带负值的Hybrid DEA 模型研究及其应用

马 璐，高李昊

(广西科技大学管理学院，广西 柳州 545006)



带负值的Hybrid DEA 模型研究及其应用

马 璐，高李昊

(广西科技大学管理学院，广西 柳州 545006)

现有的对DEA模型中出现负值的研究，主要是针对一些简单的半导向型、径向的模型研究，但是对于复杂的模型，大多是将负值变量先行处理为正值后，再代入模型，丧失了原有的数据结构，导致模型的准确性和可靠性遭到质疑，尤其是Hybrid DEA模型，包含了径向与非径向、无导向的因素，目前尚无对负值情况的研究。因此，本文以半导向模型CCR为基础，经过数学推导，得到一系列无导向、非径向的数学模型，并将Emrouznejad et al.的负值处理规则应用到这些模型，从而得到能处理负值情况的无导向径向模型(NORM-VRS DEA)和无导向非径向模型(NOM-VRS DEA)，进而对其数学模型进行了深入的研究，推导得出相关引理与结论，最终解决了Hybrid DEA模型带有负值情况的问题。随后，利用开发的模型对中国规范型证券公司的经营效率进行了实证分析，验证了模型的实际有效性以及所推导出的引理和结论是否正确，发现了与原有Hybrid DEA理论的一些不相符之处，并对其原因进行了简单分析。

Hybrid DEA；SORM；NOM DEA；风险因素

1 引言

根据输入变量和输出变量的不同特征，可以将DEA(Data Envelopment Analysis)理论分为径向的与非径向的两类。径向理论将决策单元分为有效率部分和非有效率部分，输入变量或者输出变量按比例变化。其主要缺点就是忽视了非径向输入或输出型的松弛变量。该理论主要代表是CCR (Charnes， Cooper and Rhodes (1978))[1]和BCC (Banker，Charnes and Cooper (1984))[2]。国内学者在该领域也进行了探讨。傅敏维和尹航等[3]综合利用CCR模型和C2GS2模型的优点，提出了一个混合DEA模型，并将其用于医药行业经营效率的测度。毕功兵和冯晨鹏等[4]考虑环境属性因素，修正了平行结构DEA模型，成功地应用于中国各省份污染治理效率的测算。程昀和杨印生[5]构建了基于CCR模型的新的网络 DEA模型，并与传统CCR模型作了比较分析。李春好和苏杭等[6]利用TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity)的理想点构造方法，构造了一种新型DEA交叉效率评价模型。与此同时，非径向理论并未假定输入变量或者输出变量按比例变化。Russell[7]首次提出了Russell图像法，解决了技术效率在计算和合理解释方面的困难，将比率效率和松弛量统一为一个标量。Pastor等[8]提出了一个新颖的GEM (Global Efficiency Measures) 方法，改进了原来Russell图像方法，投入变量或产出变量能按非径向(不同比例)变化。Tone[9]首次成功开发了一个非径向的SBM DEA模型，能够解决松弛变量对效率值测量影响的问题。近年来，国内学者孙立成和周得群等[10]提出了非径向超效率DEA聚类模型，并将其与传统DEA模型对比分析了我国各地区FEEEP系统的协调发展水平。周忠宝和孙亮[11]利用存在保证域的模糊非径向偏好DEA模型，提高了对中科院研究所效率测算的准确度。非径向模型主要优势就是可以直接处理松弛变量，但是却没有考虑输入变量和输出变量的径向特征。

因此，Tone[12]首次开发了一个全新的混合模型(Hybrid DEA)，将径向特征与非径向特征纳入同一个分析框架中。当所有决策单元(DMUs)中的输入变量和输出变量全部为正值时，传统的DEA模型在实际应用中变得非常有效。但是在现实中，一些决策单元中的输入变量或者输出变量存在负值或者两者兼为负值的情况。例如，当利润作为输出变量时，有时会出现利润为负值，即损失。正因为如此，许多知名学者提出了诸多解决方法。Ali和Seiford[13]，Lovell和Pastor[14]，Cooper等[15]，Seiford和Zhu[16]利用平移不变原理，将负值全部变成正值，进而提出了加法DEA模型解释这种问题。Chen和Lin[17]对负值风险变量进行处理，利用投入导向的BCC模型估算了共同基金的经营效率。Portela等[18]首次开发出区间距离定向模型(RDM)处理负值情况，测算了银行效率。Sharp等[19]利用修正的SBM模型(MSBM)，解决了输入变量和输出变量同时存在负值的问题。Emrouznejad等[20]构建了新型能够处理负值的半导向径向的DEA模型(SORM DEA)用来测量评估单元的效率。Lamb和Tee[21]也提出了一种新方法来测算投资基金的经营效率。Cheng Gang等[22]提出了一种处理全为负值的径向变量的方法，并且将其与SORM和RDM方法进行了比较研究。Kazemi R等[23]对SORM理论进行了深入研究，对其无法得出决策单元(DMU)最优目标值的缺点进行了一定程度的修正，并且实证验证了其效果。

综上所述，现有的对负值情况DEA研究都是针对半导向型、径向的模型，并未有对无导向型、非径向模型的研究，尤其对于混合模型这种极为复杂的模型更是困难重重。正因为如此，本文以半导向模型CCR为基础，经过数学推导，得到一系列无导向、非径向的数学模型，并将负值处理规则应用到这些模型，从而形成了能处理负值情况的无导向径向模型(NORM-VRS DEA)和无导向非径向模型(NOM-VRS DEA)。通过这些模型的深入探讨，推导得出一些引理与结论，有利于解决Hybrid DEA模型中存在负值变量的问题，并将最后得到的[NOM-VRS-NHybrid]模型与之退化形式作比较分析，更深入一步的研究了该模型的性质与特征，得出了一些结论。最后，本文将所得到的一系列模型应用到对我国规范型证券公司的经营效率研究上。

2 Hybrid DEA 模型

假设数据集合都是正数，即X>0,Y>0，则生产可能性集合可以定义为：

P={(x,y)|x≥Xλ,y≤Yλ,λ≥0}

这里的λ是非负向量属于Rn，用以表示变化规模报酬模型如下：

∑λj=1

θ≤1,φ≥1,λ≥0,sR-≥0,sNR-≥0,sR+≥0,sNR≥0

其中sR-∈Rm1，sNR-∈Rm2表示径向与非径向输入变量的过量投入值，而sR+∈RS1和sNR+∈RS2则表示径向与非径向输出变量的过少产出值，它们都是松弛变量。如果θ=1,φ=1，λ0=1,λj=0(∀j≠0)时，则可以解释松弛变量全为零。基于以上的表达式，定义如下指标：

(1)

θ≤1,φ≥1,λ≥0,sNR-≥0,sNR+≥0

[Hybrid]模型通过Charnes 和Cooper[24]

转变为如下线性规划问题：

(2)

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0

线性规划问题的一个最优解可表示为(t*,Θ*,Φ*,SNR-*,SNR+*)， 以及最佳混合效率的解如下：

ρ*=τ*,θ*=Θ*/t*,φ*=Φ*/t*

λ*=Λ*/t*,sNR-*=SNR-*/t*,sNR+=SNR+*/t*

至于一个混合无效的DMU，i.e. ρ*1，混合投影可以给出如下：

利用最优解(θ*,φ*,λ*,sNR-*,sNR+*)，将混合效率指标ρ*分解为如下四个方面：

当然也可以定义投入与产出非有效值如下：

投入非有效值： α=α1+α2

产出非有效值： β=β1+β2

因此，ρ*可以表示如下：

通过以下条件限定[Hybrid]模型在计算变化规模报酬条件(VRS)下的混合效率。

∑λj=1

(3)

∑Λ=t

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0

3 修正的Hybrid DEA 模型

在这一部分，将提出解决有负值情况的Hybrid DEA模型，并将其定义为NOM-VRS- NHybrid DEA 模型。利用Emrouznejad等[18]的负值处理规则，本文将其应用到无导向径向模型(NORM-VRS DEA)、无导向非径向模型(NOM- VRS DEA)以及拥有径向与非径向的无导向混合模型(NOM-VRS-Hybrid DEA)中，并对这些模型进行了深入研究，推导得出新的引理与结论。

3.1 NORM-VRS DEA 模型

CCR与SBM是特殊的Hybrid DEA模型，也可以说成是一种混合模型的退化，即输入变量和输出变量全部为径向变量以及输入变量和输出变量全为非径向变量。Charnes， Cooper和Rhodes[1]提出CCR的半导向型(输入半导向型或者输出半导向型)模型。输入半导向型具体数学模型如下：

s.t πx0≥Χλ

y0≤YHλ

(4)

∑λ=1

π≤1,λ≥0

令π=θ/φ,λ=Λ/φ，θ≤1,φ≥1，可以将[SEMI-VRS-CCR-I]转化为下面的无导向径向的CCR模型，具体如下：

s.t θx0≥ΧΛ

φy0≤YΛ

(5)

∑Λ=1

θ≤1,φ≥1,Λ≥0

将存在负值情况考虑到模型(5)中，假设K为输入变量矩阵全为正数，L为输出变量矩阵有负值的情况，其中L1表示输出变量矩阵J中正值部分，L2表示输出变量矩阵L中负值部分，即K∪L={1,…,M},K∩L=φ。根据Emrouznejad等[14]的规则对其定义如下：

同理，令H为输出变量矩阵全为正数，J为输出变量矩阵有负值的情况，其中J1表示输出变量矩阵J中正值部分，J2表示输出变量矩阵J中负值部分，即H∪J={1,…,S},H∩J=φ。我们对其定义如下：

其中L=L1-L2，J=J1-J2，所以评价DMU-0的VRS-CCR模型修正如下：

s.t θx0K≥ΧKΛ

θx0L1≥XL1Λ,θx0L2≥ΧL2Λ

φy0H≤YHΛ

(6)

φy0J1≤YJ1Λ,φy0J2≥YJ2Λ

∑Λ=1

θ≤1,φ≥1,Λ≥0

在模型(6)中，实质上反映的是正值径向内容。对输入变量以及输出变量，却将其分成正值和负值两部分，从而增加了两类变量分别处理这两部分。该模型中，将负值的输入变量认为是输出变量，从而通过增加负值的输入变量改善效率值；将负值的输出变量认为是输入变量，从而通过减少负值的输出变量改善效率值。当然这种改善是基于其他正值变量对于DMUs有一个正的合理值。当然，由于模型是关于径向的理论，因此并没有考虑松弛变量对效率值的影响，也就是忽略了非径向因素。

3.2 NOM-VRS DEA 模型

当输入变量和输出变量全为非径向变量时，Hybrid DEA模型退化为Tone[7]提出的SBM模型。模型(5)经过以下推导可以转化为模型(7)。

θx0≥ΧΛ

在不等式两边加上x0，减去θx0，可以得到：x0≥ΧΛ+(1-θ)x0。定义s-=(1-θ)x0≥0，

s.t x0=XΛ+S-y0=YΛ-S+

(7)

∑Λ=1

Λ≥0,S-≥0,S+≥0

将模型(5)条件放宽后，得到了模型(7)。正因为存在这种子集关系，所以可以导出以下两点结论：

同理，将负值情况考虑到模型(7)中，根据前面负值处理规则进行处理，经过[LP]转化得到[NOM-VRS-NSBM]如下：

(8)

ty0H=YHΛ-SH+

ty0J1=YJ1Λ-SJ1+

ty0J2=YJ2Λ+SJ2-

∑Λ=t

t≥0,Λ≥0,S-≥0,S+≥0

最优解为(ρ*,λ*,s-*,s+*)，其中λ*=Λ*/t*,s-*=S-*/t*,s+*=S+*/t*。

讨论模型(8)和模型(6)求DMU-0解的充要条件，根据Emrouznejad等[25]对SORM DEA一些充分条件的研究证明，可以得出与其类似的结论。令α0=max{max{x0K:K∈M},max{x0L1:L1,∈L}}β0=max{max{y0H:H∈S},max{y0J1:J1,∈J}}定理1：(1)仅当α0>0或者β0>0时，模型(8)

和模型(6)中DMU0的解有界。

(2)仅当α0=0且β0=0时，模型(8)和模型(6)中DMU0的解无界。

更详细的说，虽然将XL分解为XL1和XL2

以及YK分解为YK1和YK2，但是在应用DEA模型时，PPS(Production Possibility Set)并没有发生分解。在模型(8)中，tx0L1≥XL1Λ，-tx0L2≥-X0L2Λ，将两者相加可得t(x0L1-x0L2)≥(XL1-XL2)Λ，XL=XL1-XL2所以可以得到在模型(7)中未分解的XL，同理可得未分解的YJ。所以任何模型(8)中的解全是模型(7)的解，反之不成立。根据前面的分析，存在模型(8)⊆ 模型(7) ⊆模型(5)， 模型(6)⊆模型(5)，因此，需要对引理1作一些修正。

3.3 NOM-VRS-NHybrid DEA 模型

在前面对Hybrid DEA的退化模型的研究基础上，提出解决Hybrid DEA中模型变量(输入变量或者输出变量或者两者兼而有之)在某些决策单元有负值与此同时另一些决策单元为正值以及全为负值的变量。首先定义产出变量在径向变量M1中K1表示输入变量矩阵全为正数，L1表示输入变量矩阵中有负值，即K∪L={1,…,M}，K∩L=φ，M2也同理可得如下表示：

K=K1+K2,L=L1+L2

M1=K1+L1,M2=K2+L2

K1>0,K2>0 M1∪M2={1,…,M},M1∩M2=φ

当然，可以利用以下原则处理决策单元与变量矩阵。

同理，产出变量在径向变量S1中H1表示输出变量矩阵全为正数，J1表示输出变量矩阵中有负值，即H∪J={1,…,S},H∩J=φ，S2也同理可得如下表示：

H=H1+H2,J=J1+J2

S1=H1+J1,S2=H2+J2

H1>0,H2>0 S1∪S2={1,…,S},S1∩S2=φ

将其应用到模型(3)，可得[NOM-VRS-NHybrid]修正模型如下：

(9)

∑Λ=t

Θ≤t,Φ≥t,Λ≥0,SNR-≥0,SNR+≥0非径向投入非有效值：

因此，效率值公式需要修正如下：

则可以得到下面定理(证明类似于Emrouznejad[20])。

定理2：(1)当且仅当α0>0或者β0>0时，模型(9)中DMU0的解有界。

(2)当且仅当α0=0且β0=0时，模型(9)中DMU0的解无界。

将Emrouznejad[20]作的关于负值的处理规则应用于模型(3)中，可以不需要像其他方法处理负值问题时改变坐标原点，保留了径向理论的重要特征，同时又增加了非径向因素作用。与此同时，当模型中不存在负值变量时，模型就退化为模型(3)。缺点就是增加了维度，因为将负值部分作为另外的变量加以考虑，从而意味着部分PPS被删除，不能识别部分帕累托有效值，但是并不产生糟糕的效率值。

4 实证应用

本文选取了2013年26家规范型证券公司，样本的数据源来自中国证券业协会网站。基于金融证券机构的特征和已有的研究文献，从中选择投入指标分别是应付职工薪酬(全部为正)、实收资本(全部为正)、营业费用(全部为正)；产出指标包括手续费及佣金收入(全部为正)、其他收入(有正有负)、投资收益(有正有负)、汇兑损失(有正有负)。然后，利用非参数统计方法(spearman 等级相关系数)来检测径向和非径向产出指标是否存在显著的线性关系，以及投入指标是否也存在非径向的指标，以此来判断其是否符合本文所建模型的基本条件，具体见表1。在表1中，显然可以得到投入指标相关系数至少0.57，且显著性水平低于0.01，满足径向的要求，除了实收资本与应付职工薪酬的结果有些令人失望。

表1 证券公司的Spearman's coefficient 测试

**Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).*Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).

表2 各个负值模型的结果比较值(括号内表示排名)

当然，在规范型证券公司中，发现汇兑损失与其他三组依然不仅相关系数明显低于0.13，且未通过显著性水平0.05检验，即表明其与另外3个变量有着本质区别，是非径向的。另外3个产出变量相互关系非常显著，相关系数各自为0.822、0.604、0.381，并且至少通过了重要性水平0.05的测试。虽然出现了一些噪音，但是仍然认为投入指标存在非常高的相关性，可以归为径向指标。在产出指标中，汇兑损失显然与其他明显不同，可认定为非径向产出指标，手续费及佣金收入、投资收益和其他收入显然有着令人满意的相关性，而且都是正向的。因此，本文采用带负值的Hybrid DEA模型是满足相关条件要求的，也是令人可以接受的。

5 结语

自从Hybrid DEA理论问世以来，受到了广泛的关注，但是由于其模型只适用于变量为正值的情况，因此应用范围受到了极大限制。本文在CCR DEA模型基础上，利用处理负值的规则对无导向的存在径向和非径向的DEA模型进行了深度研究，从而开发出了带负值无导向径向的DEA模型(NORM-VRS-NCCR DEA)以及带负值无导向非径向的DEA模型(NOM-VRS-NSBM DEA)，并在此基础上，推导出带负值的混合DEA模型(NOM-VRS-NHybrid DEA)，并对这些模型进行了深入研究，得到了一些非常有用的引理和结论。更进一步，本文利用中国证券公司做了实证分析，不仅显示了所提出模型的优越性和合理性，也为今后金融机构的效率研究提供了借鉴。

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A Non-Oriented Measure for Hybrid-DEA model with negative data

MA Lu, GAO Li-hao

(Management School, Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545006, China)

The existing research appears to negative DEA model, mainly for some simple semi-oriented and radial model. As to complex models, mostly the negative variable look-ahead processing is positive, then substituted into model, but this idea loss the original data structure, resulting in the accuracy and reliability of the model has been questioned, particularly Hybrid DEA model, including radial and non-radial, non-oriented factors, and there is no case for the negative research. Therefore, from a semi-oriented CCR model ,it is based on mathematically derived to give a series of non-oriented, non-radial mathematical model and such negative processing rules provided by Emrouznejad apply to these models, thus forming the new ones handling the negative non-oriented situations radial model (NORM-VRS DEA), non-oriented and non-radial model (NOM-VRS DEA), further, conducted in-depth study of its mathematical model, there are some conclusions lemma and final settlement of Hybrid DEA model problems with the negative situations. Subsequently, the development of model specification for Chinese securities company's operating efficiency empirical analysis also verify the actual effectiveness of the model and whether deduced lemma and conclusions are correct or not. Finally, It’s found that something of the original Hybrid DEA theory contrary to the department, and give a simple analysis.

hybrid DEA；SORM；NOM-VRS DEA；NORM-VRS DEA

1003-207(2016)03-0149-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.018

2014-07-09；

2015-06-23

简介：马璐(1965-)，女(汉族)，云南人， 广西科技大学管理学院院长，教授，研究方向：战略风险管理、企业组织、金融工程研究，E-mail:malu6655@163.com.

C931

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