揭示考查本质，提升解题能力

☉浙江省绍兴市第一中学　宣　泳

揭示考查本质，提升解题能力

☉浙江省绍兴市第一中学宣泳

高考是一个无形的指挥棒，牵动着千千万万家长和学生的心.在现行的江苏高考模式下，数学学科的重要性是不言而喻的，教师和学生都十分关注与重视数学学科.从高中数学课程内容上来看，数列是高中数学的重要内容之一，一直受到命题专家的青睐，是高考必考的内容之一，随着新课改的不断深化发展，在全国各地的高考模拟试题和高考真题中，关于数列知识的考查形式出现了较大的变化，一种“新型”数列的考查形式成为一道特别靓丽的风景线，这类试题通常是比较陌生的新概念和新特征，要求学生灵活运用这些新概念与特征处理实际问题，这种新形式的考查让不少学生感觉很棘手.本文对这类新颖试题进行合理的归类、探究与剖析，有效揭示新型数列考查的本质特征，逐步揭开这类新试题的“神秘面纱”，进而寻求高效处理这类问题的具体方法与手段，最终推动学生数学解题能力的快速提升.

一、“新型”数列之“和等比”数列

例1若数列{an}的前n项之和Sn满足为非零常数（n∈N*），则该数列称为“和等比”数列.

（Ⅰ）若数列{2bn}是首项是2，公比是4的等比数列，请判断数列{bn}是否为“和等比”数列？

（Ⅱ）若等差数列{cn}的通项公式cn=c1+（n-1）d（d≠0），数列{cn}同时也是“和等比”数列，试探究首项c1与公差d之间的关系？

解析：（Ⅰ）根据题意可得2bn=2·4n-1=22n-1，即bn=2n-1.令Tn为数列{bn}的前n项之和，则Tn=n2，T2n=4n2，即=4，则数列{bn}为“和等比”数列.

（Ⅱ）令Rn为等差数列{cn}的前n项之和，根据题意可得且则k对于n∈N*均成立，即nd（k-4）+（k-2）（2c1-d）=0，则只有

点评：本题源于苏北四市调研考试的一道试题，题目难点在于“新型”数列的融入，学生只有认真读懂题目给出的重要信息，真正理解“和等比”数列的内涵，发现新型数列与常见数列（等差、等比）之间的本质联系与区别，利用所学知识进行等价转化与变形，将其转化为熟悉的数学知识与规律，从而进行有效求解；题目中准确解题的关键是针对于新型数列的本质特征，得出n∈N*恒成立的等式，借助于恒等式成立的思想进行求解.

二、“新型”数列之“H数列”

例2已知Sn为数列{an}的前n项之和，若对任意正整数n，总有正整数m使得Sn=am，则数列{an}称为“H数列”.

（Ⅰ）若数列{an}的前n项之和Sn=2n（n∈N*），试求证：{an}为“H数列”；

（Ⅱ）若数列{an}是首项为1，公差为d（d<0）的等差数列，同时也是“H数列”，试求公差d的值；

（Ⅲ）求证：对于任意的等差数列{an}，总是存在两个“H数列”{bn}和{cn}使得an=bn+cn（n∈N*）成立.

解析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1= 2n-2n-1=2n-1；对于任意的n∈N*，总有m=n+1，Sn=an+1，则数列{an}是“H数列”.

（Ⅱ）根据题意可得an=1+（n-1）d，

由于{an}是“H数列”，则存在k∈N*使得1+（k-1）d，即

（Ⅲ）若数列{dn}的通项公式dn=bn（b为常数），则前n项之和与数列{dn}中的第项，则{dn}为“H数列”.对于任意的等差数列an=a1+（n-1）d，令bn= na1，cn=（d-a1）（n-1），则an=bn+cn（{bn}和{cn}均为“H数列”）.

点评：本题是2014年江苏高考第20题，是一道以“新型”数列为背景的创新试题，给不少考生带来困难，究其本质进行思考分析，我们不难发现：第（Ⅰ）（Ⅱ）问处理的手段是抓住“H数列”的本质内涵进行求解；第（Ⅲ）问题的实质是存在性问题的探讨，求证等差数列可以利用两个“H数列”之和表示，处理问题的关键是正确构造满足题意的两个等差数列，这也提醒一线教师在平时的教学中，注重培养学生的构造创新能力.

三、“新型”数列之“M数列”

例3数列{cn}满足cn+1=pcn+q（p，q为实常数）对于任意n∈N*都成立，则数列{cn}称为“M数列”.

（Ⅰ）若数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=2n，bn= 3·2n（n∈N*），试判断它们是否为“M数列”，若是，求出对应的常数p和q；若不是，请说明理由.

（Ⅱ）试求证：如果数列{an}是“M数列”，则数列{an+ an+1}也是“M数列”.

（Ⅲ）如果数列{an}满足：a1=2，an+an+1=3t·2n（n∈N*，t为常数），试求t的值，使数列{an}为“M数列”.

解析：（Ⅰ）根据题意可得an+1=2（n+1）=2n+2=an+2，则p=1，q=2，则{an}是“M数列”.bn+1=3·2n+1=2bn，则p=2，q=0，则{bn}也是“M数列”.

（Ⅱ）证明：由于{an}是“M数列”，则an+1=pan+q，an+2= pan+1+q，则an+2+an+1=p（an+1+an）+2q，则数列{an+an+1}是“M数列”.

（Ⅲ）假设数列{an}为“M数列”，令an+1=pan+q，

则an+an+1=p（an+an-1）+2q，

即（3tp-6t）2n-1+2q=0对于任意的n∈N*恒成立，

当p=2，q=0时，an+1=2an，此时{an}是“M数列”，即t=1；

当t=0，q=0时，an+1=-an，此时{an}是“M数列”.故t=0或1.

点评：本题求解的关键在于认真审题，从中理解“M数列”的本质内涵，将陌生、新颖的数列难题转化成平时熟悉的数列问题；在第（Ⅲ）问中处理的手段是借助于第（Ⅱ）问的结论进行的，即将an+an+1=p（an+an-1）+2q转化成（3tp-6t）2n-1+2q=0，再运用恒等式成立的性质进行解决.

总而言之，“新型”数列问题的出现给教师和学生带来了挑战和机遇，作为一线教师可以借助于探究“新型”数列性质内涵的同时，引导学生将以前所学数学知识、解题方法与技能、思想方法等进行有效整合，将“新型”数列的难点有效转化为熟悉的问题进行处理，在分析与探究的过程中学生体会到这类问题并不是“深不可测、无法逾越”的，只要善于观察、阅读、捕捉题设中的价值信息，掌握其解题策略，难题即可“迎刃而解”.