搭建数学本质教学平台促进课堂教学思维优化

苏华春

（福建省宁德市民族中学）

搭建数学本质教学平台促进课堂教学思维优化

苏华春

（福建省宁德市民族中学）

结合教学实际，对新课程课堂教学中如何搭建数学本质教学平台，发展学生思维，提高数学的素养谈一些体会。关键词：高中数学；发展思维；实践体会

新课标版考试大纲在考查要求中指出：“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构。”近年在高考卷更是突出了各知识中数学本质的考查，课堂关注数学本质的教学，经历过程、教少学多，成为有效教学的根本。

数学本质属于数学哲学范畴，人们从不同的角度看数学，便对数学的本质有不同的认识。张奠宙教授在讨论数学本质时指出其内涵是：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识，重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面。笔者认为数学教学应该通过数学活动让学生领悟数学严谨、抽象、简洁等的本质特点，感受数学理性的精神力量，发展学生的数学思维，因此张教授对数学本质内涵的概述对中学数学教学更具有指导意义。本文结合教学实践对新课程课堂教学中如何搭建数学本质教学平台，发展学生思维，提高数学的素养，谈谈自己的一些粗浅的体会。

一、搭建知识横向联系的平台，完善学生知识组块整合，培养学生思维的广泛性和灵活性

学生形成数学认知结构，关键在于所呈现的数学知识和经验的结构化程度。在日常教学实践中我们发现，学生平时对三基的学习是零散的、孤立的，认知是“断点”的，体现在问题的解决过程中联系性、综合性、灵活性都较弱，因此在教学中要加强数学知识间联系的教学，促成学生知识与能力的转化。新课程理念提供了对教材进行二次加工的机会，在教学中，不能只关注于研究“怎么教”的问题，“教什么”也不能局限于教材上的内容。为了提高对数学教材的理解水平，我们应注意开阔视野，结合学生原有的学习实际情况，在学生已有的知识组块间寻找教学衔接点，联系扩展到更宽的领域，促进学生知识组块整合。在联系观点指导下进行数学教学，无论是新知识的引入和理解，还是巩固和应用，尤其是知识的复习和整理，应多从知识间的联系出发，帮助学生对所学过的知识有新的理解与认识，帮助学生形成有序的知识体系，阶段性完成知识模块的重新组合，并在对新知识的理解中使学生的认知水平、思维能力和分析解决问题的能力都得到提高。

案例1：数学学习中对数符号的认识对中等以下的学生是个难点，在对数概念教学中我们可以通过提供以下两个问题来引入对数的概念。

问题1：已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？（解析：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2%）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍.这是数学中知道底数和指数，求幂值的问题。）

问题2：已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%，问经过多少年后国民生产总值是原来的4倍？（解析：设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍。列方程得:1. 072x=4。这是知道底数和幂值，求指数的问题，是上述问题的逆问题，为求对数的问题。）

在此基础上让学生回顾初中为了解方程xn=N而引入开根号运算（记作）、并拓展在解三角方程引入反三角符号等，让学生理解引入数学符号是数学运算常用的手法、是数学发展的必然、抽象性、简洁性的体现。通过横向的符号引入上的联系让学生理解对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算，记作logaN。

案例2:在高三函数的复习研究中，我们在对“对勾函数”（fx）= x+（a＞0）的图象与值域进行研究时，通过引导学生用均值不等

式求其最值找拐点，从极限的观点理解函数图象有渐近线，用函数的图象来理解它的单调性与最值，用导数的方法研究其单调性与最值，并给出不同的定义域帮助学生理解它的适用范围等，在知识的横向联系中建立知识网络，沟通内在联系，让学生感受到认识单一知识在数学知识体系中的“坐标”作用，只有全面把握知识间的内在联系，才能完善对知识的认知结构。

案例3：在用“化曲（折）为直”思想研究某动点到两定点距离之和最小值时，我们让学生研究：

2.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。

在研究第1小题的解法时，学生还很难展开解题思路，这时我们让学生回忆若双曲线改成直线，问题则为欲在直线上求一点到两定点的距离之和最小，学生在学习点关于直线对称的应用问题时有对这类问题的解题经验，从而引导学生将问题转化为P点在双曲线的两支之间，如何“化曲（折）为直”求|PA|+|PF|的最小值？通过一番思维的自我调控，学生会注意到P是双曲线上的动点，从而由双曲线的定义及两点间线段最短可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|+ 2a≥|AF′|=5+4=9（F′为双曲线的右焦点）；在解决第2小题时注意抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题，运用三点共线可使问题得到解决。通过解题方法、解题时所应考虑到的解题背景等在思路上的联系，学生对“化曲（折）为直”研究折线段和最小值有了深刻的认识，促进知识与方法的迁移，思维的广泛性与灵活性也得到培养。

进而给出2009年四川理科高考选择题：已知直线l1：4x-3y+ 6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）

二、搭建知识纵向联系的平台，加深学生对知识本质的理解，培养学生思维的深刻性和严谨性

数学知识有严密的逻辑性与严谨性，在数学教学中，我们经常为了重视双基的教学，在课堂教学与课后练习中都大篇幅地安排时间与精力促进学生基础知识和基本方法的掌握、理解与巩固。这样培养的学生在知识与方法的浅层次应用与理解上都较熟练，但遇到情景的变化和适当的抽象与综合后，学生的解题能力往往无所适从。在日常的教学特别是复习教学中搭建知识的纵向、纵深联系的平台，对学生加深对数学知识的本质理解与数学素养的提升都大有裨益。

案例4：数列的本质是离散型的函数，在数列的通项的教学中学生可得一定的认知，但对其从思想上的、方法上的本质的认识还有一定的距离。在教学中我们通过搭建从特殊到一般、从具体到抽象，从数到形的研究问题的情境平台，让学生向纵深、纵向的理解把握数列知识的本质。

如等差数列教学中给出问题：“等差数列中，α3=9，α9=3，求α12”让学生求解，在此基础上引导学生探究：“等差数列中：若αm= n，αn=m则αm+n=0”成立吗？在研究中让学生运用函数思想和数形结合的思想来思考，在研究中让学生理解该问题实质上是研究：过点P（m，n），Q（n，m）两点的直线是否过点（m+n，0）？作出图象实质上就是看点与x轴交点A的横坐标是否为m+n，而我们易知，直线PQ的斜率为-1，在△AQF中，易知：FA=FQ=m，∴xA=m+n。问题得以肯定，从中也让学生发现：该结论的本质就是三点（m，n）、（n，m）、（m+n，0）共线的问题，在实践中让学生深刻理解等差数列的本质就是一次函数，其图象是一条直线。

再如，等差数列的前n项和Sn=na1+）d=n2+（a1-）n。可知：Sn是关于n的二次式，且无常数项。由此在解决问题“若Sm= S（nm≠n），求Sm+n”时引导学生从二次函数或转化为一次函数后由相应的函数性质研究解决。解法一：令（fx）=x2+（a1-）x，由Sm=Sn得（fm）=（fn），则x=为此二次函数图象的对称轴，因

此，（fm+n）=（f0）=0，即Sm+n=0。解法二：由Sn=d2n2+（a1-）n得=n+a1-，可知：Sn是关于n的一次式，则三点（m，），（n，n），（m+n，）共线，易求得Sm+n=0。

案例5：在空间几何体中证明线面平行问题是考查证明空间平行问题的知识、方法的一个综合问题，其本质是证明线线平行问题，但由于学生的空间想象能力不足，在解题中常见学生“横拿竹竿进城门”，不得其要。在教学中应帮助学生理解线线平行的基础是线线共面，关键在于理解在解题中应在已知的平面中寻找与已知直线能确定一个平面的要素为突破口。

如在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。求证：AC1//平面CDB1。（如图），解析：由直线AC1与点D确定一平面，考虑过点D找直线AC1的平行线，由点D是AB的中点，联想到连接BC1与B1C相交于点E，得点E是BC1的中点，从而DE//AC1。

三、搭建思想方法应用提炼的平台，促进学生数学思想内化，培养学生理性的思维方法

数学思想和方法是数学知识的本质体现，是对数学知识在更高层次的抽象和概括，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化、数学的精神和态度。运用数学思想解题，可为分析、处理和解决数学问题提供指导方针和解题策略，使得学生将许多零散的知识点建成一个有序的思维网络，推动学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力以及数学探究与创新能力的发展。但学习者对数学思想的形成需要经历一个从模糊到了解到清楚，从有意识应用到自然应用的较长发展过程，需要在反复的体验和实践中才能逐渐认识、理解、内化为其内在的数学素养。因而数学教学必须通过对数学知识的教学和适当的解题活动搭建数学思想方法的应用提炼平台来对学生产生潜移默化的影响。

案例6：函数思想贯穿中学数学教学中，学生应用函数思想解决数学问题的能力不会因为学完函数的知识就能形成，需要在教学过程中抓住知识与思想方法的关联处，不断创设完整的函数思想使用、体验、学习的机会，由浅入深，有启发、有层次地展示函数思想方法解题的全过程，产生“润物细无声”的效果。

例：不等式x2-ax-2≤0对x∈［-1，1］恒成立时求实数a的取值范围。这是一个含参数的不等式恒成立的问题，如何让学生理解函数思想的应用，从而培养函数思想的应用意识呢？笔者在教学中先让学生回顾不等式与函数的关系，然后引导学生想到解此题要把代数式x2-ax-2看作函数，记φ（x）=x2-ax-2，指出这是函数思想起作用。这样使φ（x）≤0对x∈［-1，1］恒成立，只要φmax（x）≤0就可以了。所以问题转化为二次函数φ（x）在区间x∈［-1，1］上求最大值问题。而后用一元二次函数图象与性质来求得最大值则属于函数知识与方法的应用，属于技能范畴，不是函数思想的体现。解决本题的关键在函数思想的应用不在函数知识的应用，让学生体验应用函数思想解题的事实就是有没有用函数和变量去思考，是一个想得到与想不到的问题，提高学生用函数思想解决问题的意识。

著名数学家克莱因说：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动去思考一些问题。

《普通高中数学课程标准》指出，数学教学不能仅限于形式化的表达，要强调对数学本质的理解。这就要求我们在日常教学工作中将教学侧重点转移，“把握数学本质，引发学生数学思考，为学生思维发展而教”是为师之本，教学之道。在教学中我们应努力帮助学生在知识的体系中认识新的事物、新的知识，从发展思维的高度开展数学问题的解题教学，培养学生懂得想、敢于想、善于想，使我们的课堂教学真正起到发展学生思维，提高数学的素养。

许志儒.新课标下的高中数学教学［N］.学知报，2010

·编辑李建军