基本图形：让辅助线的添加更自然——从“锐角三角函数”的单元复习课谈起

☉江苏省盐城市明达中学 李新红

基本图形：让辅助线的添加更自然
——从“锐角三角函数”的单元复习课谈起

☉江苏省盐城市明达中学 李新红

“锐角三角函数”属于初中几何学习的核心内容，相关题目具有一定的综合性.于是，笔者在进行完本章的新授课教学以后，选取了三个典型的例题，既复习了本章的核心内容，又重点关注了辅助线的添加方式，在教学过程中收到了良好的教学效果.现进行简单说明，不当之处，敬请指正.

一、例题呈现

例1如图1，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值.

例2如图2，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD=2，AB=4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，点B恰好与点D重合，求∠BCE的余弦值.

图1

图2

例3如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，CD∥AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），连接AE，交BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点G.

图3

当AC=5时，连接EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长.

二、分析和解

例1：

分析：求∠CDA的三个三角函数值←直角三角形存在，需要求出直角三角形三条边的长度←①题干中没有出现长度，设未知数是关键；②D为AB的中点是解决问题的突破口.

解：如图4，取BC的中点E，连接DE，设DE=k.

因为D为AB的中点，DC⊥AC，所以DE∥AC且∠CDE=90°.

图4

所以AC=2k.

在Rt△ACD中：

基本图形：在分析中提到条件“D为AB的中点”是解决问题的突破口，所以在解决过程中构造了“三角形中位线”的基本图形，使得问题顺利解决.

例2：

分析1：求∠BCE的余弦值←具备直角三角形←根据条件直接求（略）.

分析2：求∠BCE的余弦值←虽然具备直角三角形，但已知条件中的长度不在此直角三角形中←需要将∠BCE进行“转移”，即等角代换←题干中的“翻折”是解决问题的突破口.

解：连接BD，根据轴对称的性质得：BD⊥CE（如图5）.

因为∠BCE+∠CEB=90°，∠ABD+∠CEB=90°，所以∠BCE=∠ABD.

图5

基本图形：分析1中的直接求，计算量较大，分析2中的方法则较简单，关键是抓住了“翻折”的性质：对称点的连线和对称轴垂直，进而将所求角顺利转移，在问题解决过程中主要构造了“中垂线”的基本图形.

例3：

分析：此题中，由于直角顶点不确定，所以需要分类讨论.

解：延长AG交CD于点K.

第一种情况：当点G为直角顶点（如图6），即EG⊥AK时：

图6

由于CD∥AB，AG平分∠BAE，所以∠FAG=∠GAB=∠EKG，所以△AEK为等腰三角形.

由于EG⊥AK，所以点G为AK的中点.

由于CD∥AB，所以G也为BC的中点.

第二种情况：当点E为直角顶点（如图7），即EG⊥AE时：

图7

过点G作GN⊥AB，此时可以得到△AGB也为等腰三角形，所以BN=AB=

在Rt△ACB和Rt△BNG中：

基本图形：“延长AG交CD于点K”是为了构造相似的基本图形（A型图或X型图），第一种情况中很自然就产生了“等腰三角形三线合一”的基本图形，第二种情况中添加的辅助线主要是为了构造“角平分线”的基本图形.

三、对应练习

练习1：如图8，点D是Rt△ABC的斜边AC的中点，CE垂直BD的延长线于点E，其中AB=15，cosA=，则∠DCE的正弦值为_______.

图8

图9

练习2：如图9，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∠A=30°.请你添加喜欢的辅助线，求出tan15°的值.

说明：练习1和练习2主要是为了考查锐角的三个三角函数的求法，同时练习2具有一定的开放性，不同的添加辅助线的方式会有不同的解题效果.

四、两点思考

1.单元复习课：以夯实基础知识为首要目的

新授课完成后的单元复习课的定位是什么？显然，不同于中考复习中的章节复习课或专题复习课，应该以夯实基础知识为首要目的.于是，笔者在本节课的教学中精选三个典型例题，围绕计算锐角的三个三角函数值展开，以核心概念为中心，取得了良好的教学效果.其中例1、例2以简单计算为主，例3具有一定的综合性，而且方法也比较多，在课堂教学中主要突出应用锐角三角函数解决这个问题的方法.

2.基本图形：让辅助线的添加更自然

辅助线被大多数学生认为是解决问题的拦路虎，更有学生说：“如果告诉我辅助线如何添加，这些题目我都会做.”如何使学生感到辅助线不是“神来之笔”或“帽子里跑出来的兔子”呢？笔者感觉加强学生对基本图形的积累是一种有效的手段，比如在本节课的问题解决中主要用到了相似的基本图形、等腰三角形三线合一的基本图形、角平分线的基本图形、轴对称的基本图形、中位线的基本图形等.可以看出，上述基本图形来源于课本中基本的判定定理或性质定理的“图形语言”，是学生必须掌握的，没有进行丝毫的变式，不会加深学生的负担，因此笔者认为这是一种有效的尝试，欢迎更多的一线教师参与进来，不当之处，敬请指正.Z