善变陈题 触类旁通 精于设计*

●何伟军

(渭源县第一中学　甘肃渭源　748200)



善变陈题触类旁通精于设计*

●何伟军

(渭源县第一中学甘肃渭源748200)

文章以一道陈题为变式“生长点”，对其进行创新设计，演绎出16个变式题，涉及常见圆锥曲线的热点(考点)问题.旨在夯实基础，提升解题能力，培养学生灵活多变的思维品质和创新精神，这也是数学高考复习实施高效教学的重要途径之一.

陈题；变式；探求问题

数学高考复习时间紧、量大面宽是众所周知的．要搞好圆锥曲线复习，必须在精选、精讲、精练题上狠下功夫，必须将问题适度拓展、改造、组合、串并联，形成圆锥曲线高考热点问题组，使知识的获得、能力的形成放植于有效的变式训练中，只有变式的“教与学”，方可走出“题海”，达到回头是“岸”之境界，真正减轻学生负担，培养学生灵活多变的思维品质和创新精神.笔者试图以一道陈题为变式“生长点”，演绎出精彩高效的圆锥曲线热点问题.

原题讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1公共点的个数.

(1)

当1-k2=0，即k=±1时，x=∓1.当1-k2≠0，即k≠±1时，

Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2,

由Δ>0得

由Δ=0得

由Δ<0得

这是一道常规题.如果我们创设问题的新情境，陈题新编，纵横拓展，迁移组合，将会囊括圆锥曲线问题中“参数的取值范围、定值、对称、轨迹、定点”等高考热点问题，做到举一反三，助推能力提升.

1　探求参数的取值范围

变式1若直线l与双曲线C有2个不同的交点A，B，求实数k的取值范围.

变式2若直线l与双曲线C的右支交于2个不同的点A，B，求实数k的取值范围.

变式3若直线l与双曲线C的左支交于2个不同的点A，B,求实数k的取值范围.

变式4若直线l与双曲线C的左、右2支交于不同的点A，B,求实数k的取值范围.

评注此类题应数形结合，根据直线l与双曲线C交于1支(或2支)找到其充要条件，列出不等式组是正确求解取值范围的关键.

变式5若直线l′垂直平分变式1中的弦AB，求l′在y轴上的截距m的取值范围.

思考：若直线l′垂直平分变式2、变式3、变式4中的弦AB，求l′在y轴上的截距m的取值范围.其结果又有什么不同？

评注在变式5、变式6中含有2个参数，m的变化是由k引起的，且m是关于k的函数，我们在2个参变量之间建立函数m=f(k)是关键，问题转化为求此函数的值域.

2　探求定值问题

变式8若直线l与双曲线C有2个不同的交点A,B，且A,B都在以M(0,-3)为圆心的圆上，求k的值.

得直线MP的方程为

即

x+ky+3k=0,

从而

x0+ky0+3k=0，

得

即

变式9是否存在实数k，使得以直线AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F2.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解由题意知F2A⊥F2B，设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点为F2(c,0)，则

即

x1x2+y1y2-c(x1+x2)+c2=0.

又

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

得

即

(1+c2)k2+2ck+1-c2=0.

解得

评注陈题条件中加入“A,B在圆上”后，问题分别以求定值和探求存在型的方式呈现，给人以“似曾相识”的感觉，顿生解决问题的欲望与激情.解决这类问题能增强学生的代数运算能力和识图能力.

3　探求对称问题

变式10若直线l与双曲线C有2个不同的交点A,B，是否存在这样的实数k，使得A,B这2个点关于直线l′:y=ax(其中a≠0)对称？若存在，求出实数k;若不存在，说明理由.

解假设存在满足条件的k，使得点A,B关于直线l′对称，并设A(x1,kx1+1)和B(x2,kx2+1)关于直线l′对称，则

整理得

(k-a)(x1+x2)+2=0.

即

评注对称问题中“嵌套”存在型问题，使陈题面目为之一新，既考查了AB⊥l′和AB的中点在l′上这2个关系，又考查了学生综合运用数学知识进行推理运算的能力.求解圆锥曲线的对称问题，常见的问题是找不出所设变量之间的关系导致解答寸步难行.

4　探求动点的轨迹方程问题

变式11若直线l与双曲线C有2个不同的交点A,B,求弦AB中点的轨迹方程.

问题探究如何确保参数方程与普通方程等价呢？

从而

即

解得

y<-1或y>0.

又k2≥0,得

y<0或y≥1.

综上可得

y<-1或y≥1,

因此弦AB中点的轨迹方程为

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

问题探究题设的限制条件如何寻找？

0≤k2<1或1

从而

0<1-k2≤1或-1<1-k2<0,

即

y<-1或y≥1,

因此，弦AB中点的轨迹方程为

x2-y2+y=0(其中y<-1或y≥1).

评注选择以斜率为参变量，或用“点差法”找到斜率与弦中点之间的关系后，先求出参数方程，再化为普通方程，即点P的轨迹方程为

x2-y2+2y=0(其中y<-2或y≥2).

特别注意参数方程与普通方程的等价性是易错点,也是难点和关键点.

5　探求定点问题

解设Q(x0,0)，则

即

而

y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,

代入上式可得

解得

评注以陈题和2006年山东省数学高考试题为雏形设计定点问题，也是高考的热点之一.先求出满足条件的直线l，然后再利用直线过定点知识加以解决.与平面向量的结合，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

6　探求面积问题

整理得

28k4-55k2+25=0,

解得

(x1,y1)+(x2,y2)=(λx0,λy0),

λ2=16，

即

λ=±4.

因此，△ABP的面积为

7　多元设置，综合压轴

变式15若直线l:y=kx+b与双曲线C:x2-y2=1的左支交于2个点A,B，直线l与以F1F2为直径的圆相切.

x2+y2=2.

由于直线l与⊙O相切，从而

即

b2=2(k2+1)(其中k≠±1).

(2)

(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，

(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=

化简整理,得

(3)

联立式(2)和式(3)得

2k2+3-4k2+k2-1=0，

解得

此时

Δ=4k2b2-4(k2-1)(b2+1)>0，

得

k2≠1，

从而

由k,b同号知，直线l的方程为

2)类似于第1)小题可得

即

从而

根据弦长公式

因为点O到直线l的距离为

而2≤m≤4，所以当m=2时，△AOB的面积最小，其值为

当m=4时，△AOB的面积最大，其值为

评注设置多个变量，适当改编条件，用待定系数法逆向求解斜率和截距，使思维量加大，思维的难度增大.但方程思想作基础，先利用“减元”思想列出△AOB面积是m的函数，再利用二次函数在给定的区间上求最值的方法可解决.

图1

即

a=b.

即

又b2=1，即a2=1，得双曲线C的方程为

x2-y2=1.

3)解由题意可得0<λ<1.

证明设l3:y=kx+1，点P(x1,y1)，Q(x2,y2),则由l3与双曲线C右支交于不同的2个点P,Q及变式2得

(x1,y1-1)=λ(x2,y2-1),

得

x1=λx2,

从而

于是

0

从而

即

λ2-2λ+1>0,

因此λ的取值范围是(0,1).

评注逆向设计、用向量的坐标法证明问题是亮点之一；交换条件与结论后探究x2-y2=1为亮点之二；最后以参数的范围求解、几何问题代数化结尾.

精选典例，抓住“娇”题不放，创新变式.若能从“变”的表象中发现“不变”的本质，从“不变”的假象中掘出“变”的内涵，则能促使学生尽快领悟数学思想方法，形成高超数学能力.变式教学不仅是跳出题海、减轻学生负担、以少胜多、实施高效教学的最佳选择，而且也是全方位提升学生分析问题和解决问题能力的明智之举.

�2016-06-21；

2016-07-22

何伟军(1962-)，男，甘肃定西人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-17-05