中考数学探索型问题的特征分析

孙臻

（甘肃省平凉市静宁县三合中学，甘肃 平凉 743419）

中考数学探索型问题的特征分析

孙臻

（甘肃省平凉市静宁县三合中学，甘肃 平凉 743419）

众所周知，探索型问题是近年来中考数学试题中的热点问题，因为此类问题有利于培养学生的发散思维，有利于学生主体意识及主体能力的形成和发展，有利于培养学生形成独立的思维品质，所以我们老师在中考复习时，应从探索此类问题的基本题型入手，向学生阐明解决这类问题的基本思路。

一、探索型问题分类及解决方法

（一）常见类型

①结论探索型问题：一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。②开放探索型问题：开放探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。③规律探索型问题：在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目。

（二）解决方法

①直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。②假设求解法：假设某一命题成立，根据假设进行推理，看是否通过推导得出相反的结论。③寻求模型法

二、例题精讲与特征分析

（一）规律探索型例析

例1.(2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是_________

【探析】观察知:下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.

【答案】-2012

【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.

例2.(2012珠海，20，9分)观察下列等式：

12×231=132×21，13×341=143×31，

23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，……

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52×=×25;②×396=693×.

(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a≤9，写出表示 “数字对称等式”一般规律的式子(含a、b)，并证明.

【探析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.

【答案】(1)①275,572;②63,36;

(2)(10a+b)=(10b+a)

证明:∵左边=(10a+b)=11(10a+b)(10b+a)；右边=(10b+a)=11 (10a+b)(10b+a)；∴左边=右边,原等式成立.

【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.

(二)存在探索型例析

例3.（2012湖北省恩施市，题号24分值12）已知抛物线y=-+ bx+c与一直线相交于A（-1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N。其顶点为D。

（1）求抛物线及直线A、C的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值

【探析】（1）直接将A、C两点的坐标代入y=-+bx+c和y=kx+b即可。

（2）本题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接DN1，求直线DN1和x=3的交点可得m的值；

（3）BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC（或CA）延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加（或减）BD长度，设点E（x,y），则点F坐标（x,y+3）,代入抛物线表达式可求解；

（4）作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H，则点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据△PAC面积等于PH×AQ（AQ为定值）可讨论其最值。

【点评】本题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据已知条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否则不存在，探索过程就是理由.本题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。

（三）结论探索型例析

例4.（2011黑龙江龙东五市3分）在锐角△ABC中，∠BAC= 60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP= MP ②当∠ABC=60°时，MN∥BC ③BN=2AN④AN∶AB= AM∶AC，一定正确的有()

A、1个B、2个C、3个D、4个

【答案】C。

【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与和性质，平行的判定，锐角三角函数的定义。

【分析】①由BN、CM为高，P为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP=MP。故①正确。

②由BN、CM为高与∠A是公共角，易证△AMN∽△ABC，然后由∠BAC=60°与∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，则得∠AMN=∠ABC=60°，即可得MN∥BC。故②正确。

③若BN=2AN，需∠ABN=30°=∠ABC，这个条件已知没有，故③错误。

④由②△AMN∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例的性质，即可证得AN：AB=AM：AC。故④正确。

综上所述，一定正确的有3个：①②④。故选C。

由上可知，探索型问题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求师生在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.

孙臻（1972-），男，甘肃省平凉市静宁县三合中学一级教师，研究方向：数学教法和学法。