巧用“像—线”转化策略求解透镜光路难题

蔡培阳

转化是物理解题常用的思维策略之一，“像-线”转化策略是指在求解几何光学问题时将“成像法”求解转化为“光线法”求解或将“光线法”求解转化“成像法”求解的思维策略.所谓“成像法”指利用像的性质（像的位置、大小等）来确定光线并进行解题的方法；所谓“光线法”指利用光线性质（反射、折射等规律）来确定成像并进行解题的方法，“成像法”和“光线法”是求解几何光学问题的两种基本方法.事实上“成像法”求解要用到光线知识，“光线法”求解也要用到成像知识，因为像是光线作用的结果，光线是成像的过程，两者密不可分.之所以将解法分为这两类，一是便于学生理解和掌握，二是便于教师的教学，因此我们在解题教学时重点不应放在解法的分类上，而要放在解决这类问题的思维过程上.

本文重点探讨“像-线”转化策略在求解透镜光路问题中的应用技巧与思维过程.为了对“成像法”和“光线法”解题的思维过程及“像-线”转化策略在求解透镜光路问题上有一较好的理解，先请看下面2个例题：

例1如图1所示，MN是凸透镜的主轴，F是焦点，一条光线斜射到凸透镜上，试作出相应的出射光线.

分析和解该题是典型的光线问题，首先想到用“光线法”求解.即先作出和入射光线平行的副光轴，再过右侧焦点作焦平面，则出射光线必经过副光轴和焦平面的交点，如图2所示.但目前大多中学物理教材并不涉及副光轴和焦平面知识，显然这样求解对现在的中学生有问题，若采用“成像法”求解，问题就能迎刃而解.“成像法”求解思维如下：先在入射光线上任取一点S作为点光源，再利用凸透镜成像的特殊光线确定S的像S′，这样出射光线就很容易画出，因为出射光线的反向延长线必经过S′，如图3所示.

例2如图4所示，已知物体AB和它通过凸透镜后所成的实像A′B′，试通过作图求出透镜的位置.

分析和解该题是典型的成像问题，首先容易想到“成像法”求解.因为物和像均已知，这时连接AA′、BB′得交点O就是凸透镜的光心，但会发现仅从物和像的关系将无法确定透镜所在的平面.若此时再巧妙运用“光线法”，则能较顺利地将问题解决.“光线法”求解思维如下：将物BA看成一条光线，则经凸透镜后的出射光线一定经过B′A′，所以直线AB延长线和直线A′B′延长线的交点必在透镜上，这一交点和光心O的连线即为透镜所在平面，如图5所示.

从以上两个例题可以较清晰地看出“成像法”和“光线法”求解的思维过程及“像-线”转化策略的关键所在.事实上一些复杂的透镜光路问题经常需要两种方法的相互转化和相互补充，因此灵活运用“光线法”和“成像法”，掌握“像-线”转化策略是快捷解决难、新、奇透镜光路问题或其它光路问题的重要法宝之一.下面再通过一些典型事例来加深对“像-线”转化策略运用的理解.

例3如图6，L表示薄透镜，O0′表示主轴，透镜焦点没有画出，也不知是凸透镜还是凹透镜，试确定哪些图的光路正确.

分析和解该题首先容易想到“光线法”求解.从A图看出，单箭头光线是发散的，而双箭头光线却是会聚的，由透镜对光线的会聚发散性质可知A图错了.但对B、C、D各图仅用光线的会聚发散性质则将无法判断，因为图中两条光线要么都发散要么都会聚.若一定要用“光线法”继续判断，则必须利用副光轴和焦平面知识，思维如下：先假设一条光线是正确的，作出焦平面，再利用这一焦平面作出另一条光线的出射光线，看和原来的出射光线是否重合，显然这种方法很繁.若转化为“成像法”求解则较容易：以B图为例，先将两条入射光线的交点当成物点S，则两条出射光线的反向延长线的交点即为像点S′，过S、S′点作直线看其是否通过光心，即可确定光路是否正确，因为通过光心的光线是不改变方向的.用这种方法可依次判断C图和D图，如图7所示，可见本题只有B图正确.

例4如图8所示，物点a、b、c位于凸透镜的一侧，且它们处在同一直线上，则关于它们的像点a′、b′、c′是否处于同一直线，下面哪种说法是正确的？

A.只有a、b、c三点均在焦点内，它们的像a′、b′、c′才会处于同一直线

B.只有a、b、c三点均在焦点外，它们的像a′、b′、c′才会处于同一直线

C.只有a、b、c三点均在两倍焦距外，它们的像a′、b′、c′才会处于同一直线

D.无论a、b、c三点在什么位置，它们的像a′、b′、c′总会处于同一直线

分析和解该题求解，首先会想到“成像法”，即利用凸透镜成像的特殊光线，作出像a′、b′、c′的位置，但利用这一方法却无法判断像点a′、b′、c′是否处于同一直线.若将该成像问题转化为光线问题，则较容易求解.因为a、b、c三点处于同一直线，所以可将这一直线看成一条光线，由凸透镜的会聚性可大致作出这条光线经凸透镜后的出射光线（若透镜不够大，可将透镜放大，因为像的位置、虚实等和透镜大小无关），则由成像规律可知，直线abc上任一点的像必在刚才那条出射光线上，所以答案D正确.若这时要想确定直线abc上各点的像，只需再从这一点作过光心O的直线，则这条直线和刚才那条出射光线的交点即为这一点的像，如图9所示，可见像可虚可实、可近可远.

从以上例题可进一步看出，要想准确、快捷地求解透镜光路难题，不仅要熟悉“光线法”和“成像法”，更重要的是要真正领会“像-线”转化策略，巧妙地运用这一转化策略，只有这样才能在透镜光路或其它光路问题解题时游刃有余，而且这一转化策略对开拓学生思维、提高应变能力也十分有益，很值得在教学中推广.