小题细做——有感于一次复习课教学观摩

☉江苏省如皋市搬经中学　施建树

小题细做——有感于一次复习课教学观摩

☉江苏省如皋市搬经中学施建树

高三复习教学是知识点的浓缩式教学，这需要教学中对于重要知识问题进行整合、有效的设计，而不能仅仅就题论题．近期观摩了本地区某校W老师关于向量小题知识的复习课，令笔者对于复习课教学的设计感慨较多，W老师从高等数学中体现向量数量积与其和差之间的关系式（即极化恒等式）出发，设计了近年来考查较为热门的一系列类似问题，整堂课的设计仅仅围绕题根a· b=［（a+b）2-（a-b）2］出发，让笔者也深深认识到了如何将小题进行了一番大作．

一、综述

1.从内容而言：W老师在教学内容的选取上花了不少心思，以向量小题为例，通过极化恒等式这种比较新颖的手段来解决向量中难度较大的数量积综合问题，不仅给很多学生甚至老师一种视觉上的享受，更能有效地帮助学生解决向量中的疑难问题，而且题目的设置也恰到好处，“树高千丈，叶落归根”不仅体现了数学的博大精深，更宣扬了一种推本溯源的思想，与此次“根本教学法”的宗旨不谋而合．总之，这堂课的开场就让笔者出乎意料．笔者对可以通过极化恒等式来帮助学生“秒杀”灵活多变的高考向量题也并不熟悉，因此本课也让笔者受益匪浅．

2.从目标而言：W老师对这堂课要实现的目标很明确，清楚学生应该理解什么，掌握什么，学会什么，她真正成为了学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生真正是一个个发现者、探索者，有效地发挥他们的学习主体作用．W老师希望学生能借助极化恒等式来解决向量与三角、立体几何等的综合问题，在教学中更是渗透着数形结合这种很重要的思想方法．所以，整堂课始终贯穿着用“极化恒等式”解决向量数量积问题这条主线，在例题的选取和安排上也是精心布置的．

二、过程

W老师以课本为起点，通过课本题目的练习，让学生自己来探索a·b与a+b，a-b之间的关系，进而得到极化恒等式：a·b=（a+b）2-（a-b）2］，引入自然贴切，学生易于掌握.W老师为学生创造了一个自主探索的机会，让学生主动去建构知识，而不是被动地吸收老师给出的现成结论，这是一个很好的实践和创新的机会．

在“寻根问底”这个环节中，W老师对极化恒等式作了进一步的说明，通过数形结合的方法，给出了极化恒等式的另一种形式通过这种形式可以发现，这是一种数形结合的思想，是在图形的基础上阐释极化恒等式的意义，即两个向量的积可以用来表示以这两个向量组成的平行四边形的“和（差）对角线”的平方差的这样可以使学生更好地理解并应用极化恒等式，为后面的高效教学奠定坚实的基础．

在“根繁叶茂”环节中，W老师通过三个例题很好地诠释了极化恒等式这一工具，而且例题的选择是很有针对性和代表性的，立意新颖，难度较大，通过该等式的巧妙解决，让学生真真实实地感受到极化恒等式“秒杀”向量题的实效性，凸显它的魅力，激起学生数学学习的兴趣与热情．

但笔者认为觉得在例题的编排顺序以及析题的过程上可以作一些改进或者调整．例题的编排最好能按时间的先后顺序以及试题的难度来安排，所以笔者建议将例2和例3的顺序予以对调．另外，W老师在例题1的讲解中，用到了“极化恒等式法”、“建系法”、“向量运算法”三种方法，分析比较全面和细致，但是笔者觉得在时间上分配得有点多，其实这个题目的难度不大，很多同学都能自己完成，所以笔者觉得在以“极化恒等式法”为主线的基础上，另外两种方法给予适当的点播就可以了．而在例2和例3的讲解中，解法单一，造成了“华山一条道”的局面，特别是例3，此题作为填空题的压轴题，难度很大，得分率相当低，而学生对于“极化恒等式法”毕竟比较陌生，在后来的求解的最值的时候，很多同学一脸茫然，显然并不能很好地理解和掌握该解法．而且W老师似乎没有给学生机会来展示或交流对这两个例题的想法或解法，其实观察下来，还是有不少同学在尝试用建系、运算等方法在解，而老师没有及时地关注和鼓励学生的想法，这会挫伤学生学习数学的好奇心和积极性．所以，老师应该指引和鼓励学生尝试多角度地解决此题，真正地打开学生的思维，宁可少讲一题，也要讲透一题，只有这样才能做到会一题通一类．因此W老师对例2作了深入的研究，体现了小题细做：

例2已知a·b=0，向量c满足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|= 5，|a-c|=3，则a·c的最大值为_________．

图1

图2

方法2（建系法）：如图2，由已知条件可知，AC⊥BC，AO⊥BO，AOBC四点共圆，且AC=3，AB=5，BC=4，故可建系如图2所示，则C（0，0），B（4，0），A（0，3），由于AB为圆直径，所以圆心坐标为则该圆的方程为：

因此，可得a·c∈［-2，18］．

方法3（几何运算法）：如图3所示，不妨设∠AOC=θ，则∠ABC=θ，故cosθ= cos∠ABC=（在Rt△ABC中）.又因为|

a-c|=3，即得a2+c2-2a·c=9，从而有a2+

图3

说明：处理向量的数量积问题一般有三个角度可以考虑，一是利用“极化恒等式”工具，二是通过建立直角坐标系转为代数运算，三是利用向量的线性运算，实施向量的转化．方法1具有一定的巧妙性，往往可以避免复杂的运算，为考试赢得更多的时间；方法2实用性较强，通过建系，能把向量问题转为一种代数的运算，该法的关键是如何建系，一般要应遵循简洁的原则，所需点的坐标易求、快捷为上．而方法3则要求学生必须熟练地掌握向量的线性运算，还要善于捕捉向量背后的几何背景，找出几何图形的特点，然后借助平面几何性质以及向量运算的几何意义解决问题．

通过W老师这一节课，可以发现“极化恒等式”对于向量数量积问题的解决有很大的帮助，可以达到省时省力的双赢局面.与此同时也需要认识到，用极化恒等式来高效迅速地解决与向量相关的习题，并不只是追求一种简单的解题技巧，不只是为了纯粹地提高应试的水平，而是引导学生认识到在数学问题的解决中，理解问题并揭示问题的本质，并迅速地判断出问题可能的结果.因此，我们绝对不能把它当成唯一的依靠，在掌握它的同时，更要尝试其他的方法，多方位地打开试题，只有这样，智慧之花才能开得更加灿烂．

三、思考

听了W老师的课让笔者受益良多，笔者也颇有些感悟：

1.所有试题均源于课本，所以在数学教学特别是在高三复习时一定要回归课本．老师一定要指导学生用好书本，夯实基础，才能帮助学生构建一张牢固的知识网络．当然，这里需要认识回归课本的含义，什么是回归课本，回归课本并不是简单地重现教材中的知识，而是在此基础上形成认识上的飞跃,要充分发挥课本中例、习题的功能，并对这些例题进行探究性复习．只有这样学生掌握的知识才能得以螺旋式上升．

2.作为教师要具有语言魅力，语言必须要做到严谨简练，并且要具有亲和力，对学生要多表扬多鼓励，拉近与学生的距离．

3．要为学生创造自主探索的机会，使学生主动地去构建知识，而不是被动地去吸收课本上的现成结论．就像这次学生探索“极化恒等式”一样，只有亲自实践，才能让学生经历知识的发生、发展过程，感知知识的本来面目，让学生在“再创造”中实现知识、情感、价值观的充分发展．

4．数学课堂教学应该要有精准的点播，精准的启发，在此过程中教师在必要的时候放手让学生讨论，就可以抵达实效教学的境界．这里所强调的实效教学，就是指教师要对每一个教学内容进行认真的设计并对教学过程进行认真的组织，尤其需要重视的是，例题的选择一定要高度重视代表性，只有具有了代表性，才具有了典型性，才能发挥以点带面的作用．而在讲授的时候，则需要重视横向与纵向的联系，以确保学生在问题解决的过程中思维能够得到有效的培养，能够有效地将碎片化的知识组织成知识网络，从而提高知识在学生大脑中的有效组织程度．

5．课堂教学不追求数量，坚持质量为上．在上课的时候经常会出现例题来不及讲的情况，为了追求例题的数量，往往会把有些例题草草了之，这样的讲解只能停留在知识的表层，学生也不可能真正地掌握知识．所以，当我们遇到一些典型问题时一定要深入探究，全方位地进行思考，努力做到会一题通一类．

1.鲍建生，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003（1）.

2.郑毓信.变式理论的必要发展［J］.中学数学月刊，2006（1）.