虽然这些知识之间有着一定的内在联系，但由于法则众多，学生容易混淆，这道题将会综合应用本节课所学的所有知识，是一道较好的巩固训练题.

2.教学过程

在本节课的新知全部学习结束后，教师投影上面的例题，让学生自主解答.在学生解答过程中，教师在室内巡视，不时停下来观察学生的解题情况.3分钟后，教师请几位同学展示了自己的解题过程，并结合这些过程展开了追问.

师：你是怎么得到这个结果的？

师：具体说说你是怎么除的.

教师让生1在投影的过程中将这一步补上.

师：做得不是蛮好的嘛！怎么就和他们结果不一样呢？你接下来怎么除的？

生1：将各个单项式相除，系数先相除，所得结果的系数依次为-6，+2，-1.然后再进行同底数幂的除法.

师：你确定你是按照同底数幂的除法法则进行的运算？

生1（抓了抓头，恍然大悟）：哦！我知道哪儿错了！

师：哪儿错了？

生1：除以系数后，其他的我都是将同底数幂相乘了！

师：哦！原来是这样啊！看来你是运算法则用错了，今后可要注意哦！

师：这个结果又是怎么得到的呢？

师：你也是这么做的？（教师手指着“过程1”）

生2：是的啊！

师：说说-6x是怎么得到的？

师：你是根据什么得到的？

生2：单项式除以单项式的法则.

生2：是的！

教师：结果是多少？

生2：（先是一愣，然后理解反应过来）哦！我错了，结果应该是-1.我以为一除就没了，所以，给出了两项的结果.

师：那结果应该是几项呢？

学生（齐答）：三项！

师：这给了你们什么启示？

生2：多项式除以单项式一般所得结果的项数与原多项式的项数相同.

师：好的！这就可以成为我们今后检查多项式除以单项式是否正确的重要依据.

教师投影过程3，同时将规范的过程（即过程4）一并投影.

师：这儿的两个结果有什么差别？

生3：每项都只差一个符号！

师：怎么会这样呢？

师：看来你审题还是不细心啊！通过这道题的解答与交流，对你们今后进行类似运算有什么启示？

生3：要理清运算类别，用准运算法则.

生4：关注运算过程中的项数变化.

生5：审题要细心，要和数的计算一样，注意符号的变化.

生6：要按照规定的运算顺序进行运算，不能跨步.

生7：对于有多种运算法则参与的混合运算，每一种法则的应用都要按照既定顺序进行.

3.教学过程简析

究错教学一直是初中数学教学的重要内容.在这则片断中，教师在学生获得本节课新知后，让学生带着尚未网络化的知识走上了“犯错的道路”.由于这一节课学生获取了同底数幂的除法、单项式除以单项式和多项式除以单项式等多种运算法则，加之先期获得的多种运算法则，此时应用“打架”是难免的.接下来，针对三个错误解题过程的教学，从学生解题历程的自主回顾开始，依托于教师的深入追问，让学生犯错的原因无处藏身.几乎每一名出错学生的恍然大悟，都带给所有学生很大的启示，一个个基于避错需求的策略在此过程中自然生成，无论是显性的文本阐述，还是隐性的内在感悟，都将成为学生今后问题解决的有效抓手.

二、几点思考

1.过程回析要细致入微

对解题教学来说，解题过程的“回放”是分析出错原因的重要途径.随着解题过程的逐步“回放”，学生法则应用和过程书写中的漏洞便会显山漏水，呈现在学生的“眼前”.所以，对学生解题过程的回析一定要细致，要有足够的耐心让学生逐步展示自己的错误历程.这样的过程陈述绝不能轻描淡写，更不可简明扼要，一定要详实到位，只有这样才有可能找出学生真正的错因.显然，上面案例中的老师对过程的回析是到位，针对每一名学生“犯下的错”，教师总能引导他们从自己思考与解答的起点出发，一步步找到自己的“出错点”，并想出规避再度出错的策略.这样的过程回析，小步慢走，基于教师的等待，成就学生的成长.

2.错因详解要以生为本

学生是数学运算出错的主体，在运算究错中，他们也理应成为活动的主体.要知道，个体数学运算素养的提升，外在的力量所起的作用是有限的，我们应更多地去挖掘学生内在的力量，并以此推动学生个体进行自我反省和自我总结.错因详解，是学生在教师引导下进行的解题再探，所做的不是对正确的思路或过程再思考，而是找寻获得正确过程途中留下的错误“印记”.在上面的案例中，老师的生本理念得到了很好的体现，三名学生都在教师的追问下找出了自己的“出错点”，在此过程中，教师没有替代学生思维，优秀的学生也没有替代他们陈述，整个过程中只有“犯错者”与教师一直进行着对话，他们在教师的步步“紧逼”下幡然“悔悟”，并决心“痛改前非”，这是何等幸事.

3.归纳总结应立足当下

错因分析，是错例教学的起点和关键，但不是终点.仅有错与对的辨析，没有错与对的理性思考，再多的错例教学也是没有价值的.所以，错例教学应立足于错解过程的回析，找出错因，并形成对今后类似问题解决的避错策略.为此，我们应高度重视错例教学中的归纳总结，要让学生在发现识错、纠错后，想办法避错，想出自己能用的避错“高招”.只有这样，我们的究错才能发挥其真正的效用.看看上面在每一则错例讲评之后的小结，以及讲评结束后的整体归纳，学生都是有所思并有所获的.这样的思考与收获，完全来自于即时交流点评后的反应，是对典型错因的本能反应，有知识、技能的参与，更有数学思想与解题经验的作用，对后面的问题解决将会起到极其重要的影响.

三、写在最后

数学运算出错是正常的.如何处理这些错误一直被一线教师所关注.分析错因是错例教学不可缺失的环节，如何分析？各位老师都有自己独到的方法.本文中展示的是基于错误解题过程回放之上的错因分析，整个过程中师生互动，共促成长，提升的不只是学生应用运算知识解决问题的能力，更有对学科教学影响巨大的数学运算素养的提升.当然，这样的做法仅是笔者在教学中总结出的一套行之有效的操作路径，不具有很强的普适性.个中不足，期待广大同行专家批评指正.H