基于POD和DMD方法的跨声速抖振模态分析

寇家庆，张伟伟＊，高传强

西北工业大学 航空学院，西安 710072

基于POD和DMD方法的跨声速抖振模态分析

寇家庆，张伟伟＊，高传强

西北工业大学 航空学院，西安 710072

跨声速抖振现象是由于非定常跨声速流动中激波的自激振荡而引起的结构强迫振荡，这种现象在跨声速飞行器中普遍存在，对飞机的结构强度和疲劳寿命有不利影响。基于模态分解的分析方法是进一步发展抖振控制手段的有效工具。本文通过两类典型模态分析方法（本征正交分解 （POD）和动态模态分解 （DMD））对OAT15A翼型的跨声速抖振现象进行分析，通过对模态频率、翼面压力分布、流场重构误差等方面的研究，将两种模态分解方法进行对比。发现基于频率特征的DMD方法能够准确捕捉抖振的临界稳定特征和抖振主频的典型模态，同时能够更准确反映流场变量在激波间断附近随时间的变化过程；而POD方法尽管在流场重构时具有较小的总体误差，但对激波附近压强随时间的变化历程拟合较差。

抖振；跨声速流动；动态模态分解；本征正交分解；激波

跨声速抖振是由于跨声速下非定常流动不稳定所引起的结构强迫运动。跨声速区强烈的激波附面层干扰，使抖振过程中存在着复杂的流动机理和非线性动态特性。这些问题使跨声速抖振成为航空工程中的研究难点和热点［1］。针对跨声速抖振的产生机理，Lee［2］提出的自维持反馈模型给出了合理的解释，将其理解为激波运动产生的压力波和尾缘声波的反馈现象。其他的相关跨声速抖振研究主要通过试验［3－4］和数值模拟［5－7］进行，Lee［8］对此进行了全面的综述。另外，在流体力学研究中，基于试验或计算样本，构建非定常流场降阶模型（Reduced－Order Model，ROM）是一种重要的研究手段。建立降阶模型能够得到复杂的流体力学现象的主要特征，同时可进一步实现系统机理分析和发展主动／被动流动控制。目前存在两类典型的非定常流场降阶模型［9］：基于系统辨识方法的ROM（如 ARX 模型［10－11］和神经网络模型［12－14］）和基于流场特征提取方法的ROM（如本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）［15－16］和动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition，DMD）［17－18］）。在两类模型中，基于流场特征的研究方法在抖振研究中已有部分应用［7］。Chen等［7］对马赫数Ma＝0．76、雷诺数Re＝1．1×107状态下18%厚度双圆弧翼通过大涡模拟（LES）方法进行了数值模拟，并对得到的稳定流场进行POD分解。研究表明根据前两阶POD模态系数得到的频率与激波运动的频率一致，且其他主模态的频率均为一阶模态的整数倍。这种ROM不仅能够实现流场的重构和分析，也能够进一步发展抖振抑制和抖振流动控制相关的研究。本文针对跨声速抖振现象，对比了POD和DMD两种分解方法在抖振分析中的区别和联系。

POD是最早提出的一种模态分解方法。这种方法将流场分解成若干空间正交模态，按照各个模态的能量（即特征值）大小进行排序，从而选择出流动主要模态。POD目前已用于研究多种流动问题，例如低雷诺数下圆柱绕流的动态特性［15］和圆柱不稳定线性动力学问题的建模过程［19］等。然而，对于某些复杂流动，可能包含某些对流场动态特性影响很大的低能量特征。近期，Schmid［18］提出了一种通过动态系统特征值估计流动演化并且进行稳定性分析的方法，即DMD。DMD按照频率对系统进行排序，提取出系统的特征频率，从而观察不同频率的流动结构对流场的贡献；另外，通过DMD模态特征值可进行流场预测。Rowley等将DMD方法与Koopman算子理论［17］结合，通过无限维线性算子理论使其扩展到非线性流动。DMD在横向 射 流［20］、带 襟 翼 机 翼 尾 流［21］和 动 失 速 尾流［22－23］等复杂流动现象上有广泛应用。结合优化方法或正则化理论，研究者也提出一些改进形式的DMD，如 最 优 化 DMD（optimized DMD，opt－DMD）［24］、最优模态分解（Optimal Mode Decomposition，OMD）［25］和稀疏改进 DMD（Sparsity－Promoting DMD，SPDMD）［26］等。这些改进形式对某些特定的问题可能提取出更好的流动模态。

由于DMD与POD之间存在较多的相关性，因此针对某些复杂流动现象，往往通过POD和DMD进行对比研究。Wan等［20］通过大涡模拟了横向射流的涡旋流动发展过程，结果表明DMD得到的中立稳定模态以及主导频率均与LES的计算结果一致，而由于高阶POD模态包含多种频率分量，因此不利于流场的动态分析。Mariappan［22］和Mohan［23］等通过POD和DMD方法分别研究二维翼型和三维机翼的动失速现象，发现DMD模态得到的流动结构对于描述频域下的流场和提取流动中的主要不稳定模态具有一定优势。上述研究对比了DMD与POD的区别及联系。然而，对于具有强非线性特征的跨声速流动和存在激波间断的流场，目前没有结合两种模态分解方法的研究工作。本文针对典型的超临界翼型OAT15A，通过两种模态分解方法对该翼型的跨声速抖振现象进行分析，进一步研究了两种模态分解方法在具有激波间断时，对流场主要动态特点的捕捉能力。

1 POD与DMD方法

POD和DMD都是通过流场各个时刻的流场快照序列，对主要成分进行提取而实现的。

1．1 POD方法

给定N个离散时刻的流场快照（如各个网格点的速度、压力、密度等），整个流场可分解为基本流动和脉动量的叠加，即

POD的目标是通过正交分解将脉动量用少数POD基和模态系数的乘积表示，即

式 中：P ＝ ［u＇（x，t1） u＇（x，t2） … u＇（x，tN）］为减掉均值的快照序列组成的矩阵。由于矩阵C是对称矩阵，因此具有非负特征值。进而求解特征值问题：式中：特 征 矢 量 A［j］为 模 态 系 数 矩 阵，A［j］＝［aj（t1） aj（t2） … aj（tN）］。POD基定义为

根据特征值λ对模态按照能量进行排序，可以提取出主要的流动模态，通过式（2）可得到任意时刻流场脉动量u＇（x，ti），将其与平均流场相加可得到任意时刻流场。

1．2 DMD方法

通过试验或数值仿真得到的N个时刻的快照可以写成快照序列矩阵X和Y，且任意两个快照之间的时间间隔均为Δt，即

假设流场vi＋1可以通过线性映射A∈RM×M与流场vi表示，即

式（8）中的假设对于任何一个时刻的快照都成立。如果本身动态系统为非线性，则这个过程就是一个线性估计过程，即通过线性假设实现非线性估计。由于存在式（8）的假定，因此有对于秩为r的矩阵X，DMD算法要求寻找矩阵∈Cr×r来代替高维矩阵A，这种替代可通过X的奇异值分解得到，即

由于奇异值分解，U∈CM×r，UHU＝I；Σ 为对角阵，对角元素从上到下为奇异值从大到小；I为单位矩阵。矩阵槇A的计算可以看做最小化问题：式中为Frobenius范数。因此可将A近似为

式中：zj为矩阵第j个特征值对应的特征向量。为表达该模态对流场的贡献，定义模态振幅为。另外一种DMD模态的定义方式可见文献［27］，形式为

通过上述DMD方法，可以提取出流场的动态模态。

2 非定常流场求解方法

本文的CFD求解器与文献［5］相同。由于跨声速非定常流动存在较强的激波附面层干扰，因此本文基于非定常雷诺平均Navier－Stokes（Unsteady Reynolds－Averaged Navier－Stokes，URANS）方程对流场进行求解，采用Spalart－Allmaras（S－A）湍流模型以准确预测抖振现象。通过S－A模型封闭的URANS方程积分形式为

式中：守恒变量为W＝［ρ ρu ρv ρe］T，ρ、u、v、e分别为流体密度、x和y轴的轴向速度和单位质量流体的总内能；无黏通量和黏性通量分别为Ec（W，Vgrid）和Ev（W）；n 为控制体边界外的法向单位向量；Ω为任意控制体；Ω为该控制体的单元边界；Rsource＝［0 0 0 0 0 QT］T为源项，QT为S－A湍流模型的源项。CFD求解器求解时，采用格心有限体积法进行求解，通量格式采用Asum＋－up。为求解URANS方程，采用双时间推进方法。实时间采用二阶精度向后差分，伪时间采用隐式对称Gauss－Seidel迭代，空间离散通过非结构网格实现。求解器的网格无关性验证和跨声速算例验证见文献［5］。

3 算 例

本文针对OAT15A翼型的跨声速抖振响应，通过POD和DMD分解提取出主要的模态频率和能量，用于捕捉激波间断处的强非线性特征和激波的周期性自激振荡，同时对比了两种模态分解方法对于激波间断的捕捉情况。

该算例的基本条件为：马赫数Ma＝0．73，雷诺数Re＝3×106，平均迎角α0＝3．5°。无量纲时间步长dτ＝0．073 0，选择模态分解的快照变量为各网格点压力。选择该流动条件是因为抖振可以完全发展且激波振荡范围接近20%弦长。图1展示了升力系数CL的响应历程，平均流场及特征点如图2所示，其中流场云图的横坐标表示平行于流场的x轴方向坐标，纵坐标为垂直流场的y轴方向坐标，且坐标值关于弦长单位化。图1中当无量纲时间τ＞60时，激波的周期性简谐运动引起升力的周期性简谐变化。在这种抖振状态下，选择图1中标记范围的695个快照进行模态分解。衡量简谐运动频率快慢的无量纲参数为缩减频率k＝ωb／V，ω为简谐运动的角速度，b为半弦长，V为来流速度。该无量纲参数是度量非定常效应强弱的特征量。

对图1的升力系数抖振响应进行Fourier变换，得到图3中不同缩减频率下能量大小。在缩减频率为0．186时具有很强的能量，且两倍频的分量（k＝0．372）也包含了一定的能量。这说明当前条件下抖振主频为0．186，与文献［4］中试验测量的结果有一定差异（试验计算得到的无量纲频率约为0．207）。但是在 Brunet［28］的研究中发现，在计算抖振边界的过程中通常需要增加迎角以匹配试验结果，因此这个缩减频率在试验中应该对应更小的抖振迎角。另外，本文的计算结果与文献［6］的计算结果一致。

3．1 跨声速流场的POD分解

POD得到的前4阶POD模态如图4所示。可以看到这几阶模态的主要特点都是在激波附近存在间断，而一阶模态附近的间断更为明显，其他高阶模态则体现了激波附近的更高频压力振荡。

图1 升力系数随时间的响应Fig．1 Responses of lift coefficient changing with time

图2 平均流场压力云图及观测点Fig．2 Pressure contour of mean flow and observation points

图3 OAT15A翼型升力系数的Fourier分析Fig．3 Fourier analysis of lift coefficients of OAT15A airfoil

图4 前4阶POD模态Fig．4 The first 4POD modes

将POD特征值进行排序如图5所示。计算得到排序后的前5阶能量已大于99%，即

故选择前5阶模态进行重构流场。从图4中具有主要能量的模态中可以看到，几个模态均在激波间断处有较大差异。由于激波的周期性运动，最主要的模态在激波运动产生的间断范围内有较大的压力差，因此存在一个间断区。第2个和第3个模态捕捉了激波间断前后的剧烈压力变化。由于第1个模态捕捉的间断区较大，而两个高阶模态能够对间断区进行进一步调整使其更接近准确流场，因此选择前5个POD模态已经捕捉了跨声速抖振状态下激波的主要特征。

图5 按照能量排序的POD特征值Fig．5 POD eigenvalues according to energy order

3．2 跨声速流场的DMD分解

对提取出的流场样本按照DMD分解，且根据模态振幅αj＝z－1jUHv1对不同频率的模态进行排序，从而得到各阶DMD模态。这种排序方法在一些论文里已有使用［26］。另外还可以根据模态范数进行排序，但是这种方法需要另一种DMD模态的定义［17，21］。采用振幅或模态范数排序的方法能够按照各个模态对流场的贡献和影响进行排列，而且也有利于通过这些模态进行流场重构［30］。各个模态的缩减频率可以通过1．2节提到的Ritz特征值计算得到。DMD提取出的第一个模态为静态模态，近似于平均流场［24］。其余模态均成对出现，其特征值为共轭复数，因此每一对模态可看做是单个模态［23］。由于POD选择了5个模态，作为对比，选择按照振幅排序的前9个DMD模态，以实现流场重构。图6中显示了提取模态数目与文献［26］中定义的损失函数的关系，能够看出选择9个模态已足够使损失函数小于3%（图6中的实心点）。

模态选择过程中特征值如图7所示。图7（a）中选择的模态基本靠近单位圆，说明简谐运动下系统主要处于临界稳定状态，这与实际的物理现象一致。从图7（b）可以看出提取的模态中，第一个模态（静态模态）的模略大于1，这可能是模态分解中的数值精度造成的。各个模态的增长率和缩减频率如表1所示。能够看到由于临界稳定状态，各个模态的增长率均很小。对于真实的临界稳定状态而言，其增长率应该为零，而计算得到的小增长率同样可以归结为数值误差。各个主要模态的频率基本上为抖振主频（基频）0．186的倍数，这同样与相关研究的结论一致［18，24］。前3对DMD模态的频率与Fourier分析得到的主要频率基本一致，说明通过前7个模态就能把握流动的大部分频率特征。前7个模态展示在图8中，且图中仅展示了各个复模态的实部。从文献［24］的研究中可以发现，虚部与实部存在一定的相位差异，而在流场特征上区别不大。提取的5对DMD模态中，图8（a）的第1阶静态模态与均匀流场较为相似，且通过数值计算可知其与均匀流场差异不大。模态2－3则捕捉了激波间断处周期运动的特性；其他模态同样一定程度捕捉了激波间断。从模态2－3到模态6－7，能够观察到激波间断与远场的差异在不断变小，说明激波的振荡主要是由于低频模态引起，而高频振荡的影响相比于低频成分较弱。

图6 提取的DMD模态数与损失函数的关系Fig．6 Relationship between extracted DMD modes number and loss function

图7 DMD模态特征值Fig．7 DMD model eigenvalues

表1 前9阶DMD模态及其对应的增长率和缩减频率Table 1 Growth rates and reduced frequencies of the first 9DMD modes

图8 前7阶DMD模态（1个静态模态和3对共轭模态）Fig．8 The first 7DMD modes with one static mode and three pairs of conjugate mode

3．3 POD和DMD方法的比较

为对比POD和DMD方法分解得到的模态特征频率，需要对模态系数进行计算。POD的模态系数定义为式（4）；第i时刻的DMD模态系数为（μj）i－1αj。图9对比了 DMD各阶模态系数的实部和POD的各阶模态系数。因为DMD模态1为静态模态，其振幅不随特征值变化，故并未给出。而主要POD模态的模态系数则并不完全符合简谐特征，这说明单个POD模态中可能包含多个频率成分。

图9 POD和DMD模态系数变化Fig．9 Evolution of POD and DMD mode coefficients

将模态系数做Fourier分析，可以观察到不同模态的主要频率。在图10（b）展示的DMD模态的Fourier展开结果中，每个模态对应的频率仅有一个，这在图8中也已展示。DMD模态按照频率进行排序，且按照频率从小到大，幅值在逐渐衰减，说明当前飞行条件下，抖振的主频为0．186，这与图3的结论一致，且对于能量较强的频率0．372，也通过DMD模态4－5体现出来。观察各个POD模态系数的主要频率，如图10（a）所示。可以看出按照能量进行排序的模态可能包含多个频率成分。虽然各个模态的主频特征明显，但是其他频率流动结构的存在引起了模态系数的非简谐变化。从POD模态4和POD模态5中，可以看到由于更重要的频率成分0．372的能量小于0．557，使模态5被排列到模态4之后。而实际上频率为0．372的流动对流场的影响要大于频率为0．557的流动。因此，对于跨声速抖振这种主频特征明显的问题，采用POD模态分解可能会忽略某些能量较小，但是接近主导频率的流动成分。而这些主频成分对于后续的流场特征分析和流场重构等研究则更为重要。

图10 POD和DMD模态系数的Fourier分析Fig．10 Fourier analysis of POD and DMD mode coefficients

为进一步观察两种模态分解方法对流场特征的提取，将得到的POD模态和DMD模态进行流场重构。选择某两个特征时刻，无量纲时间分别为t1＝147．407 5和t2＝151．355 5，将两个时刻的翼型表面压强p进行对比，如图11所示，可以看到两种方法均吻合较好。需要指出图11中的无量纲压强p是关于远场速度和密度进行无量纲化得到的。然而，单从翼型表面压强来说，并不能获得足够的流场对比。因此选择了图2中的几个特征点随时间变化进行对比，如图12所示。这个计算过程通过文献［26］中的模态叠加方法实现。主要选择了3个特征点（翼型上方点C，激波间断前方点D和激波间断后方点E）。能够看出这3个点均靠近激波间断，这是为了进一步比较两模态分解方法对于激波间断处的捕捉能力。对于除激波附近以外的其他点，当前选择的模态已足以较为准确的叠加出流场的演化过程。从C点的压强对比能够看到，真实的C点处压强基本呈简谐变化，通过DMD的各个频率谐波分量叠加能够将这种周期性特征反映出来；而POD叠加得到的压强值也存在周期性，但是在峰值处有较大的偏差；对于激波间断前的点D，能够看到因为激波间断处的周期性运动，点D的压强变化具有很强的非线性，无论是DMD方法的不同频率叠加还是POD的能量叠加，都无法准确反映该点的变化趋势；相比而言，DMD对峰值点的把握比POD准确得多。在光滑下降的区域，DMD和POD都出现了一定程度的波动，但是明显DMD的误差相比于POD是可接受的，而DMD叠加产生的振荡可以归因于谐波叠加产生的吉布斯效应。激波间断后方E点的变化也有很强的非线性。能够注意到DMD准确把握了峰值处的高频分量，对压强随时间的变化趋势也比POD把握的更准确。由于跨声速抖振具有明显的主频特性，因此相比于POD方法，按照频率排序得到的DMD模态可以更加精确地捕捉到不同范围和强度的激波间断。

图11 两个时刻的翼型表面压力Fig．11 Pressures on airfoil surface at two time instants

图13是两种模态分解方法各个时刻各节点模型的预测与真值的均方根误差对比。能够看到

图12 3个观察点随时间的压强变化Fig．12 Time evolution of pressure at three observation points

图13 POD和DMD流场重构的均方根误差Fig．13 Root mean square errors of flow reconstruction by POD and DMD

较大误差均在激波间断处附近。激波间断处两种模型差异不大，而DMD得到的降阶流场误差甚至更大。然而从特征点的对比上，能够发现两种模态分解方法存在误差的原因有所不同。由于DMD方法是不同频率成分的叠加，因此误差主要来源于激波间断点叠加过程中的吉布斯现象；POD的误差主要来自于对极值点不能准确预测，这实际上不利于激波的准确捕捉。综上所述，从激波间断捕捉的角度而言，基于频率成分的DMD方法要好于基于能量成分的POD方法。

4 结 论

1）相比于按照模态能量排序的POD方法，DMD将模态按照频率排序，得到的是单一频率的模态，且通过模态特征值可以体现准确捕捉各个模态的频率及增长或衰减特点，也能够得到与跨声速抖振的周期性相关的主要模态。

2）按照能量排序的POD模态系数的时间历程可能存多种频率成分，说明几个主要模态中包含不同的频率的流动特征，这并不利于研究周期性流动中的主导模态特征，类似跨声速抖振现象。

3）在激波间断处附近的流场重构上，POD存在着较小的总体误差，但是对于流场变量随时间的变化上不如DMD描述精确。DMD具有较大误差的主要原因在于不同的单频模态叠加时，在激波振荡的位置附近存在吉布斯现象。

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Modal analysis of transonic buffet based on POD and DMD method

KOU Jiaqing，ZHANG Weiwei＊，GAO Chuanqiang
School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China

Transonic buffet is due to the self－sustained oscillations of shock wave in the unsteady transonic flow，which induces the forced periodically motion of the structure．For aircraft in transonic flow，this phenomenon exists commonly，leading to negative effects on the structural strength and fatigue life．Analysis based on mode decomposition is an effective tool for developing buffet control design．In this paper，two typical mode analysis methods，i．e．，proper orthogonal decomposition（POD）and dynamic mode decomposition（DMD），are utilized for analyzing the transonic buffet of the OAT15Aairfoil．Two techniques are compared by studying the frequency of dominant modes，pressure distributions on the surface and the errors of flow construction．Results indicate that because of the consideration of frequency characteristics in DMD，the critical stable characteristics and dominant frequency of transonic buffet are well captured．Besides，DMD method accurately mimic the time evolutions of flow variables near the shock wave．Although POD method provides relatively small errors for flow reconstruction，it performs worse than DMD near the shock wave region，because of the poorer approximation of pressure evolution in time．

buffet；transonic flow；dynamic mode decomposition；proper orthogonal decomposition；shock wave

2015－11－02；Revised：2015－11－26；Accepted：2016－01－06；Published online：2016－01－11 14：55

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160111．1455．008．html

s：National Natural Science Foundation of China（11572252）；Program for New Century Excellent Talents in University（NCET－13－0478）

V211．1＋5

A

1000－6893（2016）09－2679－11

10．7527／S1000－6893．2016．0003

2015－11－02；退修日期：2015－11－26；录用日期：2016－01－06；网络出版时间：2016－01－11 14：55

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160111．1455．008．html

国家自然科学基金 （11572252）；新世纪优秀人才支持计划（NCET－13－0478）

＊通讯作者．Tel．：029－88491342 E－mail：aeroelastic＠nwpu．edu．cn

寇家庆，张伟伟，高传强．基于POD和DMD方法的跨声速抖振模态分析［J］．航空学报，2016，37（9）：26792－689．KOU J Q，ZHANG W W，GAO C Q．Modal analysis of transonic buffet based on POD and DMD method［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：26792－689．

寇家庆 男，硕士研究生。主要研究方向：气动力降阶模型，非定常空气动力学。

Tel．：029－88491342

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张伟伟 男，博士，教授，博士生导师。主要研究方向：气动弹性力学，非定常空气动力学。

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高传强 男，博士研究生。主要研究方向：流固耦合力学，跨声速气动弹性力学。

Tel．：029－88491342

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＊Corresponding author．Tel．：029－88491342 E－mail：aeroelastic＠nwpu．edu．cn