初中数学课堂中教师对学生错误反馈的类型研究——基于24节录像课的分析

李 娜，莫雅慈，吴立宝



初中数学课堂中教师对学生错误反馈的类型研究
——基于24节录像课的分析

李 娜1，莫雅慈1，吴立宝2

（1．香港大学教育学院，香港；2．天津师范大学教师教育学院，天津 300387）

数学课堂中，教师对学生错误的处理方式不同会引起不同的学习效果．若处理得当，学生的错误可以作为课堂讨论的契机，促进教学；还能用来评价学生对数学的理解程度．通过4个不同城市24节初中数学录像课，探究数学教师在处理学生错误时的行为，以期帮助教师更好地处理学生的错误．根据教师对学生错误反馈的性质，分为陈述型反馈和质疑型反馈．通过研究发现，教师更倾向于选择用陈述型的语气来处理学生的错误，同时有意识地提供机会让学生自己纠正错误．教师应该为学生创造更多表达自己想法的机会，从学生表达中发现学生数学认知方面的问题，同时尽可能提供机会让学生自己纠正错误，引起认知上的冲突，进而学生获得更高层次的数学理解．

教师反馈；数学课堂交流；学生错误

1 研究背景

随着课程改革的深入进行，作为教学中重要一环的教师提问，给予了相当程度的重视[1]，对课堂提问的研究较为普遍．最新的研究体现在课堂提问的有效性方面[2]，以及基于课堂录像研究的课堂提问[3]．基于对数学课堂提问的录像研究，Smith和Higgins认为关注点不应该只集中在教师的提问方面，还应该加强对教师反馈的研究，以创设更为开放自由的课堂交流环境，因为既不是问题本身也不是问题的类型限制了学生的反馈，而是教师对学生回答的反馈影响课堂互动的进行[4]．

提问之后，教师需要做出相应的反馈．教师在数学课堂上对学生的反馈是一种重要的教学行为，研究已经发现这一行为对学生的学习有重要影响[5]，尤其是当学生出现错误的时候．

课堂上对学生错误的讨论或许能够引导学生取得更大的进步[6]，Kazemi曾分析施行“高推动（high-press）”讨论和“低推动（low-press）”讨论的数学课堂，“高推动（high-press）”教师引导学生对错误的讨论并创造一种让学生感受到尊敬与安全的环境，更能引导学生取得成功．不但如此，数学教育研究者已经认识到学生的错误或是猜测能引起学生的讨论，还能评价学生对数学的理解程度．

近几年开始出现基于课堂录像的有关教师对学生错误反馈的国际比较研究，Schleppenbach等人（2007）基于中美小学课堂的录像研究发现[7]，无论中国还是美国的数学课堂，要想探究学生的错误，教师必须营造一个使学生不怕犯错误的课堂环境，并认为犯错误和讨论错误很平常．其次教师不仅要推动学生去思考错误，而且通过提问学生解释错误的方式来纠正错误．最终，希望教师和学生都不再害怕犯错误，并且能将错误看成是一个学习的机会．

想营造这种课堂环境，要注意以下4个方面[8]：（1）教师对错误的容忍程度与教师是否乐意了解并探讨学生的错误有关；（2）对无关错误的评估，是指考虑学生的错误能作为学习的机会而不是作为考虑学生表现的负面指标；这种情况下，错误不能被惩罚，而是作为一个学习机会让这个学生或是全班学生共同学习；（3）教师支持学生错误包括教师的耐心支持和支持学生自己修正错误；（4）若课堂上没有教师的负面反馈，无论是口头的还是非口头的，这都暗示教师对学生错误既没有不耐烦也没有嘲笑．

2 研究设计

2.1 研究目的

基于以上得知，学生在课堂上所出现的错误不能被简单粗暴地对待．教师若仔细考虑学生的错误，很多时候可以将学生的错误转换为学习的契机，关键是教师如何处理学生的错误．因此，了解教师在课堂上对学生错误的处理方式尤为重要．Schleppenbach等人的研究针对小学数学课堂，为了更好地了解教师对学生错误的反馈，研究针对初中数学课堂：（1）开发一套可以用来分析教师处理学生错误的类型的编码；（2）数学教师在课堂上处理学生错误的主要方式有哪些，这些方式各自出现的频率；（3）不同授课类型与教师反馈种类的关系．希望通过这些研究结果来探讨初中数学课堂的活跃氛围与教师提问，学生回应和教师反馈的关系．

2.2 研究方法

2.2.1 样本收集

基于所要研究的问题，对中国初中数学教师处理学生在课堂上所犯的错误有个初步的概观．研究中所用的24节录像课拍摄于4个经济及教育较为发达的城市，分别来自东北地区，西南地区，北部地区和南部地区．为了便于表示的简便，这4个城市分别命名为：NE、SW、NR和SU．每个城市有6节录像课分别来自重点、普通及较差的学校，每一层级有两节录像课．因为研究中的所有录像都来源于所参与的一个研究项目，项目中于2011年所收集的录像约有120节，所以24节录像课是有目的性选择于这120节录像课中．每个地区6节，每种类型的学校两节，并且24节课中代数课有12节，几何课12节．这种选择方式考虑到地区差异，学校差异和内容差异对教师教学行为的影响，尽可能地保证教师对学生错误反馈的编码的有效性．

2.2.2 录像研究

若想要观察课堂上实时发生的状况，录像研究有无可替代的优势．具体体现在，录像可以记录动态的过程，可以回放进而观察教师某些特定的教学行为等．曹一鸣在课堂录像研究方面有比较多的成果[9~10]：“（1）首先确定观察录像所用的编码；（2）借助某一软件（如，Studiocode）在既定编码的情况下进行录像观察，并统计相关数据；（3）结合统计数据与课堂录像给出定量和定性的分析．”借助计算机软件，可以更为精确地标记处某一编码片段，统计出精确的

时间．

3 编码及解释

3.1 编码选取及修订

从国外研究文献可以看出，学生的错误能用来探究学生学习方面的认知程度，而且近来有基于课堂录像来研究教师对学生错误的反馈，所以这里重点研究初中数学课堂中教师对学生错误的处理方式．关于教师处理学生错误的编码，基于Schleppenbach等人对中美课堂中小学教师对错误的反馈的研究，他们提出了一套适合中美小学数学课堂中教师处理学生错误的编码（见表1）．这套编码虽然是用于处理中美小学数学课堂中教师对学生的反馈，当经过多节课的预观察之后，以及仔细观察完24节课中的教师反馈类型之后，发现这套编码仍然需要做些改动：首先，对学生错误回答的反馈类型的分类有些不妥，如“学生很快自动更正答案”应该不能称之为“教师直接陈述型”，因为并不是教师在陈述，而是学生在陈述，但是教师是认可的．其次，有些反馈类型在初中课堂上几乎不会出现，例如，初中的学生很少会出现读不懂题目的情况，而对于小学生来说，尤其是低年级的小学生，因为认识的汉字有限，有些时候需要教师对问题进行进一步的解释或阐述．

表1 对学生错误的反馈方式

基于此，对此编码所做的改动主要体现在以下几个方面：在第一种反馈类型之下，多数情况之下，当听到学生的答案错误之后，教师忽略错误答案的同时会选择让其他同学或是自己给出正确的答案；在第二种类型的反馈之下，教师将问题换一种问法，其实是教师进一步澄清问题的一种方式．再结合其他因素的考虑，如反馈类型的区分程度以及可操作性等，故将编码修正（见表2）．

表2 编码修正

为保证编码的有效性，在对此次录像进行编码之前，第一位作者曾作为某一项目的参与人员接受过编码以及软件使用的培训．此次利用NVivo 8.0，首先标记出各个预备编码的片段，再次进行查看和校验的时候，可以直接查看这些片段即可．同时，其他人还可以进行编码，然后比对，进而商讨编码的有效性．

3.2 编码解释示例

编码总数有9个，选取其中4个提供示例来解释编码，其中括号中的文字用来解释教师或学生的非语言行为；括号中的斜体字是说明教师和学生的行为以及对教师反馈行为的分析．

3.2.1 问与答案有关的问题

图1 例题

解释：当同学们回答不出来或是回答不正确的时候，教师或许会问与答案有关的问题来帮助学生找到解决问题的思路．

重庆教师4课堂上的一个教学

片断：

例1 已知：如图1，=，∠1=∠2，△和△全等吗？

变式1：现在例1的已知条件不改变，而问题改变成：问=，平分∠吗？

问题背景：教师先让一个同学到黑板上做例1，该同学做得非常好，教师就以这位同学的解法来向全班同学讲解，然后变式1的问题才显示在PPT上．

课堂实录

师：现在看变式1，例1中的条件不变，将问题改为=，平分∠吗？你能证明吗？

很多同学：能．

师（）：你能证明吗？思考一下．

生1：呃，……

师（）：能证明吗？

很多同学：能．

师：好，能证明的同学站起来说一下怎么证．（）

师（继续问）：其他同学呢？积极点啊！（）

生2：已知条件告诉我们，在△中，=，∠1=∠2，然后=，又等于……

下面同学（）：重了．

师：那你说说大致需要做多少，不需要说这么具体，那你觉得我们要证明=，是∠的平分线的话，需不需要证明全等？（）

小部分同学：需要．

师（）：需不需要？

大部分同学（）：需要．

师：需要，对不对，那想想怎么修改一下，补充一下，你（）上黑板试着写一下，通过证明全等，来解决我们的问题．

（）

3.2.2 通过提问来确认答案

解释：教师有时候明明知道学生的答案错误或是不正确，但是教师一般不采取直接告诉学生答案的方式，而是通过再问一次“是这样吗？”，“其他同学的答案也是这样吗？”等疑问，来确认答案．

北京教师5课堂上的一个教学片断：

问题背景：教师在讲解完同底数幂的除法运算法则之后，先练习了两个较为简答的例题，又给出了一个稍显复杂的例题．

课堂实录

师（）：这是不是咱们要研究的同底数幂的除法？

生（）：是．

师：符合这个（）吗？

生（）：符合．

师：既然符合，那么同底数的底是什么啊？

生（）：括号．

）

师：都是这么做的吗？（）

生（）：是．

生（）：还能再化简．

接下来是去括号的过程．

3.2.3 要求其他学生给出解释或补充

解释：教师若觉得学生的答案不满意，或许会选择让其他同学来解释或补充．

沈阳教师2的课堂上的一个教学片断：

背景：教师让学生做书上的一道关于用直角三角形全等的题目，因为教师没有PPT，也没有在黑板上书写这道题，所以具体的题目内容不得而知．教师指定一位女同学到黑板上去做这道题．

（）

课堂实录

师：对这个同学的做法，谁还有什么不同意见？

（）

师：有谁还发现这道题有什么不恰当的地方了吗？

（）

生：这道题用到直角三角形全等条件时都没在后面写上HL．

（这是第二位同学的补充）

师：对，说得很好，这个同学太过分了（），刚开始学，就不写根据．

3.2.4 忽略或者分析错误答案同时提供正确解释

解释：教师直接忽略错误答案，给出自己认为完美的答案．

沈阳教师2的课堂上的一个教学片断：

背景：教师布置了一道题，让同学们分组讨论，几分钟过后，教师让其中的一个小组指派一名代表，站起来说说证明过程．

生：（）

师（）：坐下．这道题应该怎么样来处理呢？（）

以上是对编码的课堂实录的解释，希望能通过这些解释来更好地说明编码的合理性，同时也说明这套编码可以用于分析对初中数学课堂中教师对学生错误的处理方式．

4 教师对学生错误的处理方式的统计结果

编码结束之后，选择对教师的反馈次数进行统计．因为在进行编码处理的时候，已经发现教师在处理初中学生的回答错误或是不完全正确的答案时采取的策略有倾向性，所以希望通过次数的统计发现教师倾向于选择何种策略来处理学生的错误或是不完善的答案．

4.1 对学生错误反馈的种类

先看第一类：陈述型的错误反馈类型的数据统计结果（见表3）．从下面的统计中得知，24位教师的反馈错误总次数为92次，而在这个表中看出：（1）陈述型的反馈错误总数为52次，约占57.6%；（2）直接告诉学生答案错误或是忽视错误答案的情况依然存在，将近10%；（3）教师提供解释或提示与学生很快自动更正错误的百分比接近．

从表4中看出：（1）质疑型的反馈次数为39次，约占42.4%，相比陈述型的反馈错误类型，少了15.2%；（2）通过提问来确认答案的次数最多，其次是要求其他学生对此错误或是不正确的答案给予解释；（3）仅仅有一次是教师对问题进行进一步的澄清．

表3 陈述型反馈（次数）

表4 质疑型反馈（次数）

4.2 反馈次数与教师数量

为了较为方便地观察教师的反馈频数，对教师的反馈次数的数据进行了整理（如图2）．从图中可以看出，反馈次数从1次到7次，多数集中在3，4，5次，更为具精确一些来讲，教师的平均反馈错误次数约3.9次．

图2 反馈次数与教师数量

4.3 反馈种类与课程类型

研究者[8]数学课的类型，尤其是几何和代数课是否会影响到教师对课堂错误的管理和教师的回应类型存在争议．总体来看，代数课堂中出现的错误数45次，几何课堂出现的错误数47次．从总次数来看，差异不大．但是在具体到教师的反馈类型时，有些差异还是较大．代数课中教师倾向于用陈述型的反馈，尤其是第二种陈述型的反馈（见表5）．几何课中，教师更倾向于用质疑性的反馈，尤其是通过提问来确认答案，代数课中仅仅出现3次，几何课中却有13次（见表6）．

表5 陈述型反馈（几何与代数）

表6 质疑型反馈（几何与代数）

5 结论与启示

学生在课堂上出现的错误，可以用来评价学生的学习成果，也可以用来诊断学生的学习情况，目的的不同主要是由教师的反馈来决定．教师不同种类的反馈会给学生的学习带来不同的影响．基于24节录像课分析，分析教师反馈方式的框架首先完成，为后续研究者提供可供借鉴的分析工具；依据此框架，不同方式的频率可以被统计，由此可以为教师的反馈方式提出相应的建议；考虑到几何与代数的教学差异，教师的反馈方式也出现差异，藉此提醒教师在讲授不同内容时要注意．

5.1 反馈类型有差异

总体来讲，陈述型反馈多于质疑型反馈，且教师倾向自己提供正确的解释．24位教师的反馈错误总次数为92次，其中陈述型的反馈错误总数为52次，约占57.6%．教师在处理学生所犯的错误时，教师更倾向于选择用陈述型的语气来处理学生的错误．选择这样的语气，更容易让学生接受和理解，便于师生之间的对话有效进行．在这种情形下，教师又往往很少会忽视不理或是任意打断学生的错误，更多地倾向于对学生的错误进行校正，帮助学生自己认识到错误，帮助学生克服认知上的矛盾，从而习得新知识．但是教师在其中扮演的主导者的角色还是特别明显，虽然教师不太会直接忽略错误答案，但是大部分是教师解释错误答案并同时提供正确的解释．课堂的权威性还是在教师．当教师选择用质疑型的语气时，倾向于通过提问来确认答案的正确性，或是让其他同学来解释为什么错了．这样做有利于培养学生分析问题，判断问题的能力，从而善于成为学习的主人，而不是被动地接受教师的传授．这同时也给予了其他同学参与课堂交流的机会，对于同伴的想法，学生可能会敢于表达自己的想法，提出质疑或给出论证．

这样的氛围下，学生恐怕还是倾向于选择服从教师的话语，而不是充分地表达自己的想法．教师在教学中要更以平和亲切的态度去对待学生的错误，让学生不但不害怕犯错还要学会正视自己的错误．后续研究中，可以尝试比较这两种类型所带给学生的学习影响．

5.2 反馈次数的比较

教师对学生错误的反馈次数集中在3~5次之间，17位教师的反馈频数集中在此区间．更为具体一点来说，教师的平均反馈错误次数约3.9次．这也间接说明课堂上学生出现的错误数也基本维持在3~5次之间．这一点与已有研究的结果相符，研究发现，中国的数学课堂提供一个允许学生犯错误的环境，在分析视频的过程中，确实能听到教师为了鼓励学生回答问题，不停地说“不要害怕”，“大胆地说”，“说错了也不要紧”，即使这样，绝大多数初中的学生在没有十足把握的情况下还是不会选择站起来回答问题，除非被教师点名，这时候才带着些许的不自信来回答问题．虽然课堂中教师有意识创造一种允许学生犯错误的氛围，但是学生还是担心犯错误在老师以及同学面前出丑．

5.3 反馈因内容有差异

代数课中陈述型反馈多于质疑型反馈；几何课中质疑型反馈多于陈述型反馈．代数课堂中，陈述型的反馈出现的频率较高．这应该是与代数的学习有关，很多时候，代数问题可能是简单的一问一答，或是要求学生严格按照代数公式来计算，这样的课堂氛围看着很活跃，教师一个问题接一个问题，出现错误答案，教师直接说不对或是另外找同学回答或是教师自己解释，但是学生在这种师生交流中是否真正实现了思维的碰撞还是最终回到了记公式的套路上．几何课堂中，教师倾向于用质疑性的反馈，出现的频率是代数课的两倍．这应该与几何课中有很多证明性的学习有关．教师倾向于通过提问来确认答案，或是要求学生给出解释，在教师提问确认或是学生解释的过程中，教师在检查学生的证明思维是否清晰，学生在表述的过程中可以进一步梳理自己的证明思路．在这样的问（师）—答（生）—反馈（师）—学回应（生）的过程中，其实是一种思维的交流过程．课堂氛围可能看起来似乎不是那么活跃，但确实能帮助学生在证明、推理方面进行训练．

授课内容的不同也会造成教师反馈方式出现频率的不同，若针对不同的教学内容，教师应要考虑反馈方式的差异．

6 讨论及不足

首先，此编码框架虽然不能涵盖全部的教师对课堂中学生错误的处理种类，但是可以提供一个很清晰的轮廓关于教师对学生在课堂上错误行为的管理．后续研究者可以用次框架放在不同背景中进行验证并改进，比如高中数学课堂；还可以用来比较新手教师与专家型教师的不同．

其次，教师通过提问让学生主动参与到课堂教学中来，但是学生的回答肯定不可能那么完善，即使学生的想法不完善或是错误，也要尝试给出提示以引导学生自己发现知识．教师通过问题帮助学生学习，这也符合新课程政策的影响，教师有意识地鼓励更多的学生参与到课堂对话中[11]，让学生在课堂中能勇敢地进行数学交流．因此，教师要提高问题的质量，减少短平快问题的数目，尽量准备能引起学生思考的问题，尤其是在代数课堂中，不要只准备口头回答，口头演算的问题．

除此之外，学生的错误还可以作为诊断学生学习情况的一个媒介，为教师的教学改善提供帮助．教师可以通过学生的错误来反思自己教学中对于学生的认知是否存在不足，反思怎样才能更好地将知识与学生的认知有效结合起来．实际中，研究发现[10]，其实中国的课堂是一个允许学生犯错误的环境，在分析视频的过程中，确实能听到教师为了鼓励学生回答问题，不停地说“不要害怕”“大胆地说”“说错了也不要紧”．学生只有不怕犯错误，才能更积极地去思考并回答教师的问题，进而教师再依据学生答案提供合适的帮助．

还有就是教师对学生回答问题的即时反馈也是一种对学生即时的评价，所以这种评价不能只限于答案的对错上，而是着重学生对知识的理解程度．教师应尽可能判断学生的认知程度，根据其认知程度，帮助学生学习．这就要求教师都需要精心组织材料，引导学生观察和思考，对学生提出一定的目标，并对学生的知识掌握情况进行评价[12]．

［参考文献］

[1] 李鹏，傅赢芳．论数学课堂提问的误区与对策[J]．数学教育学报，2013，22（4）：97-100．

[2] 温建红．数学课堂有效提问的内涵及特征[J]．数学教育学报，2011，20（6）：11-14．

[3] 叶立军，胡琴竹，斯海霞．录像分析背景下的代数课堂教学提问研究[J]．数学教育学报，2010，19（3）：32-34．

[4] Smith H, Higgins S. Opening Classroom Interaction: The Importance of Feedback [J]., 2006, 36(4): 485-502.

[5] Zahorik J A. Classroom Feedback Behavior of Teachers [J]., 1968, 62(4): 147-150.

[6] Kazemi E. Discourse That Promotes Conceptual Understanding [J]., 1998, 4(7): 410-414.

[7] Schleppenbach M, Flevares L M, Sims M L M, et al. Teachers’ Responses to Students’ Mistakes in Chinese and U.S. Mathematics Classrooms [J]., 2007, 108(2): 131-147.

[8] Tulis M. Error Management Behavior in Classrooms: Teachers’ Responses to Student Mistakes [J]., 2013, (33): 56-68.

[9] 曹一鸣，李俊扬，大卫·克拉克．数学课堂中启发式教学行为分析——基于两位数学教师的课堂教学录像研究[J]．中国电化教育，2010，（10）：100-102．

[10] 曹一鸣，贺晨．初中数学课堂师生互动行为主体类型研究[J]．数学教育学报，2009，18（5）：38-41．

[11] 李小青，倪玉菁．小学数学课堂的教师教学质量研究[J]．数学教育学报，2013，22（4）：54-57．

[12] 曹一鸣．数学教学中需正确处理的几个关系[J]．中学数学教学参考，2003，（8）：1-3．

[责任编校：周学智]

Types of Mathematics Teaches’ Feedback to Students’ Mistakes in Secondary School

LI Na1, Ida Ah Chee MOK1, WU Li-bao2

(1. Faculty of Education, The University of Hong Kong, Hong Kong, China; 2. Teacher Education College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

This study investigated mathematics teachers’ feedback to students’ mistakes based on analyzing 24 videotaped lessons. Two categories of teacher response are provided and used to analyze teacher’s behavior in dealing with student’s mistakes. One is declarative response which include telling the student the answer directly; ignoring the wrong answer and then giving the correct answer; providing explanation or indication; and students spontaneously correcting themselves. The other is challenge response which includes clarifying the question; asking a question related to the answer; asking certainty or agreement; asking the student provide explanation; and asking other students provide explanation. The result indicated that the teachers intended to adopt declarative feedback to students’ mistakes and provide chance for students to refine their answers.

teacher response; student mistake; mathematics classroom communication

G632.0

A

1004–9894（2016）05–0055–06

2016–04–05

美国National Science Foundation支持的国际比较项目——Cross-National Comparison of School and District Supports for High-Quality Mathematics Instruction in the U.S. and China（DRL-1321828）

李娜（1986—），女，山东日照人，博士生，主要从事数学教育研究．