基于对称之美的解题教学*——以对称观念统领下的全等教学为例

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

基于对称之美的解题教学*
——以对称观念统领下的全等教学为例

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

一、设计缘起

通过统计发现，单就人教版八年级上册涉及全等的内容（全等三角形与轴对称）中，具有对称特征的题目比比皆是，其中有关轴对称的题目53个，有关中心对称的题目10个，可见其题目之多、遍布之广.基于此，笔者感觉通过对称观念统领全等，可简约思维，化多为少，真正起到减负增效的功用.因为它摆开了技法之繁，跃进为道法之简，为此组织了本单元教学.第一课时为本节，重在形成对称观下的基本思路，题目的证明暂不求具体表达；第二课时为观念统领下的演练，需要规范表达题目的证明与求解.两节课作为一个教学单元，意在引导学生立足“对称图式”从审美的角度去审视数学，发展学生的几何直观，从“形”上的高度去理解数学，发展学生的学力、数学文化及核心素养.

二、目标定位

（1）感知两个三角形若处于轴（中心）对称位置一定能全等，形成初步认知，提升解题策略.

（2）搭建引桥，通过对图形的观察，依靠直觉，帮助学生从图形中有序、熟练地探寻出呈轴（中心）对称的全等三角形，并从对称的角度理解其用，感受对称美，用之解决相关问题；进一步培养学生观察、归纳、猜想和逻辑推理能力.

（3）尝试应用轴（中心）对称观念，在联想图式的基础上，构造出对称状态的全等三角形，解决没有现成的全等三角形时的几何问题，进一步领会对称观念，发展几何直观，欣赏数学美，发展与创造数学之美.

三、重难点预置

利用轴（中心）对称，构造出全等三角形，既是重点又是难点.

四、教学程序

（一）赏美——先行组织，唤醒模型

问题1：如图1，OC是∠MON的平分线，请你利用该图画一对以OC所在直线为对称轴的全等三角形.

图1

教学预设：学生尝试构图，形成角平分线的常用作辅助线的方法（如图2）.

图2

（说明：其实“垂两边”是“分两边”的特例，由于各自形态均常见，为方便使用故此分列）

问题2：如图3，请分别在BO与DO的延长线上取一点E，C，使得△OCE与△BOD成轴（中心）对称.

教学预设：学生尝试构图，形成共识，如图4，如图5.

图3

图4

图5

设计意图：两个问题共同托出对称之美，一个是基于角平分线的模型，一个是基于中点的模型，这些均是基本图式，心中有了这些类似于代数中“公式”的“图式”，树立起运用基本“图式”的意识，可发展学生的几何直观，面对问题心中就会有谱.这两个问题就是想法让学生心中有谱.

（二）寻美——图中探视，寻出模型

1.初始寻美——探模型

问题3：如图6，∠1=∠2，AD= AE.求证OB=OC.

图6

教学预设：学生尝试解答，师点睛——指向轴对称认识，返扣图2模型，体验对称之美.

分析：借助几何直观不难发现本题是对称图，要证OB=OC，只要证它们所在的两个三角形全等即可，而图中只有一对所在的三角形，但条件不足，有2个角但缺少一组边的相等，不难联想到向其他全等三角形去“借”，根据对称性，可确定全等方向——△ADB与△AEC，条件已具备，至此思路打通.

点评：基于图形的对称美，联想到全等是顺乎自然的，图中客观存在着，关键在于一双发现模型的眼睛，这个过程我们无妨称之为“寻美”——历经两个对称性全等的探索.

2.高阶寻美——新高地

问题4：如图7，在OA、OB上分别截取OC=OD，CF=DE，连接CE、DF交于点P.

图7

求证：射线OP是∠AOB的平分线.

教学预设：学生尝试，阻力大，则组织学生讨论，形成思路后，师点睛——指向轴对称认识，返扣图2模型，体验对称之美.

证明：由条件可知，OC=OD，OF=OE.又∠FOD=∠EOC，所以△ODF≌△OCE，所以∠OFD=∠OEC.又CF=DE，∠CPF=∠DPE，所以△CPF≌△DEP，所以PF= PE.又因为OF=OE，∠OFD=∠OEC，所以△OPF≌△OPE，所以∠FOP=∠EOP，所以OP是∠AOB的平分线.

点评：本题需要三个全等的支持，每个全等都是基于对称的，这种对称之美驱使着我们的深入探索，同时本题也给出了尺规作角分线的另外一种方法（在OA、OB上分别截取OC=OD，CF=DE，连接CE、DF交于点P，过点P作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线）.如此一波三折，我们称之为“高阶寻美”——吹尽黄沙始见金.

设计意图：用对称观点寻找全等三角形的过程就是寻找美、发现美的过程，就是几何直观发挥导航作用的过程，在这种意识的引领下，便于学生信心满满地去甄别、选择出可用的条件，思路更容易形成、迁移更容易发生.

（三）创美——对称引路，构造模型

问题5：如图8，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，求证：AB=AC.

教学预设：学生独立思考，先行尝试，估计轴对称思路容易形成，但中心对称的构造可能有阻力，可全班交流，师引导学生返扣图2模型、图5模型，体验构造对称带来的愉悦情感.

分析：直接证明，限于所学无能为力，若抓住角分线这一关键条件可构造对称图，让思路浮出水面.

图8

图9

证明：如图8，过点D分别向两边作垂线段DE、DF，可得DE=DF，结合BD=CD，通过HL可证Rt△DBE≌Rt△DCF，得∠B=∠C，进而AB=AC.或者利用面积，由BD=CD可得△DBA与△DCA等积，结合前文证明的DE= DF，可证AB=AC.另外，若抓住BD=CD（中点）这一条件，可构造中心对称（如图9），延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE，由于BD=CD，∠BDA=∠CDE，故△DBA≌△DEC，得AB=CE.∠BAD=∠E.又∠BAD=∠CAD，则∠E=∠CAD，即AC=CE，所以AB=AC.

点评：基于角分线构造轴对称，基于中点构造中心对称，都是对称美的一种应用，是一种审美意识下的创美活动，同时也是一种几何图式的灵活应用.我们心中有了这些意识，面对问题思路就会开阔——正所谓“心中有丘壑，笔下生云烟”.

问题6：如图10，△ABC中，∠A=90°，BD=2CE，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于点E.求证：AB=AC.

图10

教学预设：学生先行尝试，若阻力大可小组交流后全班交流，师引导学生返扣图2模型，再次体验构造对称带来的数学之美.

分析：由于“BD平分∠ABC，CE⊥BD”，结合起来思考我们不难想到构造对称，延长CE交BA的延长线于点F，如图10，易证△BEF≌△BEC，则FE=CE，又BD=2CE，所以BD= CF，再证△DBA≌△FCA即可.

点评：图形本身就给人一种残垣断壁的感觉，补阙就是审美意识下的产物，化残缺为圆满，特别是有了角平分线、垂直等关键条件，我们容易联想到角分线的基本图式，这种转化也是对称之美浸润下的实践行为.构造图式，创造图形之美，美催生出思维的力量.

问题7：如图11，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠A的平分线，P为AD上的任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC.

图11

教学预设：同问题6（略）.

分析：基于角分线构造对称，在AB上截取线段AC′=AC，连接C′P，易证△AC′P≌△ACP，得C′P=CP，如此一来，求证的问题就成了△BC′P的三边关系问题了.

点评：这是典型的角平分线背景下轴对称的构造，化线段不等问题为线段相等的问题，这本身就是一种辩证性转化.

设计意图：选择这三个有代表意义的问题，意在全程展现图2中角分线三个轴对称模型的构造之力，以及相关中点的中心对称的构造之谐，全方位地体现了对称之美、创造之宜.返扣赏美环节，形成一节课的前后关联，突出模型图式的导航作用.

（四）尚美——活学活用，益美其美

问题8：如图12，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，∠B=60°.请你判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论.

图12

教学预设：教学至此，学生有了一定的对称意识，但本题有一定难度，尝试后根据现场生成或追问或组织交流，及时跟进，把两个基本思路都摆弄出来，回归到图2的模型中去，进一步感悟构造对称方法的可行性，突出其价值，体验对称之美.

图13

图14

思路1：如图13，过点F作FG⊥BC于点G，作FH⊥AB于点H，作FM⊥AC于点M.因为AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，所以FG=FH=FM.因为∠B=60°，所以∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°.因为AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，所以∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=×120°=60°，即∠EFH+∠DFH=120°，又∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°.所以∠EFH=∠DFG.在△EFH和△DFG中，所以△EFH≌△DFG（AAS），所以EF=DF.

思路2：如图14，在AC上截取AG=AE，连接FG.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠1=∠2.

顺承结论：AE+DC=AC.

问题9：如图15，在△ABC中，BE与CD交于点O，并且BO=CO，∠EOC=∠A，OE＞OD，探究BD与CE的数量关系，并证明你的结论.

教学预设：这是本节第一个回归图4的模型题，学生尝试后，要视课堂动态去把握，最后返扣模型4，揭示出构造的作用，体验对称之美.

图15

图16

分析：如图16，在OE上截取OF=OD，因为BO=CO，∠FOC=∠DOB，则△DBO≌△FCO（SAS），所以FC=BD，∠FCO=∠DBO.因为∠EFC=∠EOC+∠FCO，∠FEC=∠A+∠DBO，又∠EOC=∠A，所以∠EFC=∠FEC，所以CE=CF，即BD=CE.（另外，本题还可以在左侧构图，即在CD的延长线上截取OF=OE，连接BF，剩下的证明基本思路一）

设计意图：选取两道较大跨度的题目，把学生的思维引向深水区，但不管题目如何复杂，对称的意识之下，不难寻到思路，把辅助线勾勒出来.第1题并拢了角平分线的两个基本思路，第2题演练了课始的另外一个对称的构造，做到了前后照应，便于学生对这一思路的内化.

（五）聚美——捡拾图式，美不胜收

教学预设：通过集体回顾，形成图式.

（1）基于角平分线的对称（如图2）.

（2）对称全等三角的其他常见模型（如图17）：

图17

设计意图：基本图式恰如代数中的公式，若能内化到学生的心中，就可以为解题带来诸多方便.

（六）用美——家庭作业，见证收获

（1）已知：如图18，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD.求证：∠1=∠2+∠C.

图18

（2）已知：如图19，AB=DC，AC=DB.求证：∠1=∠2.

图19

（3）如图20，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.求证：AE=AD.

图20

（4）如图21，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D.求证：AD+BC=AB.

图21

（5）如图22，BD平分∠ABC，∠BAD+∠C=180°，且AB＜BC.求证：AD=CD.

图22

设计意图：留5道作业题，大部分需要构造辅助线，是基于对称的辅助线，是数学之对称美的落地，是对课堂成果的课后延伸性巩固，也是老师诊断学生课堂掌握情况的重要凭证，老师根据学生完成情况，组织好第二课时的教学，第二课时的例题大部分衔接了本节的作业题，这也是前后一致、逻辑连贯的一种体现.

五、设计反思

1.数学之美助力解题

数学问题浩如烟海，解题时很难找到一定的程式，也不可能有万能的程式，可一旦题目提供的信息与学生的审美情感吻合，就会激起学生的审美直觉，在美的感召下，凭借美的直观感受或深层的求美意识，领悟问题外显的美或内蕴的美，并以此为思维导向，迅速、正确地确定解题思路、解题方法等，或另辟新径，获得别开生面之妙解.基于这些认识，作为教师要善于组织起尚美的数学课堂，让学生在解题实践中感悟到数学解题也可以是一种审美活动，利用对称三角形模型这些几何图式的直观展开思考，就是在审美情感支配下对数学美的追求，可以使几何问题的解决变得简明，利于发展学生的几何直观和审美意识，有了这种意识，面对数学问题时，数学对称美的直觉可以产生题感经验与审美直觉的谐振，以激发起数学思维中的关联因素，激活学生的创新因子，解题思路就会在数学美的熏陶下汩汩而出.

2.对称图式优化解题

通过本节课的解题实践活动，积累对称构图经验，在对称美的内力驱动下，逐步摸索出几条活动经验，以启迪学生思维，优化解题的思路：

（1）处于对称位置的三角形一定能证出全等，有了这个意识，便于锁定图形，展开定向性搜索思维；

（2）借力尚美心理造美，把非基本图形化归为基本图形，把阙美之图补益呈和谐之图，发挥几何图式的引领作用；

（3）对称直觉下的全等三角形可为其他三角形的全等输送可用条件，起到铺路搭桥的贯通作用；

（4）对称观点下构造出对称，有时候摆脱了三角形全等的证明，而直奔目标，大大缩短了求解的历程，因此，本文的“对称”并不一定是基于全等的应用，而是一种审美心向下的思维走势，是一种方向性引领，引领我们走出困境、走向澄明.

1.姜琳琳.欣赏操作为激趣，教学用力在性质——“轴对称（第1课时）”教学的评析与商榷［J］.中学数学（下），2015（7）.

2.李树臣.注重整体设计，突出几何直观——青岛版义务教育教科书数学八年级下册第十章“一次函数”简介［J］.中学数学（下），2015（7）.H

*本文系山东省社科联人文社会科学课题（基础教育专项）《“快慢相宜”的整体化教学模式之延伸研究》（课题编号：16-ZX-JC-37）的阶段性成果之一：观念统领下整体化教学模式的教学设计；也是山东省教学研究课题《全息教学论下的跨越式教学》（课题编号：pt-20120126）的延伸研究成果之一.主持人：邢成云.