数学归纳思想在高中数学教学中的应用

江苏省高邮市第一中学(225600)

耿广祥●



数学归纳思想在高中数学教学中的应用

江苏省高邮市第一中学(225600)

耿广祥●

正如我们所知，归纳与推理是创造能力的基础，对归纳思想进行培养，既是使学生获得新知识的有效途径，也是对学生演绎思维进行培养的重要手段.高中数学课程中，归纳思维的形成与培养尤为重要，但许多一线教师对归纳思维的培养方式依然不够了解，接下来笔者将就教学案例谈谈自己的看法.

一、完全归纳法

在高中阶段的数学学习过程中，完全归纳法有着相当高的使用频率，其核心理念在于对问题进行分类并依此进行研究.接下来笔者将以“同弧所对圆周角的大小是其所对圆心角的一半”这一命题为例进行说明.

如图1所示，在圆O中，对于弧AC而言，∠AOC与∠ABC分别代表了与其相对应的圆心角与圆周角，那么命题就相当于是证明∠AOC=2∠ABC.从图中我们可以看出，随着B点位置的不同，圆周角与圆心的关系可以分为三种情况，即圆心分别在圆周角一条边上、圆周角内部和圆周角外部.通过这种方式，我们将问题分成了三类，只要分别验证这三种情况下∠AOC的大小均为∠ABC的两倍，即证明了命题的成立.

证明过程如下：当圆心在圆周角一条边上时(如图a)，连接AO，此时∠AOC相当于是△AOB的外角，因此∠AOC=∠BAO+∠ABC=2∠ABC.

当圆心在圆周角内部时(如图b)，分别连接CO与AO，并过B作直径BE.在这种情况下，∠AOE与∠ABE分别成为了弧AE所对的圆心角和圆周角.同理，∠EOC与∠EBC也分别是弧EC所对的圆心角和圆周角，这实际上与图(a)类似，能够得到∠AOC=∠EOC+∠AOE=2∠EBC+2∠ABE=2∠ABC.

当圆心在圆周角外部时(如图c)，分别连接CO与AO，并过B作直径BE，这一情况实际上与圆心在圆周角内部时类似，能够得到∠AOC=∠AOE-∠EOC=2∠ABE-2∠CBE=2∠ABC的结论.

到这里，我们就完成了“同弧对所圆周角的大小是其所对圆心角的一半”这一命题的证明.

二、简单枚举法

简单枚举法是与完全归纳法相比更一般的方法：设A是含有可数元素或有限元素的集合，若发现其中每个经过了验证的元素都有同样的性质P，那么就认为A集合中所有元素都有性质P.这一结论显然是经不起推敲的.简单枚举法的特殊性就在于此：并不是A集合中的每个元素都能够被验证.尽管这一区别似乎有些不起眼，但实际上却是本质性的区别，哪怕其中只有一个未经验证的元素，就无法排除“该元素不具备P性质”的可能性.

当然，推论正确的可能性是随着集合中得到验证的元素数量的增加而提高的，这种推理实际上是对可能性的一种依赖.尽管这种推理有一定的道理，但其结论却没有必然性，这种推理就是所谓的归纳推理.

三、数学归纳法

一般情况下，在对与正整数n相关联的命题进行证明时，主要有以下两个步骤：①当n=k0时，验证命题成立；②若n=k(k0k)的情况下命题成立，则证明n=k+1时命题也成立即可，这种方法就叫做数学归纳法.在这其中，推理的基础是步骤①，而推理的依据是步骤②，二者互相依存，不可或缺.

综上所述，命题在n为正整数时均成立.

四、主次变量转化

归纳题目中必然存在主次关系，通过转化主变量与参变量的主次关系，就能将问题转化为另一种形式，进而得到答案.例如，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a恒大于0，且a值域为[-1,1]，求x范围.就题目来看，这是关于x的一个函数，若直接进行变形，然后将值代入求解，题目就会变得十分繁琐，这时就可以适当地采用主次变量转化的方法，将原来的函数转变为与a有关的函数，随后进行求解.令g(a)=(x-2)a+(x-2)2为与a相关的一次函数，其中x≠2.通过绘制一次函数图象我们可以得出g(-1)>0，且g(1)>0进而可以得到x>3或x<1.这样我们就能得到原式中x的值域为{x|x<1，x>3}.

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1008-0333(2016)31-0045-01