基于多普勒频率的脱靶量参数估计性能分析
2016-11-22冯定伟吴嗣亮魏国华
冯定伟， 吴嗣亮， 魏国华
(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)
基于多普勒频率的脱靶量参数估计性能分析
冯定伟， 吴嗣亮， 魏国华
(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)
对基于多普勒频率的脱靶量参数估计方法的可观测性及估计性能进行了分析. 基于导弹在接近靶标轨迹段做匀速运动的假设，证明了利用时序多普勒频率进行脱靶量参数估计方法的全局可观测性，推导了频率估计存在满足零均值高斯分布的误差时估计参数的克拉美罗界(CRLB)，并通过数值计算方法对影响估计参数CRLB的因素进行了仿真分析，仿真结果证明了该推导结果的正确性，给出了该方法在给定系统参数条件下不同脱靶量参数的估计性能，为利用此方法的脱靶量测量技术提供了参考.
时序多普勒频率；脱靶量；可观测性；估计性能；克劳美罗界
脱靶量测量是指对导弹末段轨迹的测量，对鉴定和评估导弹的性能起着关键的作用. 脱靶量测量方法主要分为多普勒测量方法和窄脉冲测量方法，其中依据导弹与靶标交会过程中相对径向速度随时间变化规律的多普勒频率脱靶量测量方法在国内外靶场中得到较多应用[1-4]，因此，对基于此方法的脱靶量测量的参数测量性能作分析具有重要意义.
在运动末段，导弹与靶标之间的相对运动通常可认为是匀速运动，回波信号多普勒频率随时间变化的规律由二者的相对速度、脱靶距离、脱靶时刻等脱靶量参数决定. 文献[5-6]中给出了利用3个连续等间隔多普勒频率值进行匀速运动目标运动参数求解的闭式解及解唯一性证明，但是没有对非等间隔情况以及多普勒频率存在误差时的参数解性能进行分析. 文献[7-8]中充分利用了匀速运动目标的连续运动特性，应用积分多普勒及非线性最小二乘方法对时序多普勒频率提取值进行联合求解得到较高精度的脱靶量参数估计值，但是没有深入分析频率提取间隔、提取点数等因素对脱靶量参数估计精度的影响. 同时，不同运动参数下参数所能达到的估计精度亦不相同. 因此，有必要对多普勒频率脱靶量测量方法的参数估计性能做进一步分析.
本文在导弹与靶标作相对匀速运动假设下，建立了关于导弹脱靶量参数的多普勒频率时间函数. 在此基础上，从理论上证明了多普勒脱靶量测量方法参数估计的全局可观测性，导出当多普勒频率测量误差存在并满足零均值高斯分布时估计参数的克劳美罗界(Cramér-Rao lower bound，CRLB)，并通过估计参数CRLB的推导及数值计算对脱靶量参数的估计性能进行分析.
1 全局可观测性分析
本文从参数解的唯一性角度对脱靶量参数估计的可观测性进行分析，即利用给定的多普勒频率可以唯一得到对应的脱靶量参数. 脱靶量测量中，导弹运动状态在过靶后的状态多样，因此对多普勒频率的正频率曲线区域进行分析具有现实意义. 设测量天线安装于靶标上，导弹相对靶标作速度为v的匀速运动. 记导弹运动轨迹上与靶标相距最近点为脱靶点，该点与靶标的距离为脱靶距离r，导弹初始测量位置与脱靶点的距离为初始切向距离L，脱靶点对应时刻为脱靶时刻tpca并满足L=vtpca. 雷达发射载波波长为λ的信号，则导弹反射回波所产生的多普勒频率可以表示为
(1)
从式(1)看出，当r=0时，fd(t)值恒为v，无法得到脱靶时刻值. 但是，此时可以利用多普勒从正到负的变化时刻进行判断求解. 实际测量中，r一般满足大于0的条件，下面主要对r>0的情况进行分析，以初始切向距离L对应时刻为参考零时刻t=0，设多普勒频率为正的时间区域内任意3个时刻ti，tj，tk，ti
(2)
联解3个频率值对应的式(1)得到如下结果
AiAj(TjTk-TiTk)+AjAk(TiTk-TiTj)+
(3)
式中:T*=(tpca-t*)2;A*=(λfd，*)2/4，*=i，j，k.
式(3)实际上是一个关于变量tpca的一元三次方程，其4次项系数相互抵消，利用相应的数值计算工具可以很容易得到此方程的解. 根据一元三次方程解的结论可知，式(3)存在3个解，其中只有一个为对应的真值，另外两个解为增根. 令方程等号左边为关于脱靶时刻tpca的函数F(tpca)，得到
(4)
分别将ti，tj，tk带入函数式，并注意到约束条件ti
(5)
由函数F(tpca)的连续性性质可以得到，函数F(tpca)在区间(ti，tj)与(tj，tk)内必然分别存在一个零点，这两个零点对应时刻值都比tk小，由此可以从方程的3个解中筛选出真值tpca. 将tpca的解带入fd，i，fd，j，对应的式(1)(2)及L=vtpca中并化解，得到脱靶量参数解
(6)
综上分析得到，r>0时，多普勒频率为正区间内无误差的任意3个不同时刻多普勒频率值可以得到参数(r，v，L)的唯一解，此即匀速运动目标时序多普勒频率脱靶量参数估计方法全局可观测的充要条件. 可以看出，文献[6]对应证明结果只是本文证明中的等间隔取值的特例.
2 参数估计误差的CRLB及仿真
2.1 参数估计CRLB
多普勒脱靶量测量技术中，多普勒频率的测量是其中的关键环节，基于FFT、分数阶傅里叶变换等数字谱分析方法及现代高分辨率的谱分析方法已广泛地应用于多普勒频率提取[3，9-10]. 本文分析了参数解的唯一性条件，但是当多普勒频率提取值存在误差时，仅利用3个提取值求解得到的脱靶量参数可能存在较大误差，而利用多个提取值进行优化估计则可以提高参数的估计精度. 当多普勒频率提取误差服从零均值高斯分布时，非线性最小二乘估计得到的脱靶量参数为无偏估计量，本文给出无偏估计下的参数估计CRLB并作为该方法的参数估计精度理论依据.
将tpca=L/v带入式(1)中并离散化处理，得到关于参数θ=[r v L]T的方程为
(7)
(8)
(9)
参数θ的CRLB可以通过矩阵I(θ)求逆得出，即
(10)
其中I(θ)是3×3的Fisher信息矩阵，
(11)
矩阵I(θ)经化简为
(12)
(13)
将矩阵I(θ)带入式化简，并令为
(14)
得到脱靶量参数的CRLB
(15)
2.2 参数CRLB仿真验证
3 参数估计性能分析
3.1 数据提取参数的影响
频率间隔Ts、提取点数N、提取段长度dL为数据提取参数，三者具有一定的相互依存关系. 假定λ为0.1 m，σd为100 Hz. 针对靶场环境对脱靶量参数作典型设定：r为20 m，v为600 m/s. 图2给出了不同数据提取参数下的脱靶量参数CRLB结果. 其中，图2(a)中Ts为3 ms，数据提取截止到脱靶点处，N不断增大；2(b)，2(c)中，dL为100 m，L依次为200，102 m，N不断增大；2(d)中Ts为3 ms，dL为100 m. 图2结果表明：固定导弹速度、脱靶距离时，频率提取间隔越小，提取点数越多，提取段长度越长且包含脱靶点附近段越多，则参数估计误差下限越小，估计可达精度越高. 当频率提取段尽可能地包含了脱靶点附近区域且足够长后，参数估计误差下限随数据段长度的继续增大降低速度变缓.
3.2 待估参数的影响
考虑匀速运动模型以及系统最大测量距离等因素，设频率提取初始点与系统中心位置距离R为300 m；考虑脱靶点附近，信号杂波、噪声等影响，数据提取点截止到多普勒频率小于1 kHz对应位置. 设λ为0.1 m，Ts为2 ms，σd为100 Hz. 图3给出参数r、v变化时的对应的估计误差. 对图3计算结果的显示及分析如下.
①σr下限随r的增大先减小后增大，当r增大到100后，迅速增大. 这主要因为：r较小时，多普勒频率具有明显变化的数据段较短且变化较快，由于频率提取作了截断处理，加之频率间隔固定，导致提取数据不能有效反映该段的曲线特性，从而使σr下限增大；随着r增大，以上两个因素影响快速削弱，σr下限快速减小；r继续增大，其估计误差随自身增大而较明显增大；当r增大到一定程度后，由于对R作了约束，此时多普勒频率函数在超出R距离段具有较多的有效信息却没有被采样，导致参数估计误差下限迅速增大.
②σr下限随v的增大变化较缓慢.
③σv下限随r的增大先缓慢增大，当r增大到一定程度后，迅速增大. 这主要因为r增大到一定程度后，对R的固定约束导致L迅速变小，频率点数迅速减少，参数估计性能下降.
④σv下限随v的增大而增大.
3.3 数据截断的影响
CRLB数值计算结果显示，数据提取始末位置的截断对参数r的估计误差可能造成较大影响，而系统实现时对数据的截断不可避免. 设λ为0.1 m，σd为100 Hz，Ts为2 ms，v为600 m/s，给定脱靶距离r的几种典型值. 图4给出参数r随比值L/r变化时的CRLB，数据点截止到脱靶点处. 计算结果表明：参数r的误差下限随此比值的增大而减小，当L为3倍r左右时，参数r的误差下限达到自身的0.03倍左右，此后误差下限下降趋势变缓并趋于稳定.
根据图4分析结果，取初始切向距离为4倍脱靶距离大小，图5给出r随末端截断距离与脱靶距离比值Le/r变化的CRLB，Le为数据截止点到脱靶点的距离. 计算结果表明：参数r误差下限随该比值增大而增大，当Le与r相当时，误差下限在r为10,150 m条件下分别达到了1,4 m左右. 此后误差下限增大趋势随此比值的增大迅速变快，参数估计精度严重变差.
4 结束语
本文从理论上证明了利用多普勒频率进行脱靶量测量的全局可观测性，得出多普勒频率为正的时间区间内无误差的任意3个不同时刻取值与脱靶量参数为唯一对应关系，推导了多普勒频率存在测量误差时脱靶量参数的CRLB并利用数值计算方法分析了频率提取间隔、提取点数、导弹持续轨迹长度等因素对参数估计CRLB的影响. 为利用此方法的脱靶量测量技术提供了理论参考.
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(责任编辑：刘芳)
Performance Analyses of the Approach for Estimating the Miss Distance Parameters
FENG Ding-wei， WU Si-liang， WEI Guo-hua
(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)
In this paper, the observability and performance of the approach for estimating the miss distance parameters of a target by sequential Doppler frequency were studied. Under the assumption that the missile’s trajectory near its target was relatively in uniform rectilinear motion, the global observability of the approach was proved. Then when estimation errors of Doppler frequency exist to meet zero-mean independent Gaussian distribution, the performance analysis was carried out using both the symbolic and numeric Cramér-Rao lower bound (CRLB), the correctness of which then was proved to be correct. Finally, the estimation performance of different missile miss distance in certain system parameters conditions was given through numeric CRLB. This provides theory
for the miss distance measurement of this method.
sequential Doppler frequency; miss-distance; observability; estimation performance; Cramer-Rao lower bound
2013-07-04
冯定伟(1982—)，男，博士生，E-mail：fengdingwei@bit.edu.cn.
TN 957.524
A
1001-0645(2016)01-0094-06
10.15918/j.tbit1001-0645.2016.01.017
