国内外高层次（数学）思维研究述评

常 磊



国内外高层次（数学）思维研究述评

常 磊

（华东师范大学数学系，上海 200241）

高层次思维是近年来教育研究的热点问题之一，主要集中在概念的界定，具体学科中的高层次思维能力的教学和测评等方面．其概念存在多种具有较高认可度的界定，且存在显著差异；其教学研究涉及教学的诸多方面，且呈现与新技术相结合的趋势；其测评研究正在积极地建设和完善．这些研究为推进中国高层次数学思维的理论研究与实践探索的启示包括：加强高层次数学思维的界定研究；加大实证研究力度，探索高层次数学思维能力教学的有效实施；建立科学的高层次数学思维能力测评体系．

高层次（数学）思维；界定；教学；测评

国外的很多教育研究者认为[1~4]，高层次思维能力（Higher Order Thinking Skill，简称HOTS）是人生成功的一个重要因素．不断变化和充满挑战的世界需要我们的学生，具备超越构建知识的能力，即需要高层次思维能力．近年来，发展和加强学生的高层次思维能力在国际上已经成为了一个主要的教育目标[5]．在数学教育研究领域，为了避免很多国家把能力培养退化为一些低层次的、以记忆为主的模仿活动带来的负面影响，西方研究者提出了高层次数学思维能力的概念[6]，并认为数学教学的目的是培养学生透过学习数学知识发展高层次思维能力[7]．郑毓信也提出：数学思维的现代研究，特别是“高层次数学思维研究”，已为解决许多重大数学教育理论问题提供了重要启示[8]．从高层次思维的界定、高层次（数学）思维能力的教学、高层次（数学）思维能力的测评几个方面入手，梳理国内外学者相关的研究成果，以期为今后国内的高层次数学思维研究提供有益的借鉴，引发更深层次的探索．

1 高层次思维的界定

已有的文献资料中关于高层次思维的界定差异比较大，主要有以下几类．

1.1 以布鲁姆分类学为基础的高层次思维界定

1956年，美国教育心理学家布鲁姆（Benjamin S. Bloom）把认知领域的教育目标由低到高分为识记、领会、应用、分析、综合和评价6个层次[9]．高层次思维的研究起源于布鲁姆和加涅（Robert M. Gagne）等人的学习理论，很多研究者认为认知思维层次符合布鲁姆分类学，将识记、理解、应用视为低层次思维，分析、综合和评价视为高层次思维．2001年，布鲁姆的学生Anderson等人对布鲁姆分类学进行了修订[10]，认知水平按照复杂程度递增原则依次分为记忆、理解、应用、分析、评价、创造．类似的，后3个认知水平“分析、评价、创造”被视为高层次思维．

1991年，顾泠沅领导的青浦实验小组，对布鲁姆分类学等进行重新认定，并在大样本测量数据的基础上构建了数学认知水平分析框架[11]．学生的数学认知水平被分为较低与较高两个范畴，每个范畴分为两个层次，较低认知水平范畴分为计算与概念两个层次，分属操作性和概念性记忆水平；较高认知水平范畴分为领会与分析两个层次，分属说明性理解和探究性理解水平．

1.2 Resnick对高层次思维的界定

布鲁姆等人认为，高层次思维是建立在低层次思维或基本技能之上的，并且二者有着明确的界限区别．然而，一批有影响力的研究者认为思维是整体的、不可明显分层的，他们对依据布鲁姆分类学对思维层次进行简单分层提出了质疑．1987年，美国国家研究委员会所属的数学、科学、和技术教育研究委员会发表了一份研究报告[12]，试图整合所有关于高层次思维的理论，为培养学生的高层次思维能力提出建议．该项研究的主要负责人Resnick认为高层次思维这个术语抵制精确形式的定义，因为它的一些关键特征无法定义得非常准确，但是当高层次思维能力在实践中发生时却能够被识别出来．这项研究最终只把高层次思维描述为具备或者包括以下几个特征（见表1）．

表1 高层次思维具备或者包括的特征

1.3 从心理学或认知科学视角对高层次思维界定

Lewis和Smith从心理学的视角对高层次思维的定义是[13]：高层次思维发生在，当个体需要将新知识和已有知识建立联系，或者改变及拓展这些知识来达到一个复杂的认知目的或者在复杂的情境中发现可能的答案．低层次思维仅仅需要对信息进行常规或机械化的应用，而高层次思维挑战学生的解释、分析和使用信息解决问题方面．以类似的视角，中国台湾的叶玉珠认为[14]，高层次思维涉及个体主动处理一连串的心理过程以达成做判断、决策、解决问题、建构及沟通意义的能力和意愿．在这些心理过程中，个体必须视情境而定，适当地选择、结合和运用其相关的知识与技巧，并随时监控和调节其思维．

美国芝加哥大学的Richland和Simms从认知科学的角度，把高层次思维定义为关系结构映射（relational structure mapping）过程，将学科信息看作系统关系，调整和比较/对比这些系统，以发展更高层次的关系（如相同、不同、或因果关系），然后基于这些高层次关系得出结论、解决问题和推理[15]．

1.4 复杂思维集合论

还有一类观点认为高层次思维是一个由多种复杂思维所构成的思维集合．这个集合可能包括批判性思维（再）创造性思维、直觉思维、发散思维、反思思维、元认知思维等[16~19]．

1.5 高层次数学思维的界定

美国全国数学教师理事会（NCTM）1989年把高层次思维描述为解决非常规问题时需要的思维[20]．非常规问题是指有一个或多个适当的解决方案未被学生提前知晓的问题，当人由于需要解答某个不能通过对学过的知识的常规应用解决的问题，必须要对信息做出诠释、分析或处理时对大脑的挑战性和拓展性使用[21]．

中国的周超以思维品质为视角，在林崇德先生对思维品质研究的基础上，分别从深刻性、灵活性、独造性、批判性与敏捷性界定了数学高层次思维[22]．她认为不同的思维形式之间并没有高低之分，不能根据思维的形式来区分思维层次．

塞浦路斯大学教育学院的两位学者基于整体化思维模型，认为高层次数学思维是一个广义术语，其可操作型定义整合了基本数学知识、批判性思维、创造性思维和各种复杂的思维过程，这种定义利于开展高层次数学思维测试和设计有效的学习环境发展这种思维[23]．

总体来看，目前关于高层次思维存在多种具有较高认可度的界定，这些解释基于不同的理念，因此存在显著差异．依据布鲁姆分类学对高层次思维的界定比较清晰、简单，对于一线教师更加容易接受、理解和执行，在测评中便于出题、施测、评分和报告结果，缺点是对高层次思维的划分有些过于简单、人为设定的特征明显，不够准确和全面，缺少科学扎实的实证研究支撑．Resnick等对于高层次思维的界定理论研究性较强，对高层次思维的特征分析比较全面深刻，是目前被认可度最高的一种界定，但因其缺少可供实际教学和测评的框架，对于一线教师显得实用性不足．美国全国数学教师理事会和Newmann等研究者从问题解决类型的角度来区分学生是否使用了高层次思维，便于一线教师判断和测评，但对高层次思维的内涵并没有给出科学全面的分析．Lewis和Smith等人从心理学视角分析，专业性较强，普通研究者和教师难以理解和操作．思维集合的观点具有特殊性，关注了某些复杂的特殊思维，使一线教师容易开展对特殊思维的专项训练与测评，但缺乏对高层次思维的统领认识和全面把握．发展高层次数学思维的重要性已经得到了广泛认可，但针对高层次数学思维的界定研究视角化特征明显，需要在高层次思维界定研究的基础上更加全面和完善．

2 高层次（数学）思维能力的教学

在过去的几十年里，研究者已经发现，高层次思维能力是可以被教、培养和发展的．在课堂教学中，培养学生的高层次思维能力是重要任务，也是课堂教学的重点问题[24]．高层次（数学）思维的教学研究主要可以分为课程标准与文化，教学模式、原则和策略，教学载体，教学与信息技术的使用几个大的方面．

2.1 课程标准和文化与高层次（数学）思维

从国际上看，作为主要的发达国家，英国和美国都非常强调高层次思维教学在学校课程中的重要性．

美国的2010年版《共同核心州立标准》强调积极发展学生的高层次数学思维，清楚地提供了学生需要学习的具体技能，并要求教师为学生提供参与高层次任务和回答高层次思维问题的机会[25]．有研究者使用韦伯的深度知识分析框架，发现美国2009年版新泽西州的课程标准比较2010年版《共同核心州立标准》，对高层次数学思维的要求更高[26]．

英国威尔士议会政府2011年发布了一份名为《发展高层次数学思维能力》的指导手册，主要用于提高K3至K4阶段（中学）学生在GCSE和 PISA测试中的表现[27]．手册中包括了具有高层次思维特征的学生作业案例，每个案例都是学生对于教学任务的真实反馈，配有确定其对应思维层次特征的评论．

从国内的研究看，李琼等研究发现：与使用原课程的学生相比，使用新课程的小学生在高层次思维能力方面表现出明显优势[28]．张晓斌发现，中国《普通高中数学课程标准﹙实验﹚》对培养思维能力的思维过程做了10个方面的方向性要求，但没有对思维层次做出具体规定，建议制定出量化的具有可操作性的数学思维能力目标[29]．

Yeung和Shirley认为文化因素被认为在确定教学方法方面起到重要的作用[30]．他们对12名中国香港教师进行深度访谈，检测他们对于有效高层次思维教学的观念，并将之与西方教学理论和中国传统的教学价值进行了对比，并揭示了中国的价值观，主要是儒家思想，是如何影响香港教师关于有效高层次思维教学的认识的．

2.2 高层次（数学）思维的教学模式和原则及策略

关于高层次思维能力的教学模式，归纳起来共3类[31]：其一，独立课程模式，强调思维能力的专门、直接教学，将思维能力的教学独立于具体学科课程之外；其二，内容模式，认为某些认知技能是特定存在于具体学科的，如数学或科学，应该在具体的学科背景下进行教授；其三，注入模式，即将思维能力的教学与课程的教学融合在一起，不拘泥于某些特殊的思维策略和技能的教学．

Weiss认为，促进高层次思维能力的发展应该遵循以下标准[32]：（1）学生应该把学习的重心由知识转变成理解；（2）教师应该为学生创造一个能够有效互动的交流环境，鼓励他们验证、质疑、批判以及评估其它因素，通过各种途径参与构建知识，并通过自我探索生成新的知识；（3）学生需要意识到，他们必须成为一名积极的学习者，积极主动学习，对自己的学习担起责任．

Caine等研究者撰写了《12条大脑的学习原则——发展高层次思维和执行能力的教学》[33]，提出了一些有效的教学原则，例如：采用吸引学生学习的策略，建立基本的学习技能；学习过程引入同伴指导；反思问题和列出评价清单；应用现实生活中的例子解释大脑协调学习行为等．

美国佛罗里达州立大学的学习与评价促进中心绘制了一幅描述高层次思维能力发展过程框架图（如图1），并从理论上对于高层次思维能力的发展过程及各个要素之间的关系进行剖析，为高层次思维的教学提供了思路和方法[17]．

图1 高层次思维能力发展过程框架图

美国匹兹堡大学的学习研究与发展中心（LRDC）开展过一项名为QUASAR的中小学数学教育改革项目[34]．项目负责人Stein等人在Resnick的高层次思维特征研究的基础上提出了培养高层次数学思维能力的高水平认知数学任务特征和数学任务设计，在此基础上，他们还研究得出保持高认知要求水平的7条策略．

Budsankom等研究者应用元分析结构方程模型，基于166项实证研究，得出教室环境、学生的心理和智力特征对高层次思维能力有直接影响，家庭特征本身对高层次思维的影响甚微，但可以通过心理特征对高层次思维产生间接影响[35]．

2.3 高层次（数学）思维的教学载体

著名的数学家和数学教育家波利亚提出[37]：教师在课堂上使用非常规问题的教学策略，可以在理解、探究和应用数学概念的过程中为所有学生提供培养高层次思维能力的机会．具有非常规性、情境性、开放性特征的高认知水平数学教学任务有助于发展学生高层次思维能力[38~39]．

戴再平认为：数学开放题的教学有助于培养学生的高层次数学思维[40]．含有开放性问题的数学探究活动，条件开放、方向不明、结论未知，有利于学生高层次思维能力的发展，但由于高层次思维对于不同学生是相对的，任意某个开放性问题不会激发所有学生的高层次数学思维[41]．

基于问题的学习（PBL）模型同样被认为是发展学生高层次思维的有效方式．以色列研究者提出一种方法来组织基于问题的学习，发展学生的高层次思维能力[42]．这种方法通过一个包含两个阶段的基于问题的学习过程，包括了具体步骤和实施过程，具有较强的可操作性．

加拿大研究者针对数学建模活动设计了一种模型诱发行为（Model Eliciting Activity），通过学生在数学建模活动中的描述、解释、判断和表现明确揭示他们的思维过程．研究还讨论了“假使……将会怎么样?”如何拓展学生的数学思维并且通过改变问题的条件，从而改变解决方案，最终支持学生发展高层次数学思维[43]．

美国研究者做了一项关于发展性数学方法课程培养小学生高层次思维的实证研究[44]，设计了实验组和对照组，以数学问题解决、创造性思维为主要测试内容开展了前后测．结果表明，发展性数学方法课程对于培养小学生的问题解决能力、创造性思维能力为主的高层次思维能力是有效的．

澳大利亚研究者与九年级数学教师合作，在不同的语言设置下，分析学生的任务解决案例，结合文献研究，开发了高层次数学思维实践中的语言要求框架[45]．框架中包括了4个分类：概括的语言、比较的语言、比例推理的语言、分析影响的语言．他们描述了4类语言的要求，分析和揭示了学生在参与这些高层次数学思维任务时面临的语言挑战．

关于中国的课堂教学，季素月指出中国数学课堂教学存在不利于培养学生高层次思维的缺点[36]：以片面追求考试成绩为目的，高密度、低认知水平的课堂教师提问和大容量、重复式的习题训练不能甚至限制学生的高层次数学思维发展．

2.4 高层次（数学）思维教学与信息技术的使用

潘巧明认为计算机技术可以使数学教育有足够多的时间在高层次思维水平上进行，但也要防止过分依赖媒体视觉化的效果，影响思维的深度[46]．

Susanti探讨了计算机辅助现实数学教育对学生高层次思维能力的影响，并与纯粹的现实数学教育进行了对比，实验研究结果表明：（1）计算机辅助现实数学教育相比纯粹现实数学教育，学生的高层次思维能力成绩存在差异；（2）计算机辅助现实数学教育相比纯粹现实数学教育，学生的高层次思维能力的提高没有差异[47]．

Collins和Knoetze阐述了使用教育技术作为认知工具的学习环境促进高层次思维能力发展的猜测和原则[48]．这些猜测和原则分为7个相关的集群，它们之间协调作用可以促进发展学生所需的高层次思维能力．

依靠智能网络技术支撑的在线大学教育课程MOOCs是近年来国际教育发展的热点之一，Xu Wang等研究者基于MOOCs学习背景下，探索了参与高层次思维的讨论行为相比仅仅关注课程学习材料对于学习MOOCs课程的影响[49]．

对文献梳理后可以看出，关于高层次思维能力教学的研究，早期主要偏重于理论建构，近年来，国际上出现了很多实证研究和案例研究．研究的学科领域涉及幼儿教育，中小学数学、科学、艺术和大学的工程、经济、医学教育等学科．大多数高层次（数学）思维能力教学研究是基于布鲁姆分类学理论或Resnick的高层次思维特征研究而进行的，少部分偏重于某些特殊的复杂的思维能力的教学研究，譬如批判性思维能力（再）创造性思维能力等．在主要发达国家的引领下，世界上很多国家的中小学课程标准都对高层次思维教学提出了要求，中国的中小学课程标准应对高层次思维作出更具体细致的要求．国外关于高层次（数学）思维的教学模式、原则和策略研究比较详实，国内相关的研究则凸显不足．关于高层次思维教学的载体有多种，基本上都是以高认知水平任务和问题为导向，辅助高认知水平的活动和语言．随着教育技术的飞速发展，与教育技术结合的高层次思维教学研究也逐渐增多．国内以高层次数学思维教学为主题的的研究比较少，相关研究散见于其它主题的研究中，譬如，数学课堂合作学习应促进学生高层次思维参与[50~51]．

3 高层次（数学）思维能力的测评

思维能力的测评始终是国际研究的热点和难点，高层次思维能力由于其复杂性、深刻性、开放性的特点，对其准确测评的难度更大．国际上关于高层次（数学）思维能力的测评的研究主要分为理论研究和实证研究两大类．

3.1 高层次（数学）思维能力测评的理论研究

Brookhart介绍了测评高层次思维的一般原则，认为高层次思维能力的测量要求提供给学生不熟悉的问题或任务，并且学生有足够的先验知识使他们能够应用高层次思维能力回答或解决问题[52]．

Newmann等制定了一个高层次思维的课堂测评量规[53]，如表2所示．该量规用来量化测评课堂教学中高层次思维参与的程度，评价标准比较合理，迈出了科学测评课堂上学生参与高层次思维的重要一步．

表2 高层次思维的课堂测评量规

Kulm等探讨了中小学高层次数学思维测评的理论、研究、实践和规则，阐述了高层次数学思维评价的目标和测试标准[54]．

鲍建生认为考查学生如何从低层次数学思维过渡到高层次数学思维的工作主要有两个途径[55]：一是渗透到具体的数学概念学习上，考察学生的数学思维是如何发展的；二是利用认知单元和认知根源等概念在宏观上讨论数学认知的发展．

范良火提倡[56]，中小学数学外部测试应增加能反映学生高层次数学思维能力的试题，适当延长学生考试的时间，适当使用计算器等．对于内部测评，可以采用多元测评方法测评学生高层次数学思维能力．这项研究对中国地区性的中考具有借鉴意义．

还有国内研究者对当前的国内某些课堂评价策略提出了批评，认为它们不能测评高层次思维[57]．传统数学测评侧重低层次思维，而不是高层次思维，强调对题目的即时反应而不是创造思维和表达[58]．

3.2 高层次（数学）思维能力测评的案例或实证研究

Thompson在一项案例研究中发现[59]：（1）学生对于解答测试题的算法或方法以及问题情境的熟悉与否对于判定试题属于高层次思维还是低层次思维很重要；（2）在设计测试题时，使用一个具有有限分类的数学学科的评价框架很重要；（3）包含现实情境测试题不是必然需要学生运用高层次思维．Thompson的研究可以为课堂测评或者大规模测评中关于高层次思维测试题的编写提供参考．

“高层次思维测评笔试试题”[60]为想要测量高层次思维能力而编制测试题的教师提供了参考，对如何编制多项选择和建构反应题（constructed-response items）、表现性评价任务以及认知、情感和精神活动3个领域的“档案袋”评价法给出了指导，还提供了试题修订和试题答案统计分析的流程．

TIMSS和PISA已经成为世界上具有重要影响力的国际教育成就测试项目．一些研究者认同TIMSS和PISA测试可以测评学生的高层次数学思维能力，并提出要采取以加强学生的高层次思维能力为途径提高本国学生在TIMSS和PISA测试中的表现[61]，但是也有另一些研究者认为TIMSS和PISA难以测评学生的高层次数学思维能力[62~64]，原因主要是大多数测试题采用了用于测试程序性知识和常规问题解决技能的多项选择题的形式．

学生高层次思维能力的发展与解决数学问题时的思维过程密切相关．Bakry和Bakar的实证研究结果显示，数学能力高的学生能够创建意义、提出观点和得出结论；中等数学能力的学生能够创建意义、提出观点但不能得出结论；数学能力较低的学生不能够创建意义、不能得出结论[65]．

Agus Budiman采用了Borg和Gall的测评工具开发模型，研制了一个高层次数学思维能力的测评工具，并测量了八年级学生的高层次数学思维能力．该测评工具由24个多项选择题和19个问答题组成．经过多项技术指标检测，该测评工具被认定为有效和可靠的[66]．

从以上梳理结果来看，关于高层次（数学）思维能力的测评研究成果颇多，涉及测评途径、测评原则、测评量规、测评方法方式、测评试题编制、测评的有效性等，但其中存在的争议也很大．大多数研究者都认同亟需改革目前已有的中小学数学能力测评体系，需要设计出一套适应高层次（数学）思维能力的、几乎完全不同于传统的数学思维能力测评体系，但是目前关于高层次（数学）思维能力测评的大部分研究还缺乏充足的实证研究支撑，面临着许多客观环境条件的制约，需要在对高层次（数学）思维的内涵和外延进行清晰界定的基础上，结合详实可靠的数据或案例支撑，构建高层次（数学）思维能力测评体系．

4 结 语

中国的高层次思维研究起步较晚，相关主题的研究数量比较少，目前可查到的仅有3篇硕士论文，以及几十篇的期刊论文，但是呈现出逐渐增多的发展趋势．与国际上的相关研究相比较，中国的高层次思维和高层次数学思维研究中理论研究还比较少，且都是关于高层次数学思维的界定方面，关于高层次思维的教学和测评方面的理论研究缺乏深度，结合具体学科的实证研究也不多，一些实证研究缺少详实可靠的数据支撑．经过对国内外相关研究成果的梳理可以得出的启示包括：加强高层次数学思维的界定研究，在国外研究成果的基础上，结合国内数学教育教学的优秀理论和实践，得出更加科学全面、方便理解、具备可操作性的界定；加强实证研究的深度和广度，结合详实准确的数据，或者具体的真实案例，探索高层次数学思维能力教学的有效实施；参考国外研究成果，基于国内的教育教学实情，结合具体学科特点，探索建立和完善有效的高层次数学思维能力测评体系．

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[责任编校：周学智]

Review of Domestic and Foreign Research on Higher Order (Mathematical) Thinking

CHANG Lei

(The Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Higher order thinking (HOT) has been one of the hot issues of education research in recent years. HOT research mainly focused on definition, learning and instruction, assessment and so on. There are several kinds of definition of HOT, and they are significantly different; learning and instruction research for HOT involves many aspects, and trends to combine with new technology; the assessment research for HOT is in developing and improving. These studies may give implications for promoting the theoretical and empirical researches on higher order mathematical thinking in China, which include: strengthen the definition study of higher order mathematical thinking; improve the empirical research on higher order mathematical thinking; establishing the evaluation system for higher order mathematical thinking.

higher order (mathematical) thinking skills; definition; learning and instruction; assessment

G40-03

A

1004–9894（2016）05–0009–07

2016–04–13

2014年国家建设高水平大学公派研究生项目——国家留学基金委资助华东师范大学数学系与澳大利亚墨尔本大学墨尔本教育研究学院联合培养博士生（留金发[2014]3026号）；2015年度上海市教育科学研究重大项目——中小学数学教材的有效设计，子课题1——中小学数学课程内容发展主线的顶层设计（D1508）

常磊（1986—），男，河南安阳人，博士生，主要从事高层次数学思维能力和数学教学情境研究．