平面几何起始教学的“四个重视”<br/>——学习钟善基先生平面几何起始教学建议

平面几何起始教学的“四个重视”
——学习钟善基先生平面几何起始教学建议

2016-12-28江苏省海安县曲塘中学附属初级中学

中学数学杂志 2016年24期

☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学戴路

平面几何起始教学的“四个重视”
——学习钟善基先生平面几何起始教学建议

☉江苏省海安县曲塘中学附属初级中学戴路

我国著名数学教育家、数学教育学科的主要创立者和奠基人、北京师范大学教授钟善基先生（1923～2006）多次参与《中学数学教学大纲》的起草和修改工作.钟先生在《初中平面几何课中“基本概念、相交线、平行线”的教学》一文（详见《钟善基数学教育文选》，人民教育出版社，详见文1，以下简称“钟文”）中，对平面几何的教学提出了一些建议，尽管时光过去将近30年，至今却还能对平面几何教学有所启发.本文梳理笔者研习该文的一些心得体会，供分享.

一、“钟文”内容概述

“钟文”主要分教材内容概述、理论分析、教学目的简括、教法要点，其中在教法要点方面又分为上好导言课、概念的教学、公理的教学、定理的教学这四个方面详细进行论述.这里概述一下“钟文”教法要点中四个建议.

1.上好导言课

“钟文”首先指出，长期以来，初中平面几何的起始教学常常不易取得良好的效果，原因是学生不知道学习几何有什么用，不理解几何的研究对象是什么，从小学到初中学习数学的印象只是“算”，不知道数学的研究对象除了“数量关系”，还有“空间形式”，不理解反映“空间形式”的几何研究对象，把几何作为数学的一个分支来学习，学生在思想上一时难以接受.作为一门新分支学习的导言课，“钟文”要求我们带领学生明确几何研究对象，根据定义、性质、性质背后的道理的顺序来明确学习要求，并传递给学生一个印象：不但要明确某个名称指的是什么，而且要把它说得更清楚，不但要说清楚某个性质是什么，还要说清楚为什么会有这个性质的道理.也即另一位著名数学教育家傅种孙所倡导的“知其然，知其所以然，何由以知其所以然，启发学者，示以思维之道耳”.

2.小学已出现过的概念如何教学

这里所指的概念是指在小学阶段已出现过的数学概念或“名称”，学生在新学这些概念时容易出现“早已知道了”，从而不会集中精力，结果往往是“空转一课”，仍然不明确相关概念的内涵和新本质.钟先生认为应该以复习的姿态出现，让学生集中注意力认真回忆和试答.在例举平行线的教学时，让学生先回忆它的概念，当学生不加限制条件“在同一平面内时”，教师用代表两条直线的小棍摆出异面直线的形象，给出反例让学生辨析后在定义中添补出条件“在同一平面内……”.再比如讲解垂线时，钟先生建议从复习的姿态出发，让学生先辨析一组垂线的图形，学生如果只肯定“标准图式”（图①、④），而不能辨别出“非标准图式”（图③⑥⑦），则安排学生度量检验出90°角，从而深刻理解数量关系与位置关系之间的对应思想.

3.重视公理教学，引导学生认清、记牢公理

关于公理教学，钟先生提醒要防止学生在思想上产生“这是理所当然、尽人皆知的，何必如此小题大做”的观念，缺少应有的重视.并以“两点确定一条直线”公理教学为例，让学生经历经过一个定点画直线（可画无数条），再到经过两个点画直线（只能画一条），还要分析经过三个点能否一定画出一条直线（未必有）的比较，这样让学生感受到唯独过两点的直线，有而且唯一.这是点和直线在位置关系上的一个特性，让学生认清、记牢.

4.定理教学重在定理推证，在简化中取舍

定理是由公理推证出来的，而推证定理往往涉及文字命题的证明，这里钟先生特别强调，教师必须按照逻辑顺序在黑板上较详细地写出已知、求证、证明，并以对顶角相等为例，示范板书.特别是，钟先生解说了“复合三段论法”（推证过程中不止用一次三段论时，就把这种推证方法叫作复合三段论法），而在数学中，推证命题时并不把“大前提”“小前提”“结论”完全写出来，实际上反映的是简化了的复合三段论法.如何简化？为了促进学生理解得更形象、深刻，就需要把简化中的取舍显示出来，为此钟先生详细给出证明“对顶角相等”的主要过程.对于我们指导学生初学几何推证、几何语言的简练有较大的帮助.

二、关于平面几何教学的一些思考

1.重视起始阶段的几何概念教学

根据钟善基先生的建议，结合教学实践，我们认为，几何起始阶段需要重视几何概念的教学.比如线段、射线、直线的概念，需要跟小学对比着学.初学几何，不仅知道怎样的图形是线段、射线和直线，而且需要知道它们的不同表示方法，它们能否度量，如何用几何语句描述这些概念，因为这些概念能否让学生深刻理解，直接影响他们后续学习三角形的边、三角形中重要线段（角平分线、高线、中线）、圆中弦（包括直径）.再如角的学习，角的不同表示方法，角的度量，大小比较等都是后续学习的基础，特别是两个角之间的互余、互补关系是教学重点也是教学难点，这涉及两角的数量关系与位置关系之间的辨识和理解，是有初中几何特征的对应关系，后续垂线的性质，平行线的判定与性质，仍然是数量关系与图形位置关系之间的对应和沟通.

2.重视标准图形与非标准图形的变式教学

如图1，钟先生提出的让学生辨识哪些是垂直线的图形，其实就是引导学生从标准图形走向非标准图形，并在此过程中感悟、内化垂线概念.这种变式教学的追求对学生掌握和理解垂线定义有帮助，特别是在这一学习过程中，可以让学生逐渐理解初中几何概念或定理的本质，而不只是停留在形式、表面上，需要他们走向深层次的结论认识，学会辨识，感悟共性.事实上，代数教学中也有很多概念的学习需要类似的从标准走向非标准的教学方式，比如“同类项”教学，需要在大量的同类项式子的辨识中让学生感悟出同类项的“两同”（所含字母相同，相同字母的指数相同）.

图1

3.重视让学生辨别命题的题设与结论

“钟文”特别指出，在定理教学时会涉及定理的证明，这时不能直接给出已知、求证，并帮助学生画好图形，直接安排证明，这种“去头、掐尾、烧中段”的定理证明是值得警惕的.而应该在发现、归纳出来文字命题、猜想之后，引导学生辨识清楚这个猜想或该命题的题设是什么，结论是什么，即辨别已知、认准求证.想起不少教师执教等腰三角形性质一课时，常常是引导学生操作、折纸后得出等腰三角形“等边对等角”，然后教师直接给出图形、已知、求证，证明方法的多样性由学生生动活泼地展示出来，课堂氛围也十分活跃，然而我们注意到著名特级教师李庾南老师对此曾有过的批评，她认为等腰三角形的性质如等边对等角的证明，就这一节课来看，最重要的不是定理的证明，而是引导学生辨识该定理的条件与结论，并能准确地画出图形，写出已知、求证.想来，这是非常有见地的实践观点，值得我们倾听和践行.

4.重视几何语言的规范书写

根据教学经验，初学几何有相当长时间（至少一个月内），学生对几何语句的结构、书写是需要认真训练、纠正的.这也与小学阶段图形问题解题时只注重列算式进行运算的训练有关，难以一下子迁移到一个新的数学分支中来，特别是推理语句的组织与结构，还需要教师的反复示范、纠正错误.这里还可提及傅种孙先生关于平面几何教学的八字建议“指示正确，纠正错误”，几何起始阶段的教学恰恰应该在这些方面下大功夫.甚至对于教材上特别简洁的证明语句，需要像“钟文”中提出的把复合三段论式的内容全部显示出来，把简化前的取舍都显示出来，以促进学生更好地理解几何语言.