在高中数学变式教学中培养学生反思意识的案例研究*

广州市广雅中学(510160)何智　吴新华

在高中数学变式教学中培养学生反思意识的案例研究*

广州市广雅中学(510160)何智吴新华

一、培养学生数学反思意识的背景与价值

数学反思是指在数学学习过程中,学生对自身数学思维活动进行的自我观察、探究、监控和评价,包括反思的知识、技能及内容.数学反思的知识包括程序性知识、陈述性知识和情境性知识,技能有经验、理论、分析、策略、实践和评价技能等[1].数学反思意识是指学生在数学学习的过程中能主动、自发地对自我的学习活动过程进行反思.

学生的数学反思意识的特点有探究性、自主性、发展性和创造性.在古代教育中,人类就具有反思意识,更有教育家提出的“吾日三省吾身”,”书丁心自问”,“反诸求己”等理论.孔子也重视反思意识的培养“学而不思则周,思而不学则殆”,“不愤不启,不徘不发,举一隅不以三隅反,则不复也”.

当前教育改革的目标是让学生学会学习,这就要求学生不仅掌握相关知识,更重要的是掌握学习方法策略,学会调控自我和提高反思意识.学生在学习中要善于从不同角度观察事物,授之于鱼不如授之于渔,提出问题并解决问题,使反思意识贯穿整个认知活动过程中.此外,在高中数学课标的修订中,最大的变化是提出每一个学科应具备核心素养,学生在接受相应学段的数学教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质与关键能力.数学核心素养涵盖六个方面,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析,这些素养我们可以通过有效培养学生反思意识来实现.因此,培养学生的反思意识是数学教学中值得研究和探索的问题.

二、培养学生数学反思意识的常用教学策略

培养学生的数学反思意识,是在教师的引导下,通过学生自身的努力,能自觉地完成对认知活动的反思而不需要做出意志的努力.影响学生数学反思意识的因素有很多,有内在的因素,也有外在的因素.内在的因素是指认知个体的认知、智能结构及心理特征等即学生个体本身.外在的因素主要指学生的学习环境、受教育的环境及人际交往等方面,即教师和社会因素两个方面.在教师因素中,教师的教学方法是影响学生反思意识发展的重要外在因素.内在因素通过外在因素起作用.

事实上,学生反思性意识的培养单纯地依赖老师讲解输出知识,是不可能实现的.教师需要在教学方法、教学策略上狠下功夫,考虑每个环节,把握可以锻炼学生反思意识的细节,为学生最大限度地创造培养反思意识的机会.老师要达到这个目标,需要平时多积累、多反思,从自身做起,为学生树立培养反思习惯的榜样,身教重于言教,润物细无声,在潜移默化中影响带动学生的反思意识,提高反思能力.

其次,思维是学生认知活动的中心枢纽,决定认知活动成败的关键.思维品质实质是人的思维的个性特征,反应了每个个体智力或思维水平的差异.良好的思维品质是学生实现自我发展的基础,但良好的思维并非与生俱来,很大程度上要靠后天的努力形成.学生的思维品质包括思维的灵活性、广阔性、深刻性和批判性等,培养学生的反思意识,本质上就是锻炼学生的思维能力,优化学生的思维品质.

终上所述,培养学生数学反思意识的常用教学策略是变式教学.变式教学是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.题目的形式可以千变万化,但本质不变:或考察内容的基本概念不变,或考察内容的思想方法不变,或考察内容的技巧思路不变.关键是有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规律,逐步培养学生反思意识,求异思维,增强其应变能力,优化思想品质,激发其学习数学的积极性和主动性,提高数学素养,培养其探索精神和创新意识,从而真正把对能力的培养落到实处.

三、培养学生数学反思意识的案例研究

1.问题解决的变式

数学教学过程是引导学生进行数学活动的过程,数学活动是学生经历“数学化”的过程,这一过程的关键在于引发学生数学思维和数学思考,培养学生应用数学的意识和解决问题的能力.其中,问题解决是数学教学的重要组成部分,是把知识、技能、思想方法联系起来的一条纽带,揭示规律、启发思维、激励创新、培养能力的目标.问题解决变式的三个维度包括:一个问题多种变化,其中既包括解题过程中的各种铺垫(如引理特殊化等),也包括对原问题的各种引申(如改变条件、改变结论、一般化);一个问题的多种解决方法,也即将同一个问题的不同解决过程作为变式来联结各种不同的解法;同一方法解决多种问题,将某种特定的方法用于一类似的问题,由此可产生一些用于引发化归、探究策略的变式.

在问题解决的教学过程中,当学生获得基本解法后,可以通过改变问题的条件设置,改变问题所求结论、改变问题情境等多种方式,使学生对知识、方法的理解和掌握得到强化,以便学生形成对问题的多方面、多角度的思考,使学生的思维跳出某一固定模式,避免形成思维定势.从而提出新问题或获得同一问题的多种解答或多种结果.让学生在解决问题的过程中形成反思意识,寻找问题解决的最佳路径.问题解决变式主要包括一题多解(证)变式,一题多变变式,多题归一变式和一题多用变式.

图1　

这是一题多解(证)变式,是对同一个数学问题,如果从不同的角度去分析,得到不同的解题方法,也就是说从多个角度去想就会有多种解法.这样做可以使思维更开阔,也能从中找到最佳的解题方法.从而达到培养发散思维和创新意识,总结规律、方法,提高数学能力的目的.在解题过程中,锻炼自己举一反三能力,进行一题多解、发散思维的训练,拓宽解题思路,可极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣,同时也可提高学生的反思意识,继而提高解题能力.

【案例二】如果一个定义在ℝ上的非零偶函数y=f(x),对定义域内的任何一个自变量x,都满足f(x+1)=且当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则的大小关系是()

A.c＞a＞bB.a＞c＞b

C.b＞c＞aD.c＞b＞a

在课堂上,笔者把这题变式为:如果一个定义在ℝ上的非零偶函数y=f(x),对定义域内的任何一个自变量x,都满足f(x+1)=且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x,请大家试求一下(0,1)上的表达式.

学生会有两张方法:

解法一:任给x∈(0,1),则-x∈(-1,0),又因为y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=2-x;

解法二:任给x∈(0,1),则x-1∈(-1,0),又因为f(x+1)=则f(x)=

两种解法,但答案截然不同,问题出在哪里呢? f(x+1)=除了可以推出函数y=f(x)的周期为2,还能推出什么吗?

学生通过老师点拨反思:还能推出相隔为1的两个自变量的函数值应该互为倒数.那这个结论能与偶函数“协调”吗?

笔者顺势提问,那这题怎么改就可以使得条件“协调”呢?

学生给出的一些方案:去掉偶函数中的“偶”字,或者把条件f(x+1)=改成f(x+2)=f(x),或者把条件f(x+1)=改成中文“函数f(x)的周期为2”来叙述,……,学生们能在“经验”的基础上,通过“思考”、“活动”实现“再创造”.切实让学生明白式子f(x+1)=和 f(x+2)=f(x)是不等价的,前者包含的信息量要比后者更加丰富,它不仅仅能推出函数f(x)的周期为2,而且还能推出两个相隔为1的自变量的函数值应该互为倒数.

一题多变变式,就是通过对某一题目进行条件和结论的变换、题型的改变、逆向思考、图形变化、类比、推广等多角度、多方位的探讨,使一个题变为一类题,达到举一反三,触类旁通的目的,迸而培养学生思维的广阔性,深刻性,灵活性,独创性,非常有意义.

2.基本概念的变式

数学由数学概念、思想和方法构建起来,其中数学概念处于基础的地位.数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式,是对一类数学对象的本质属性的反映,是构建数学理论大厦的基石,也是数学认知结构重要组成部分,数学学科的精髓和灵魂.正确理解概念是掌握数学基础知识的前提,是学好数学知识和培养数学能力的基础,因此,概念教学是高中数学中至关重要的一环.如何引导学生进行数学概念的学习,使学生通过概念的掌握和应用,最终理解、掌握概念及其中所包含的数学思想和数学方法,形成真正的数学能力,变式教学具有不可替代的作用.

通过概念与概念变式之间,以及概念变式与非概念变式之间的联系与区别来把握概念,对概念进行多角度剖析与理解.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛,很难一步到位,需要分成若干步,逐步加强提高.许多新概念的引入是对已有概念的继承、发展和完善,数学上许多概念都有着密切的联系,如平行线与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数等.从培养学生思维能力,创新意识的要求来看,数学概念的形成过程,其内涵、外延的揭示过程,比数学概念的定义本身更重要.在形成概念的过程中,可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程,这就要求教师从实际或已知出发,创设情境,让学生自己去发现问题,提出问题,通过多样化的变式让学生感知概念,形成认识;培养学生观察、分析以及概括的能力.数学概念变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.

【案例三】如图2,正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是CC1,DD1,B1C的中点,

王燕茹：今年3月份，黄宇因为打我被行拘5日，那时候想着先休息一段时间。 6月份，黄宇的亲戚威胁说，黄宇不会有事，黄道龙也不会受到什么影响，到时候会让我在扬州待不下去。我怕被打击报复，就跑到北京，选择在北京中纪委和国家信访局继续反映情况。

图2　

[变式1]求直线A1B1与平面BB1C1C所成的角.

[变式2]求直线A1B与平面BB1C1C所成的角.

[变式3]求直线D1B与平面BB1C1C所成的角.

[变式4]求直线A1B与平面A1B1CD所成的角.

[变式5]求直线A1B与平面A1B1EF所成的角.

[变式6]求直线B1C与平面ACD1所成的角.

[变式7]求直线B1C1与平面ACD1所成的角.

[变式8]求直线AG与平面ACD1所成的角.

案例三的变式4是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修2第66页的例2,这题是在讲授了线面角的定义后的第一道例题,但难度稍大,学生不容易想到点的垂足,因而在讲授这题时,应该设计一些难度更基础的变式题,作为这道题的铺垫.而上述变式1-3正是为例4所做的铺垫,难度比较简单,斜线的射影比较容易找到.而变式5-8则难度逐渐加深,找斜线的射影难度逐渐加大,我引导学生用“平移”的思想,把斜线平移到一些比较容易找射影的线段上去,例如变式7中的斜线B1C1可平移到AD,而变式8中,要寻找点G的射影,可转移去研究点B1的射影.本题全部变式始终围绕正方体来研究,变式教学的效果很好,可以很好地培养学生的反思意识.

概念辨析变式,就是教师在引进概念后针对概念的内涵与外延设计问题让学生辨析概念,或是寻找概念的等价形式或是明确变式含义,并探讨等价形式及其变式的应用,达到透彻理解概念,灵活应用概念的目的.“理越辩越明”,通过对这些问题的讨论达到使学生正确理解概念的目的.在概念形成后,不应急于应用概念解决问题,而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索并主动操作概念变式,透过现象看本质.在弄清其内涵与外延的过程中,进行深刻反思,从而培养思维的深刻性.

四、在数学教学中培养学生反思意识的实践反思

通过变式教学实践,体会到有助于培养学生反思意识,进而提升学生思维品质.

1.数学教学中培养学生的反思意识有助于促进学生思维的灵活性.学生在解决问题的时候能灵活运用己有的知识经验,多角度,多方面的思考问题,摆脱消极定式思维的约束,从而实现解决问题的目的.在数学教学中引导学生反思解题思路,不只满足于问题的解决,要挖掘题目的本质,注意问题的一题多解,比较不同方法的差异和优缺点,总结一套属于自己的思维方式.这样,学生便达到了“做一道题会一类型”的目的,即使将题目进行改头换面,学生也可以触类旁通、举一反三.

2.数学教学中培养学生的反思意识有助于促进学生思维的广阔性.思维的广阔可看到事物的细微.反之,狭隘的思维即只见树木不见森林,容易以偏概全,终究看不到事物本质,得不到自我的提高.学生在理解一道题目的基础上,反思题目的本质,将题目进行延伸和变式训练.从而可以使学生对原题有更深层次的理解,并且对知识点产生新的领悟,从而提高思维的广阔性.学生在学习中要透彻理解基础知识点和基础类型题,不能仅仅停留在表面层次的理解上,要反思其中的本质.这样在遇到较复杂的问题就不会无从下手,而是能够根据己有的知识经验找出突破口,看到问题的本质,找到解决问题的思路,在反思中提高思维的广阔性.

3.数学教学中培养学生的反思意识有助于促进学生思维的深刻性.思维的深刻性是指在思维活动的逻辑水平和抽象程度,涉及思维的深度和难度.深刻性集中表现在智力活动中深入思考问题,善于概括总结,抽象逻辑性强,善于抓住事物的本质和规律,开展系统的理解性过程,遇见事物的发展过程.学生面对一些不熟悉的、较复杂的题型,要看穿问题的本质,找出考察的知识点.尤其是对一些“陷阱”类的题目,要多总结,多反思,提高自己思维的深刻性,找出题目的“开关”.

4.数学教学中培养学生的反思意识有助于促进学生思维的批判性.思维的批判性指的是思维活动中独立发现和批判的程度.一个人是循规蹈矩、人云亦云还是独立思考善于发现问题,这是思维过程中一个很重要的品质,它来自于对思维活动各个环节、方面进行调整和校正的自我意识.教师在教学过程中是对话的“提问者”、学习的“指导者”、学业的“评价者”,要鼓励学生敢于对问题反思、质疑,抱着批判、辩证的态度接受新事物,灵活运用知识,提高思维的批判性.

随着社会的发展,时代的进步,学习型人才的需求越来越大,这就要求学校培养的学生不仅掌握基本的知识技能,更重要的是学生要真正具备良好的自我反思能力.教师要培养学生的反思意识,使学生在学习中能自觉地进行反思,提高学生创新精神和创造力,我们需要为未来而教.

[1]谭国华.高中数学教学设计与理论与实践[M].北京:人民教育出版社,2012.

[2]朱慕菊.走进新课程[M].北京:北京师范大学出版社,2002.

[3]安杰拉·索迪,芭芭拉·格雷,德里克·鲍登.成功教师的教育策略[M].杨秀治,谢艳红译.北京:北京师范大学出版社,2007.

[4]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003.

[5]刘坤,常相舜.高中数学教学改革的实践与认识[M].北京:北京教育出版社,1998.

[6]王建明.在数学课堂教学中培养学生反思能力的策略[J].考试周刊, 2010(37).

*本论文是广东省教育科学十二五规划课题《运用变式教学提升高中生数学反思能力的实践研究》的阶段性研究成果.