正弦定理的教学设计

2016-12-23华南师范大学数学科学学院510631蔡晓纯何小亚

中学数学研究(广东) 2016年7期

华南师范大学数学科学学院(510631) 蔡晓纯何小亚

正弦定理的教学设计

华南师范大学数学科学学院(510631) 蔡晓纯何小亚

编者按:“东芝杯•中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”是由中国教育部国际交流司与师范司,以及东芝公司共同举办的一项国家级赛事.在已经举办的七届比赛中,华南师范大学获得了数学学科第一、二、六、七届四个全国冠军.现刊登获得第七届全国冠军的教案,以飨读者.

教材:人教A版高中数学必修5第一章第一节

课时安排:第1课时

教材分析:正弦定理揭示了三角形的边与角的数量关系,是计算斜三角形边长或角度的重要工具之一.达到定理的言语连锁水平并进行简单应用并不难,但为了让学生掌握定理探索的一般思路和定理的本质,本节课的教学定位是:既教定理的理解运用,又教定理发现的探索思路;既强调学习该定理涉及的数学思想方法,又渗透定理体现的数学美.

学情分析:

⋆认知基础:①已学过“大边对大角,小边对小角”的定性描述,具有寻找定量结论的心理期望;②已学过锐角三角函数及解直角三角形,利于接受由特殊到一般的过渡;③任意角的三角函数、三角函数的诱导公式为定理的证明和应用打下了基础;

⋆认知障碍:①猜想的证明;②定理证明思路的切入点.

教学目标:

⋆知识与技能:①了解正弦定理的应用背景,探索与证明正弦定理;②理解正弦定理的“结构不变性”和表达这一不变性的“字母可变性”;③了解解三角形的概念,初步学会“正用”正弦定理解决三角形中“已知两角一边求其他”和“已知两边及其中一边对角求其他”的问题.

⋆过程与方法

①经历观察发现、猜想并证明正弦定理的过程,领悟定理发现的探索思路,学习由特殊到一般的思维方式;②通过尝试定理的证明,领悟分类讨论和化归的数学思想.

⋆情感态度价值观

①感受正弦定理的统一美、对称美、简洁美;②体会正弦定理的科学价值和应用价值,形成崇尚数学的精神.

教学重点:正弦定理的发现、证明及理解.

教学难点:正弦定理的发现与证明.

教学关键:探索时由特殊延伸到一般寻找三角形的边角数量关系;证明时将一般情形化归为已得证的特殊.情形考虑.

教学方法:以问题驱动法为主.

教学手段:板书、计算机、PPT、几何画板.

教学流程

图1

教学过程设计:

(一)背景引入,设置障碍

(1)趣味引入:

问题1:月亮离地球有多远?

由2015年12月初的“嫦娥四号将实现世界首次月球背面软着陆”的新闻,以及嫦娥奔月、“嫦娥一号”等探月的图片吸引学生注意力,提出问题1,激发好奇心;并引出法国天文学家拉朗德和其学生拉卡伊在17世纪中下旬首次计算出了地月距离的背景:选取了几乎位于同一子午线的柏林和好望角A、B和月球上的一地点C,当时的技术手段只能测出A、B两地间的直线距离和∠A、∠B的大小,但他们使用了一个十分便捷的运算工具,就分别把地球上这两个地点到月球的距离求出来了.揭示本节课的任务就是要挖掘出这个“便捷的工具”.

图2

设计意图:选取“计算地月距离”的天文学应用背景引入,不仅因为当时两位天文学家正是利用正弦定理代入数据求解的,体现了数学和其他科学的密切联系;而且能激发学生学习新知以便解决这个看似困难的问题的内部动机和兴趣,让学生初步感知新知所蕴含的强大应用价值和科学价值,还可引出探索三角形边角关系的环节.但由于本课时定理的应用不是重点,具体数据较复杂,故暂不提供数据,只在环节三让学生们自行理清求解思路.

(2)抽象问题:已知三角形中的两个角(∠A、∠B)和一条边(AB的长),求另外两条边(AC、BC的长).

(3)创设障碍:已学过的“大边对大角,小边对小角”的三角形边角关系已经无法满足具体量化需求,故引导学生由定性结论过渡到寻找定量结论,提出任务一:寻找三角形中的边角数量关系.

(二)新知探究,猜想证明

(1)特殊入手:让学生回忆旧知中能描述直角三角形中边角数量关系的定义或性质.

问题2:直角三角形中存在什么边角数量关系?

学情预设:直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半、三角函数.

(2)找直角三角形的边角数量关系:出示Rt△ABC,由学生上个问题的回答引导其发现Rt△ABC中有等边角数量关系,转而先研究三角形中与正弦有关的边角数量关系.

(3)找直角三角形中边角数量关系的特点:引导学生得出sinC=1,寻找能够沟通的中间量、共同的量,进而表示出c,并将角C统一进来,发现在Rt△ABC中,有这一美妙的边角数量关系;带领学生共同感受所得关系的简洁、对称、统一之美.

设计意图:以学生已有的知识经验为基础,引导学生建立新旧知识间的内在联系,便于学生完成对新知识的迁移.而带领学生感受数学美是一项潜移默化的长期任务,应借此培养他们主动感受和挖掘更多数学美的习惯,并鼓励学生发散思维,从而引入下一环节.

(4)推广结论,实验探索:

问题3:一般三角形中是否存在类似的美妙关系?

将研究对象由特殊延伸到一般、由直角三角形推广至一般三角形,引导学生通过观察几何画板所展示的任意构造的形状大小不一的锐角或钝角三角形所对应的每组比值的特点.

图3

发现特点:在许多锐角或钝角三角形中三个比值都相等,似乎都存在着一致的边角数量关系:即各边边长与所对角的正弦之比相等.

设计意图: 由三角形有成千上万来初步凸现分类讨论的必要性; 并利用几何画板展示素材的直观性、任意性、可测性等优点,通过直观的“形变神不变”和分情况演示证实关系可能在一般三角形中成立,从而加强学生的猜想.

问题4:你能否根据演示结果大胆地作出合情的猜想? (6)寻找证明思路:要确认结论是否成立单靠猜想还不够,应该证明.

问题5:如何证明?如何将锐角和钝角三角形跟直角三角形联系起来?

引导学生结合前面的思路进行探讨:一开始从特殊的直角三角形入手,很容易地表示出了三角形的边与对应角的正弦的数量关系,并证明了等式在直角三角形中成立,要是锐角和钝角三角形能跟直角三角形扯上关系,问题应该就简单一点.进而启发学生转化归结为考虑直角三角形的边角数量关系.渗透化归的数学思想.

学情预设:作高.(提示:通过作高将锐角和钝角三角形转化为考虑直角三角形,参考直角三角形的证明思路)

设计意图学生能否准确地判断出需要“作高”,是衡量其能否将一般情形转化为前面已得证的特殊情形的关键,亦可让学生亲自理解这一证明思路的切入点.

(7)分组探究,证明猜想:1、2组尝试锐角三角形的证明,3、4组尝试钝角三角形的证明,带着提供的思考问题和提示,共同探讨并证明锐角和钝角三角形的情况.渗透分类讨论的思想.

PPT出示探究任务和思考问题:作高后如何将高与三角形的边和角联系起来?需要作多少条高便可证明出结论?(教师巡视,必要时给予启发指导,寻找能够证明出来的同学,请两位同学分别代表小组分享证明思路,由学生展示证明情况,由教师详细板演,强调思路的关键点)

图4

图5

设计意图选用等高法,是由于本节课是从直角三角形入手的,只要通过作高就可以把锐角或钝角三角形和直角三角形联系起来,因此,对于猜想的证明,该法应该是学生从认知规律上比较容易尝试成功的方法,符合学生的认知水平发展.分组让学生分别尝试证明锐角、钝角三角形的情况,可提高学生课堂的参与度,确保学生的主体地位.由于此方法与教科书所涉及的方法大同小异,是面向全体学生的证明过程,且为了让学生更好地体会数学证明的逻辑演绎过程,采用学生表述、教师板演,以更好地让大多数学生理解掌握.

(8)得到定理:说明定理揭示了三角形中所蕴含的十分巧妙的边角数量关系,让学生再次共同感受定理的数学美:如此独特的美妙关系,也只有我们数学语言能如此简练地描述出来.

(三)应用定理,反馈巩固

(1)了解应用:

问题6:正弦定理能解决哪些数学问题?

图6

图7

举两个简单例子启发学生发现“知三求一”的特点,结合三角形内角和定理,便可初步得出定理的应用范围:(1)已知三角形两个角和一条边,求其它边和角;(2)已知三角形两条边和其中一边的对角,求其它边和角.

(2)实际应用

问题7:你能用正弦定理得到地月距离的求解思路了吗?

回顾引入环节的地月距离问题,教师与学生共同探讨解题思路,寻找隐含条件,在定理表达式中标记出已知条件和隐含条件,直观体现“知三求一”:由三角形内角和定理可求角C;由正弦定理可表示出AC、BC.

解决思路:在△ABC中,已知∠A和∠B的大小、AB的长,则由三角形内角和定理可得

故由正弦定理得

即

只要代入具体数据,地月距离便迎刃而解,至于具体数据是多少、怎么测的,鼓励学生课后上网查找资料拓展知识面.该距离问题的求解过程就是正弦定理的应用;一个简单的定理居然会在天文学中会被用到,其实它在许多领域测量距离或高度的问题中也很有帮助,下节课就可以见分晓.这节课先试着解决简单的纯数学问题.

(3)了解解三角形的概念:把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

(4)练习解三角形:(学生先练习,后讲解,检验是否符合“大边对大角”)

根据已知条件求三角形的其他边和角.

①在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=20cm; ②在△ABC中,已知a=15cm,b=10cm,B=30°.

学情预设:①

从而∠A≈14°,因此

从而c=20×0.96≈19cm.

设计意图:由于本节课只是《正弦定理》的第一课时,定理的应用还不是重点,所以该环节不做过多复杂的实际计算,只是让学生解决开头实际背景中的地月距离问题,既体现问题设置的有效性,又符合学生运用新知解决问题的心理期望.由学生运用所学新知识表述思路、解决问题,初步体会定理的应用价值,并简单引入其他领域的应用,为下节课的开展设置悬念,激发学习动机;而两道带有简单数据的纯数学解三角形问题则可让学生初步尝试正弦定理的两类简单应用.

(四)课堂小结和作业布置

(1)课堂小结:借助流程图与学生共同总结梳理本节课的定理发现思路:为了探究三角形的边角数量关系,从特殊的直角三角形入手,经历观察—实验—猜想—证明—得到正弦定理—应用定理;并引导学生上升到理解定理本质的层次,即理解其“结构的不变性,字母的可变性”.同时揭示本节课涉及的特殊到一般的发现思路、分类讨论和化归的数学思想.

图8

并留下悬念:正弦定理还有更令人惊叹的结论！即它的比值是一个可以由三角形自身确定的常量,是什么呢?结合课后题就会有重大发现.

设计意图:借助框图梳理思路,包括定理的发现与探索过程、定理的证明、涉及的数学思想方法等,并让学生掌握定理学习的本质,潜移默化地让学生感受到有时过程比结果更重要.

(2)作业布置

必做:①习题1.1之A组第1、2题;

②完成钝角三角形中的正弦定理的证明过程;

③平面向量是沟通角度和长度的重要工具,请尝试平面向量的相关知识证明定理.

思考:任意△ABC中定理表达式的值会等于什么?结合习题1.1之B组第1题.

设计意图必做作业是定理的简单应用,学生可能会碰到有两解的问题,且在这一点上容易出错,为下节课学习定理应用的关键点作铺垫.而让学生尝试运用平面向量再次证明定理,既可巩固学生对平面向量的理解,又可拓宽学生的证明思路.思考作业是对定理比值问题的发现与解决,可让学生进一步了解正弦定理的完美,发现任意三角形与其外接圆直径的数量关系.

板书设计: