地火中继链路的空间特征参量分析

杜部致， 高飞， 陈丽婷

(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)



地火中继链路的空间特征参量分析

杜部致， 高飞， 陈丽婷

(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)

针对火星和地球上合时导致的直接通信链路中断问题，提出基于日地拉格朗日点L4/L5为中继的地火中继架构. 建立日心黄道惯性坐标系下L4/L5到火星的指向矢量在不同空间参考坐标系下变换的数学模型，推导了L4/L5指向火星的空间特征参量(空间距离、方位角和俯仰角)随星体瞬时平轨道根数变化的解析式. 仿真验证了一个地火回归年内的空间特征参量的变化规律，设计了一种L4/L5对火星表面的链路持续可见模型，并分析了返向链路性能. 为L4/L5指向火星的星间链路设计提供了参考.

地火中继；拉格朗日点；空间特征参量；坐标系变换

太阳系内深空信道环境受到行星聚合以及太阳闪烁的影响. 试验表明，太阳-地球-探测器之间构成的SEP夹角α<2.3°时，X频段的链路质量开始明显下降，当α<1.3°，严重下降. 采用Kα频段，可以提高抗干扰能力，但当α<0.6°，链路质量也明显下降[1]. 地火上合时，同样存在类似的链路性能恶化甚至中断问题. 解决这一问题，提出了很多方法，例如采用非相干FSK，频率分集，以及在地面建立多个天线阵列提高空间分集等，但这些方法只能尽量减少对链路性能的影响，不能根本解决链路中断的问题[1]. 此时，建立以日地拉格朗日点L4/L5为中继的地火中继链路，则可以避免因直接通信导致的链路中断问题.

徐瑞等[2]分析了拉格朗地日点的各点作中继的可行性，Li Hui[3]提出建立地月拉格朗日点L2，L4/L5为中继节点构建地月连续通信的模型，任志宏等[4]提出了基于日地拉格朗日点L4/L5为中继节点的地火通信架构设计. 以上文献多是讨论L4/L5作中继节点的架构模型，到目前为止对L4/L5作中继时指向火星的空间特征参量的研究还比较少见. 空间特征参量主要包括星间链路距离、方位角以及俯仰角，链路距离的变化要求星间通信系统具有自动功率控制能力；方位角和俯仰角的变化要求星载天线具有自动跟踪能力，预算出目标的位置和指向变化，是捕获和跟踪的基础，反映了星间链路建立的难易程度，并据此设计最优化的搜索方案[5].

本文通过建立日心黄道惯性坐标系下日地拉格朗日点L4/L5指向矢量在不同空间坐标系下变换的数学模型，推导了L4/L5作地火通信中继节点时指向火星的空间特征参量随中继星和火星瞬时轨道根数变化的解析式，并仿真验证了一个地火回归年内各个特征参量的变化规律，并在此基础上，进一步分析了L4/L5对火星表面着陆器链路持续连接的可见性问题及返向链路性能.

1 数学模型

1.1 假 设

为了便于问题的分析和研究，本文提出以下假设条件：不考虑太阳系内其他天体的引力作用，假设L4/L5处于理想中的稳定状态；近似认为地球绕太阳作近圆运动；近似认为火星与地球同在黄道面上绕日运动；在不考虑火星自转的前提下，假设火星为质点；本文主要研究L4/L5指向火星的空间特征参量，暂不考虑指向地球部分.

1.2 坐标系的定义

确定一个空间坐标系用3个要素来定义，即坐标原点、参考平面和参考平面上的主方向.

① 日心黄道惯性坐标系S-XIYIZI. 以太阳S为坐标原点，以黄道面为基准面，SXI轴在黄道面内指向春分点，SYI轴在轨道面内沿逆时针方向旋转90°，SZI轴垂直于黄道面，S-XIYIZI构成右手直角坐标系. 在日心黄道惯性坐标系下，L4/L5的直角坐标表示为XIL，YIL，ZIL；火星的直角坐标表示为XIM，YIM，ZIM.

② 日心轨道坐标系S-XOYOZO. 以太阳S为坐标原点，以行星的轨道面为坐标平面，以指向近日点为XO轴，ZO轴过原点指向轨道面的法线方向，YO轴在轨道面内指向真近点角f=90°处的通径方向，S-XOYOZO成右手坐标系.

③ 质心轨道坐标系L-XsYsZs. 以L4/L5中继星质心L为原点，黄道面为坐标平面，Zs轴由星体质心指向日心，Xs轴在轨道平面内垂直于Zs轴，并指向中继星速度方向.Ys轴与Xs轴、Zs轴成右手坐标系.

④ 中继星本体坐标系L-XbYbZb. 卫星姿态角采用的参考坐标系为质心轨道坐标系，假设中继星本体坐标系原点L与中继星质心轨道坐标系原点重合，Xb为滚动轴、Yb为俯仰轴和Zb为偏航轴，与参考坐标系由姿态角(滚动角φ、俯仰角θ、偏航角φ)决定，在φ=0，θ=0，φ=0时，两者重合. 各坐标系如图1所示.

数据中继卫星属于三轴稳定卫星，在理想情况下，忽略卫星姿态指向误差，中继星的本体坐标系与卫星轨道坐标系严格重合，中继星天线坐标系与中继星本体坐标系严格重合，因此，求出了中继星本体坐标系中指向矢量的跟踪规律，即求出了中继星天线指向矢量的跟踪规律[6].

1.3 L4/L5到火星的空间距离数学模型

轨道根数(a，e，i，Ω，ω，M)分别为轨道半长轴、偏心率、行星轨道倾角、升交点黄经、近升角距和平近点角，r表示轨道向径(rL，rM分别表示L4/L5和火星的轨道向径)，f表示真近点角.

天体在日心轨道坐标系S-XOYOZO下的直角坐标表示为

(1)

日心轨道坐标系到日心黄道惯性坐标系的单位向量变换为

(2)

则天体在日心黄道惯性坐标系中的位置表示为

(3)

天体的位置矢量RI在日心黄道惯性坐标系中的直角坐标表示为(XI，YI，ZI)，

(4)

L4/L5到火星的指向矢量RILM(下文简称指向矢量)在日心黄道惯性坐标系中表示为

(5)

L4/L5到火星的距离rLM为

(6)

1.4 方位角和仰角的数学模型[7-8]

L4/L5指向火星的方位角和仰角的计算，需要根据欧拉定理，把指向矢量从日心黄道惯性坐标系变换到中继星本体坐标系中. 完成这一过程，需要进行3次坐标系变换.

首先，把指向矢量RILM从日心黄道惯性坐标系S-XIYIZI绕SZI旋转ΩL，绕SXI旋转iL，再绕SZI旋转uL(uL=ωL+fL)，经过3次坐标轴旋转，坐标系转换到L4/L5的日心轨道坐标系S-XOYOZO，坐标系变换矩阵A1.

其次，由日心轨道坐标系S-XOYOZO绕SYO旋转-π/2，绕SZO旋转π/2，经过两次坐标轴旋转，坐标系变换到质心轨道坐标系L-XsYsZs，坐标系变换矩阵

(7)

其中，A=A2A1=

(8)

再次，把指向矢量RILM从其质心轨道坐标系L-XsYsZs转换到L4/L5本体坐标系L-XbYbZb中. 将轨道坐标系进行3次欧拉转动，即可得到本体坐标系. 若按照3-1-2的顺序旋转参考坐标系即可得本体坐标系，Z，X，Y轴分别转动的欧拉角为φ，φ，θ，其姿态旋转矩阵B为

(9)

指向矢量RILM在L4/L5中继星本体坐标系中的表示为

(10)

则有L4/L5指向火星的方位角α，俯仰角β为

(11)

(12)

2 数值计算与仿真

地球和火星的一个回归年是779.94个地球日，本文以2018年7月27日0时为起点，截止至2020年9月13日0时(比一个回归年多1 h 33 min)为例，仿真验证地球和火星在一个回归年内，L4/L5中继星指向火星的空间特征参量随星体瞬时轨道根数的变化规律. 地球、火星的瞬时平轨道根数可以参考文献[9]附录B.

2.1 L4/L5到火星的距离

把式(4)(5)代入式(7)，化简得

图2展示了一个地火回归年内，地球、L4/L5到火星的距离变化规律. 由于地球和火星的轨道是具有不同偏心率的椭圆，L4和L5与火星的距离从起始时刻看来并不具有完全的对称性，与仿真结果相仿. 从地球与火星的距离可以分析本模型的误差：天文测量2018年7月28日，地球距离火星约为5.76×107km，由本文仿真分析知，在2018年8月27日，即滞后32 d，地球距离火星约为5.62×107km，一个回归年内，时间误差4.10%，距离误差2.43%. 引起误差的主要因素是采用的火星和地球的平轨道根数模型的精度. 如果采用更高精度的轨道根数模型，误差的范围会进一步减小.

2.2 L4/L5指向火星的方位角和俯仰角

在工程应用中，卫星的姿态参量φ，θ，φ一般可由陀螺仪和各种星载敏感器直接测量得到. 理想的情况下，忽略L4/L5中继星的姿态角偏差，即当φ=θ=φ=0时，此时意味着L4/L5中继星的天线坐标系与中继的本体坐标系完全重合，此时对应的方位角α和俯仰角β分别为

(14)

(15)

此时L4/L5指向火星的方位角如图3，俯仰角如图4. 由图示可知L4，L5的方位角在一个回归年内有两个时刻发生方位角的反转，L4发生在第526 d和527 d之间，第768 d和769 d之间，对应时刻的俯仰角也发生了变化；L5发生时刻分别为第49 d和50 d，以及第270 d和271 d之间，对应时刻的俯仰角也发生了变化. 在剩余的大部分时间内，这两个特征参量均能保持连续平稳的过渡，比较利于对目标的跟踪.

3 链路持续连接模型和性能分析

当火星和地球位于合时，日地拉格朗日点L4/L5作地火的中继可以避免因直接通信导致的链路中断，如图5所示. 由于火星自转的影响，若要实现对火星表面着陆器的连续可见，则可以在火星环绕轨道布设具有星间链路的中继星座.

3.1 链路持续连接模型

一种比较简单的链路持续连接模型是在火星环绕轨道布设3颗具有星间链路的火星静止轨道中继卫星构成的中继星座，即能实现在火星自转情况下，除了两极之外火星大部分区域的全球覆盖，如图6所示. 若要实现对火星两极等其他特定区域的连续可见，则需要重新设计相对复杂的火星环绕轨道中继星座.

3.2 链路性能分析

采用图6的中继架构，分析火星静止轨道中继星指向L4/L5中继星的返向链路性能. 以2019-08-07为例，此时L5距离火星的距离为2.058 AU，约为3.078 7×109km，指向火星的方位角为0.034 9 rad，俯仰角为0.805 8 rad. 假设发射端功率为1 000 W，采用充气式天线等效口径为20 m，天线等效噪声温度为1 000 K，天线效率为0.55，天线增益为71.33(dBi)，天线的品质因数41.33(dB/K)，载波采用kα波段(32 G)，采用BPSK的调制方式，RS(255，223)+卷积(7，1/2)级联编码，编码增益Gc=7.2 dB.L4/L5接收端采用相干解调，满足误码率为Pb≤10-6，链路余量5dBW/K，De为设备性能损失(一般小于1 dB，本文取0.8 dB). 假设L4/L5接收端天线各参数与火星静止轨道中继星天线相同.

自由空间的链路损耗

(16)

火星静止轨道中继星发送端的辐射功率

(17)

返向链路载噪比

(18)

链路的门限载噪比为

(19)

根据误差函数知

(20)

单位比特能量噪声密度比

(21)

由式(19)知

(22)

L4/L5接收端信息速率

(23)

若链路余量为5dBW/K时，接收端满足误码率为Pb≤10-6时，返向链路最大信息速率不超过95.72kbit/s，否则将无法满足信号质量. 由上文的分析可知，深空段的返向链路自由空间损耗极大，满足接收端信号质量的条件比较苛刻，这也是当前采用射频通信技术条件下，深空通信中多采用深空至地面直接通信的一个原因.

4 结 论

论文分析了地球和火星位于合时，为保持通信链路的连续性和可靠性，建立以日地拉格朗日点L4/L5为地火中继的必要性与可行性. 以研究L4/L5对火星的跟踪规律为目的，推导了L4/L5在日心黄道惯性坐标系下距离火星的空间距离随星体平轨道根数变化的表达式，以及指向矢量在L4/L5本体坐标系下的方位角和俯仰角变化规律，进一步提出了建立以火星同步静止轨道中继星座为架构的持续链路模型，以及分析了链路可见满足的约束条件. 本文提出的空间特征参量模型不仅适用于日地拉格朗日系统，也可以为未来构建行星际网络星际间的跟踪规律研究提供借鉴.

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(责任编辑：刘芳)

Analysis of Spatial Characteristic Parameter of Relay Link Between Earth and Mars

DU Bu-zhi， GAO Fei， CHEN Li-ting

(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

For the interruption of directcommunications with Mars during superior conjunction, relay architecture based on the Sun-Earth Lagrange pointL4/L5for the relay to Mars was proposed. The mathematical model of the pointing vector fromL4/L5to Mars under the heliocentric ecliptic inertial coordinate was established at different spatial reference coordinates system transformation. The analytical expression of spatial characteristic parameter which wasL4/L5pointing to Mars along with the instantaneous orbital elements of celestial body was deduced. Simulation experiment shows the variation of spatial characteristic parameter in one tropical year between Earth and Mars. One sustained connection model which was viewed fromL4/L5to Mars surfaces was designed and the performance of the return link was analyzed. It provides a reference for the design of inter-satellite link ofL4/L5pointing to Mars.

relay between Earth and Mars； Lagrange point； spatial characteristic parameter； coordinate transformation

2014-12-20

国家自然科学基金资助项目(61301089)

杜部致(1982—)，男，博士生，E-mail:d_buzhi@163.com.

高飞(1959—)，女，教授，博士生导师，E-mail:gaofei@bit.edu.cn.

TN 927.3

A

1001-0645(2016)01-0088-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.01.016