不一样的题目同样的精彩

江苏省江浦高级中学数学组(211800) 肖浩春

不一样的题目同样的精彩

江苏省江浦高级中学数学组(211800) 肖浩春

解析几何中有很多关于定点、定值、定直线的问题,这个方面已被研究得很多、很透彻,但还有很多领域尚未被挖掘.笔者近日通过研究,给出下列一些有关定直线的命题及推广,找出一些相关试题的命制与其之间的联系,加深对有关类型题的理解,促进我们平时的课堂教学.

图1

证明设点M(x0,y0),由题意,x0≠±a.因为A1(−a,0),A2(a,0),所以直线MA1的方程为

因为P,Q,B三点共线,所以kPB=kQB,即

把P和Q两点坐标代入上式,经化简得

注(1)徐州市2014—2015高二上学期期末数学试卷(理)第19题是此命题的一个特例.

(2)南京市2013届高三数学学情调研卷第18题第(3)问是命题1逆命题的一个特例.

注(1)命题1的结论实际上是推广1的特例(当m=c的时候),那么证明可参照命题1的思路进行,留给读者完成.

(2)2010江苏卷第18题第(3)问是推广1逆命题的一个特例.

(3)此结论可适用于圆和双曲线(证明留给读者完成).

对于圆,则有:已知圆O:x2+y2=a2,圆与x轴的左右交点分别为A1,A2,B为直径A1A2上一点,坐标为(m,0)(−a＜m＜a,m≠0),过B任意作一条直线l与圆O交于点P,Q(异于A1,A2)两点,设直线PA1与直线QA2相交于点M,则点M始终在直线上.

(4)对于抛物线,有一个类似的结论:

已知抛物线D:y2=2px(p＞0),直线x=m(m＞0)与抛物线相交于A1,A2(A1在第一象限),与x轴相交于点B,过B任意作一条直线l与抛物线D交于点P,Q(异于A1,A2)两点,设直线PA1与直线QA2相交于点M,则点M始终在直线x=−m上.(证明略)具体地,当点B为抛物线焦点时,则点M始终在抛物线准线上.

略证要证明此命题,首先要用一个重要结论:

(此结论容易证,留给读者思考)设A(x1,y1),则B(−x1,−y1)因为

注泰州市2014—2015高二上学期期末数学试卷(文)第20题是此命题的一个特例.

注(1)命题2的结论实际上是推广2的特例(当m=c的时候),那么证明可参照命题2的思路进行,留给读者完成.

(2)此结论可适用于圆和双曲线(读者可参照推广1的注（3）试着写出并给出证明).

(3)对于抛物线,有一个类似的结论:

已知抛物线W:y2=2px(p＞0),B(m,0)(m＞0),F(t,0)(t＞0,t≠m),过B任意作一条直线l与抛物线W交于点P,Q两点,直线PF交抛物线于另一点C,直线QF交抛物线于另一点D,则直线PD与QC的交点M始终在直线x=−t上.(证明略)

具体地,当F为焦点时,点M始终在准线上.

图3

分析推广3实际上是把推广2中的定点F改为任意一点,这样就导致问题更加复杂化,虽然点M不在定直线上,但是我们可以得到一个定值的结果(斜率之积为定值)

证明由题可知

所以

注(1)南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试(数学)第18题第2问是此命题的一个特例.

(2)此命题笔者所采取的方法与(1)中模考题参考答案所给的方法不一样:答案是从直线出发,设直线方程,笔者是从点出发,设点坐标.这两种思路是我们解直线与圆锥曲线位置关系有关问题的常用方法.

(3)有兴趣的读者不妨研究在圆、双曲线、抛物线中有没有相似的结论.

在这里笔者给出圆中相似的结论(不作证明):

已知圆O:x2+y2=a2(a＞0),A为圆上异于圆与坐标轴交点的任一点,B与A关于原点O对称,F为圆内任意一点(不在线段AB上),直线AF交圆于另一点C,直线BF交圆于另一点D,设直线AD与BC的交点为M,则直线MF的斜率与直线AB的斜率之积为−1.

此结论即:MF⊥AB,又因为BD⊥AM,AC⊥BM,所以点F为三角形ABM的垂心.

注(1)命题3的结论实际上是推广4的特例(当m=c的时候),那么证明可参照命题3的思路进行,留给读者完成.

(2)此结论可适用于圆和双曲线(猜想和证明留给读者完成).

(3)对于抛物线,有一个类似的结论:

已知抛物线W:y2=2px(p＞0),F(m,0)(m＞0),过F任意作一条直线l与抛物线W交于点P,Q两点,O是坐标原点,过P作垂直y轴的直线交直线OQ于M,则点M始终在直线x=−m上.

此证明可参照命题3的证明思路,略.

具体地,当F为焦点时,则M在准线上.换句话说:此时PO为焦点弦,过P向准线作垂线,垂足为M,则M,O,Q三点共线.这是抛物线中有关焦点弦的一个常见结论.

通过以上的几个命题及其推广,我们发现不同的条件却有着很多相同或相似的结论,确实是“不一样的题目,同样的精彩”.