信息不对称下可分公共物品的拍卖研究

卢允照，刘树林

(1.福州外语外贸学院经贸系，福建 福州 350202；2.对外经济贸易大学国际经济贸易学院，北京 100029)



信息不对称下可分公共物品的拍卖研究

卢允照1,2，刘树林2

(1.福州外语外贸学院经贸系，福建 福州 350202；2.对外经济贸易大学国际经济贸易学院，北京 100029)

在卖者面对两个风险厌恶的信息不对称知情投标者和一个风险中性的不知情投标者的假设下，研究可分公共物品的拍卖机制设计问题。通过最大化卖者的期望收入，同时满足所有投标者的理性参与约束与知情投标者的激励相容约束，建立了最优机制设计模型；给出了知情投标者的激励相容约束成立的充要条件，并用来简化了卖者的期望收入最大化问题。当不考虑随机性的卖方期望收入最大化问题时，利用Kuhn-Tucker条件进行求解，得到对每个知情投标者都存在一个临界值。当且仅当所报告的估价大于该值时，知情投标者可分配到一定数量拍品；同时，投标者报告的估值越高，就越能获得更多数量的拍品。研究结果对股票或债券发行的机制设计有参考价值，这是因为它们可看做可分的具有公共价值的商品。

机制设计；风险厌恶；非对称拍卖；可分物品；公共价值

1 引言

许多研究公共价值物品非对称拍卖的文献都只是研究两个买者的情形，即假设一个是具有私人估价信息的知情买者，另一个是没有私人估价信息的不知情买者。但是，在实践中，往往存在多个知情买者，且不同的知情买者在估价信息的数量以及准确性方面也存在着不对称。

关于面向非对称买者的公共物品拍卖，比较经典的有Wilson[1]和Reichert[2]的文章，他们用一个微分方程系统的隐式解刻画了相应的均衡结果；而Engelbrecht-Wiggans等[3]则对存在一个完全知情买者和一个完全不知情买者时的一级价格拍卖给出了一个均衡报价策略。这些经典的公共物品非对称拍卖研究，主要侧重于针对给定的拍卖机制，从竞拍者的角度求解均衡报价结果，我们将这一领域的研究问题进一步深入到拍卖的机制设计问题。

Paul和Rajdeep[4]刻画了知情买者间不对称程度的大小，研究了买者之间的不对称性对可分公共物品拍卖收入的影响，并得出买者的不对称程度越大，越有利于增加卖者收入。在可分物品拍卖方面，Bennouri和Falconieri[5]研究了新股的最优拍卖问题，他们利用最优拍卖方法研究知情买者即机构投资者的风险态度对新股分配结果的影响，并指出当买卖双方都是风险中性时，发行人的最优选择是将股票全部分配给散户，当机构投资者风险厌恶时，机构投资者有可能获得部分或全部股票。王彦和李楚霖[6]讨论了非对称情况下的多物品拍卖，即当投标人之间存在不同的预算约束时两物品的序贯增价拍卖，对于物品之间不同的关系(互补、替代或者不相干的关系)，物品价值大小的不同及与预算大小之间的关系，在一个简单的完全信息模型下，分不同情况讨论投标人的均衡出价策略，并发现对卖方来说，先拍卖价值高的物品是弱占优的策略。饶从军等[7]对统一价格下可分物品的拍卖问题进行了研究，他们首先在买者报价连续、买者和卖者风险中立、卖者采取可变供给量的策略下，设计了一个新的基于可变供给量的可分物品统一价格拍卖机制，研究了其信息激励作用和分配的有效性，给出了卖者的最佳供给策略和买者的均衡报价策略；然后，将拍卖机制推广到风险中立、风险偏好和风险厌恶三类风险买者共存的情形，并给出了相应的均衡结论，该结论与现有的一些成果相比更具一般性。Shi Xinyan[8]研究了信息不对称下带保留价的公共物品静态与动态拍卖，得到相应的最优保留价以及其中一种拍卖形式优于另一拍卖的条件。这一结果对于IPO时，发行人设置最优保留价以及选择一次询价或两阶段询价的定价形式，具有一定参考作用。Liu Heng[9]考虑在面向两个投标人的公共价值物品的第二价格拍卖时的均衡选择问题，并得到对连续且非占优策略的每个均衡，都可以构造一个序列的“几乎公共价值”物品拍卖，使得每一个拍卖都有一个唯一的非占优连续均衡且相应的均衡序列收敛于之前那个事后均衡。Einy等[10]研究面对两个有预算约束的信息不对称知情投标者的公共价值物品全支付拍卖并指出在这种拍卖环境下，充分高的竞价上限不能改变相对于没有上限的基准拍卖的投标者的期望收益。Liu Heng[9]和Einy等[10]研究公共价值物品拍卖都是从投标者的期望收益角度考虑，本文认为通常卖者才是拍卖市场的主导力量与规则制定者，所以我们从卖者的期望收益研究最优拍卖机制的设计。

综上，我们发现，针对可分公共物品，同时面向风险厌恶的信息不对称知情竞拍者与风险中性的不知情竞拍者的最优拍卖机制设计问题，还鲜有研究。而事实上，这样的研究情景设定，在真实的拍卖或类拍卖市场上是很常见的。比如在IPO(首次公开发行)市场，根据中国证监会2013年11月发布的《关于进一步推进新股发行体制改革的意见》，我国采取的是一种类似拍卖的询价机制，发行人具有新股定价与自主配售权，发行人根据机构投资者以及承销商认定的符合资质的个人投资者报告的新股申购价格与数量，决定新股的定价水平与配售数量。由于发行人拟募集的新股数量通常都在数千万到数十亿不等，所以如果把所有新股看成一个整体，显然可以将IPO近似看成一个可分物品的拍卖过程。同时，可以把参与新股申购的公募基金和全国性大型券商等机构投资者视为具有信息优势的知情买者，把私募基金和区域性小型券商等机构投资者视为处于信息劣势的知情买者，把个人投资者视为不知情买者；而机构投资者相对理性，可以认为他们是风险厌恶的；个人投资者往往缺乏理性，对待风险的态度通常显得中性一些。另外在国债拍卖以及并购等其它金融领域，也不难发现符合我们研究的情景设定。

基于Myerson[11]的机制设计研究框架，本文主要研究可分公共物品的非对称拍卖机制设计问题。卖者面对两个风险厌恶的具有私人估值信息的不对称投标者和一个没有私人信息的不知情投标者，根据知情投标者报告的估价，确定最优的物品分配与支付规则使得拍卖收入最大化。本文的工作主要拓展了Paul和Rajdeep[4]的不对称拍卖模型，假设知情买者是风险厌恶的并引入没有私人信息的不知情买者，在此基础上分析最优拍卖问题。而关键的风险厌恶型效用函数则采用了Bennouri和Falconieri[5]中的形式。

2 模型假设

我们将知情投标者看成拍卖市场上的具有较强实力的买者，他们无论在资金实力还是信息获取等能力上都强于不知情投标者，而具有公共价值的拍品的市场价格，主要受知情投标者的估价的影响。注意，此处的市场价格不同于投标者的最终支付价。投标者的支付价格仍然由卖方决定；拍卖结束后，物品的市场价值由知情投标者的估价确定。比如IPO时，打新的投资者支付价是由发行人和承销商确定的发行价；新股上市后的市场价格的形成可以认为主要是参考机构投资者的估价。

拍品的市场价值v是两知情投标者估值的加权平均，即v=w1s1+w2s2，其中 w1+w2=1，0

当w1

Var(v|s2)=w12Var(s1)

即基于信号s2得到的估值的方差小于基于信号s1得到的估值的方差，可认为强知情投资者2的估值比弱知情投资者1的估价精确度更高。

假设知情投标者是风险厌恶的，其效用函数采用Bennouri和Falconieri[5]中的形式：

(1)

其中qi为知情投标者i分配到的拍品数量，pi为相应的支付，v为拍品价值。显然Ui关于拍品数量qi是凹的，从而知情投标者关于拍品数量是风险规避的，这与经济学里消费者关于商品的边际效用递减的假设是一致的，同时知情投标者以机构买家为主，投标也相对理性，风险偏好较低；同时，Ui关于货币支付pi是风险中性即线性的，这样的假设在拍卖文献里是很常见的(Cremer和Mclean[12])。

不知情投标者和卖方都是风险中性的。不知情投标者以个人买家为主，风险偏好相对较高；卖方预期获得货币收入，对货币收入的风险中性态度与知情投标者是一致的。

拍品价值信号的分布及市场价值的构成是公共信息。卖方具有对拍品的分配权。卖方根据知情投标者报告的估价信号，确定所有投标者的拍品分配数量及相应的支付金额，使得拍卖收入最大化。

3 模型分析

卖方根据知情投标者报告的估值信号，确定分配给所有投标者的物品数量以及收取相应的支付金额。根据显示原理，我们只需关注直接机制即可，即只考虑投标者的真实信号。给定两个知情投标者报告的真实信号s=(s1,s2)，设qi(s1,s2)和qr(s1,s2)分别为知情投标者i和不知情投标者获得的拍品数量，pi(s1,s2)和pr(s1,s2)为相应的支付。从而知情投标者i的期望分配数量是：

(2)

(3)

当i如实报告信号时的期望收益为：

(4)

不知情投标者的期望收益为：

(5)

最优机制设计要求能满足知情投标者的理性约束IRi：

Vi(si)=Ui(si|si)≥0

(6)

与激励相容约束IC：

(7)

还应满足不知情投标者的理性约束IRr：

EUr(si,sj)≥0

(8)

卖方的期望收益为：

(9)

显然拍品分配机制还应是可行的FC:

(10)

则我们的最优机制设计问题可表述为：

(11)

将(3)式代入上式，并整理可得：

再将v(s1+s2)=w1s1+w2s2代入，可进一步化简为：

(必要性)首先，我们有：

性质2：卖方的期望收入最大化问题可化简为：

(12)

证明：首先，卖方为了使得拍卖收入最大化，将不会保留物品，从而约束(10)是紧的：

同时，对于没有估值信息的不知情投标者，卖方会将支付定在使得不知情投标者期望收益为零的水平上，即约束(8)也是紧的，从而不知情投标者的期望支付为：

(13)

根据(4)式，知情投标者i的期望支付可写为：

(14)

又根据性质1，Vi(si)可写为：

(15)

(16)

从而有：

(17)

交换积分次序得：

(18)

其中：

所以：

将上式代入(14)式得：

(19)

对于性质2的最优化问题，由于随机性的存在，使得求解较为复杂，且没有常规的解析解。我们按照文献[5]的处理方法，考虑放松情形，即抛去问题的随机性，在每一个信号组合处，求解最优的分配方案，使得收入最大，即得到最优化问题(12)的非随机形式：

从而我们有以下最优分配与支付机制：

其中s=(s1，s2)

证明：首先，问题显然等价于：

(20)

对于以上最优化问题的分配方案，可做如下分析。首先，(20)式的Lagrange函数为：

(21)

从而可得Kuhn-Tucker条件：

(22)

其中λi(s),θ(s)≥0为相应的Kuhn-Tucker乘子。

(23)

成立的一个充分条件是hi(s)>0，即：

所以有

解得：

4 结语

通常的投标者分类是按照是否拥有关于拍品的估值信息分为知情投标者和不知情投标者。但事实上，知情投标者由于获取信息的能力不同等因素，还可以按照对物品估价信息的数量与准确性不同分为强知情投标者与弱知情投标者。本文从机制设计的角度研究最优的具有公共价值的可分物品非对称拍卖机制，即卖方根据不对称知情投标者报告的估值信息确定分配给知情投标者和不知情投标者的拍品数量。本文假设物品的价值是由知情投标者的估价构成的，而我们认为知情投标者是非对称的，其表现形式之一是知情投标者的估价在拍品的市场估值中权重是不相等的，从而卖方在设计最优的物品分配机制时必须考虑这一因素。这一现象导致了两知情投标者虽然拥有相同的估值分布，但他们获得拍品的概率却是不一样的，强知情投标者想要获得拍品，需要比弱知情投标者报告更高的估价，而强知情投标者的估价在拍品市场价格构成当中有更高的权重，更有利于增加卖者的收入。

如Bennouri和Falonieri[5]，Shi Xinyan[8]研究指出，当所有投标者都是风险中性时，卖方倾向于将所有物品都分配给不知情投标者，从而占有知情投标者所有的信息租金。本文指出当知情投标者是风险厌恶的，并且服从某一特定的风险厌恶效用函数时，原有分配机制得到根本转变，此时，由于知情投标者的不对称性，他们面临着不同的报告临界值，当报告值大于这一临界值时，可获得一定数量物品，否则将不会得到任何物品。

不同于过往文献只侧重讨论信息不对称下的拍卖问题[1,4,8,10]或者只是关注不同风险态度对机制设计结果的影响[2,5,12]，本文将符合典型机构投资者风险态度的特定风险厌恶函数引入包含两个信息不对称知情投标者和一个不知情投标者的可分公共物品拍卖机制研究，并得到最优的分配与支付规则。在本文中，无论是拍品的可分与公共价值属性，还是投标者的风险态度，或者三类投标者的不同信息结构，都比较符合新股发行和国债拍卖等金融市场，这使得本文的研究在相应的领域具备一定的理论价值。

[1] Wilson R. Competitive bidding with asymmetrical information [J]. Management Science, 1967, 13(11): 816-820.

[2] Reichert A O. Models for competitive bidding under uncertainty [D].California,U.S.:Department of Operations Research, Stanford University,1968.

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[5] Bennouri M, Falconieri S. The optimality of uniform pricing in IPOs: An optimal auction approach [J]. Review of Finance, 2008, 12(4), 673-700.

[6] 王彦，李楚霖. 非对称情况下的多物品拍卖 [J]. 中国管理科学，2003, 12(06)：61-65.

[7] 饶从军，赵勇，王清. 基于可变供给量的可分离物品拍卖及其应用[J]. 中国管理科学. 2012,20(01): 129-138.

[8] Shi Xinyan. Common-value auctions with asymmetrically informed bidders and reserve price[J]. International Journal of Economic Theory,2013, 9(2):161-175.

[9] Liu Heng. Equilibrium selection in common-value second-price auctions[J]. Games and Economic Behavior，2014, 84:1-6.

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[11] Myerson R B. Optimal auction design [J]. Mathematics of operations research, 1981, 6(1): 58-73 .

[12] Cremer J, McLean R P. Full extraction of the surplus in Bayesian and dominant strategy auctions [J]. Econometrica, 1988, 56(6):1247-1257.

Asymmetric Auction of Divisible and Common-value Goods

LU Yun-zhao1,2, LIU Shu-lin2

(1.Opening Economy and Trade Research Center,Fuzhou College of Foreign Strdies and Trade,Fuzhou 350202,China;2.School of International Trade and Economics, University of International Business and Economics, Beijing 100029, China)

In this paper problem of optimal auction design of selling a divisible common-value object under an assumption that the seller faces two asymmetrically informed risk-averse bidders and one uninformed risk-neutral bidder is analyzed. The optimal mechanism design model is established for maximizing seller’s expected revenue under all bidders’ rational participation constraints and informed bidders’ incentive compatibility constraints . The necessary and sufficient condition for the informed bidders’ incentive compatibility constraints to be satisfied is given used and to simplify the seller’s expected revenue maximization problem. The seller’s revenue maximization problem is solved by ignoring its randomness and find that the seller allocates some goods to the informed bidder if and only if his reported value is higher than a particular threshold; the higher the reported value by the informed bidders is, the more goods will be allocated to him. Our research results can provide some suggestions for mechanism design for stock or bond issuance because the shares and bonds can be seen divisible and common-valued goods.

mechanism design; risk aversion; asymmetric auction; divisible goods; common value

1003-207(2016)03-0141-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.017

2014-03-26；

2015-03-17

简介：刘树林(1964-)，男(汉族)，内蒙古人，对外经济贸易大学国际经济贸易学院，教授，博士生导师， 系主任，研究方向：应用数理经济学、招投标与拍卖理论及其在经贸与金融领域的应用、应用博弈论和多准则决策理论与应用的研究,E-mail:slliu@uibe.edu.cn.

F724.59

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