学生说题 各有不同*

●陈俊斌

(南安市教师进修学校　福建南安　362300)



学生说题各有不同*

●陈俊斌

(南安市教师进修学校福建南安362300)

说题是近年来兴起的一种新的教研活动，能以小见大，去虚务实，已成为福建省教师教学技能大赛学科技能比赛的一部分.相比教师说题，学生说题教研活动开展得还比较少，学生说题是指学生在解完一道数学题后，向被说题者(教师或专家评委等)阐述自己解决试题的思维暴露过程.文章以学生现场说题比赛活动及自身的思考进行具体阐述,以期达到抛砖引玉的效果.

学生说题;解后反思;说题教研

1　问题的提出

有这样一个故事：有个孩子刚上高三时，他的数学成绩很不理想，他的妈妈非常着急，就找了一位数学专家，问有什么好方法能让她的孩子提高数学成绩，这位专家给她支了一个点子：“叫孩子每次都给你讲作业．”家长说：“我听不懂怎么办?”专家说：“听不懂也听．”坚持了1～2个月后孩子有明显进步，并且数学的进步会迁移，带动其他学科，一年后考上了重点大学.这位专家就是采用了一个重要的方法“说题”．这个“说题”活动必须独立完成作业，进一步理清思路才能表达出来．

2015年4月25日～4月26日笔者所在市教师进修学校举行了2015年中学生数学“说题”交流评比活动，比赛分初中组和高中组.全市由14个初中教研片和5个高中教研片分别推荐2～3名学生和6～8名学生参赛，比赛当天，共有初中学生39人、高中学生34人参加本次交流评比活动.本次学生现场说题时间限制在8分钟以内，比赛现场精彩纷呈.下面笔者结合现场案例及自身的学习谈谈对中学生数学说题教研活动的思考与认识，以期达到抛砖引玉的效果.

2　学生说题的界定

结合本次市级教研活动学生现场说题及笔者的认识，笔者认为学生说题一般应包含以下几个环节：

2.1理信息，说审题

解题时，吃透题中各个条件是思维开展的基础，说审题主要包含2个方面：一是试题背景来源，如自编的原创题，中(高)考试题或其改编题，教材的例习题原题或改编题，期中、期末考题等;二是题目结构分析，即运用数学语言分析题目所给的信息，已知条件有哪些，所求结论是什么，题目涉及哪些知识点.

案例1如图1，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D,E分别是AB,AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME.

图1

图2

对于这道题，学生可这样进行审题分析方面的说题：本题是2014年江苏省无锡市中考数学试题的第21题，主要考查全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，考查推理论证能力及几何直观能力，考查化归与转化等数学思想方法.题目已知的条件主要是等腰△ABC的3条边上的一些线段相等关系(BD=CE,MB=MC)，要证明的结论是线段MD,ME的相等关系.事实上本题来源于华东师大版教材八年级上册第75页课后练习第1题的改编(题目如下)：如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E,F为垂足，DE=DF.求证：△BED≌△CFD.

2.2析条件，说思维

数学是思维的体操，说思维主要是指学生说解题思路获得的全过程，即解决这道题目运用什么方法、有哪些步骤、你是如何想到的、如何表述、如何实践操作.这里主要包含2个方面：一个是解决本试题的思路分析，一个是解法展示.实际说题时侧重点有所不同，若所说的题目解法比较常规或试题难度值较大，则应把重点放在思路分析上，若所说之题可一题多解，则可适当给一些时间在解法研究中，并指出比较有特色的解法.

如案例1中学生在说题时是这样作解题思路分析的：要证明2条线段相等，比较常见的方法是利用全等三角形.从图1可以看出，MD,ME分别在△BMD和△CME中，要证明MD=ME，只需证明这2个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质即可得出.用此法解决本题的关键点是由等腰三角形性质得出2个底角相等，然后由“边角边”定理判定2个三角形全等.在作完解题思路分析后，简略地把规范的解答展示给现场教师及评委即可.

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(2016年福建省数学质检考试理科第11题)

图3

学生说题本题有多种解法，这里我主要说说2种常见的解法，先说常规解法的思路分析：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，把已知的几何条件转化成含有a,b,x1,y1,x2,y2,c的关系式，再由公式c2=a2+b2消去c，求出a,b之间的关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

解法1如图3，由已知得F1(-c,0),F2(c,0).设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则依题意得

(1)

(2)

因为|PQ|=2|QF1|，所以

即

(x2-x1,y2-y1)=2(-c-x2,0-y2),

解得x1=3x2+2c,

(3)

y1=3y2,

(4)

联立式(1)和式(2)得

(5)

把式(3)和式(4)代入式(5)得

(6)

由式(2)得

代入式(6)求得

故

于是

因为点P是以F1F2为直径的圆与双曲线C右支的交点，所以

(7)

从而

把x1,y1及c2=a2+b2代入式(7)并化简可得

b4-3a2b2-4a4=0，

即

(b2-4a2)(b2+a2)=0.

图4

解法2如图4，联结QF2，由已知得

|PF1|-|PF2|=2a,

|QF2|-|QF1|=2a.

设|QF1|=m，则|PQ|=2m，从而

|PF1|=3m,

|PF2|=3m-2a,

|QF2|=m+2a.

因为点P是以F1F2为直径的圆与双曲线C的交点，所以∠F1PF2=90°，故在Rt△QPF2中，有

|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，

即

(2m)2+(3m-2a)2=(2a+m)2，

|PF1|=3m=4a,|PF2|=3m-2a=2a.

在Rt△PF1F2中

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，

即

(4a)2+(2a)2=(2c)2,

故

从而所求曲线的渐近线方程为

点评本解法先从双曲线的定义出发得到2个关系式，然后根据PQ,QF的长度关系引入参数m，并在Rt△QPF2中根据勾股定理列式，最后才在焦点△PF1F2中求解a,c的关系.比对上述常规解法，不仅解答更为简洁明快，更是巧妙地避开了复杂的运算及繁杂的关系代换.整个解法过程中，算得有方向，算得有思路，当然此种解法对学生的运算素养要求不低，要求能够恰当引进参数，活用平面几何知识.

2.3微总结，说反思

解后反思是对整个解题活动的反思，数学的理解要靠学生对思维过程的不断反思才能达到.解决完一道试题后，学生可结合自己对整个问题思考的全过程进行微总结.说反思，即解决这道题都运用了哪些数学思想方法，有无其他解法，哪种思路最优，所得结论或性质是否具有规律性，能否进行推广？题目能否进行其他变化？这里大略可分为3个方面：一个是说自己在解决本试题时如何处理遇到的困惑；二是解题后对该试题解法的价值研究，如解法推广、引申等；三是对试题本身价值研究，如对所说试题进行简单拓展变式等(这点对学生要求较高).

如案例1中学生是这样做解后反思的：

作为中考试题的第21题，本题属于中档题，只需平时掌握好数学的基础知识和基本技能，在中考时正常发挥即可证出.下面结合自己的学习谈谈对本题的一些拓展变式分析.

变式1如图5，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D,E分别是AB,AC边上的点，且AD=AE.求证：MD=ME.

分析本题仅更换条件“AD=AE”，因AB=AC即可推出BD=CE，故与原题实质上是等价的.

图5

图6

变式2如图6，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，D，E分别为垂足，求证：MD=ME.

分析本题由2014年湖南省衡阳市数学中考试题第23题改编而来.联结AM，由等腰三角形“三线合一”性质知AM平分∠BAC，再利用角平分线的性质即可得证.

变式3如图7，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，点E,F分别是AB,AC边的中点，联结ME,MF.求证：ME=MF.

分析由中位线的性质可得

从而ME=MF.

图7

图8

变式4如图8，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠AME=40°，点M在BC边上运动(点M不与点B,C重合)，ME交线段AC于点E，问：当MC等于多少时，△ABM≌△MCE，并说明理由.

分析当MC=2时，△ABM≌△MCE.由AB=AC，得∠B=∠C=40°.再由∠EMC+∠MEC=140°,∠EMC+∠AMB=140°,得∠MEC=∠AMB.最后借助“AAS”定理可得△ABM≌△MCE.

由于原题涉及的知识要求比较基础，而此题又较具有研究价值，因此本题学生说题的重点应放在试题的价值研究即拓展变式上，把拓展变式题与原题进行比对，对于拓展题的解答则简略作思路分析即可.

1)略.

2)问：y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

(2015年全国数学高考课标I卷第20题)

本题在解后反思时学生可这样进行说题：作为高考题第20题，本题属难题，需要我们具备较强的化归与转化思想，下面主要从试题的常见变化研究此试题，以下是得到的2个变式题目.

变式1已知在直角坐标系xOy中，曲线C:x2=2py与直线y=kx+a(其中a>0)交于点M,N.问：y轴上是否存在点P，使得∠OPM=∠OPN？说明理由.

分析此题旨在将特殊条件一般化，解法同原题一样，结论仍然成立.

变式2在直角坐标系xOy中，曲线C:y=ax2与直线y=kx+a(其中a>0)交于点M,N，点P(0,-a).求证：∠OPM=∠OPN.

分析此题把条件与结论位置进行交换，结论依然成立.

点评此题的2种改编方法很常见，学生在教师指导下若能通过对题目进行如上的改编，并加以说题，势必能拓展学生的思维，渗透常见的特殊与一般思想，达到“解一题，会一类，举一反三，触类旁通”的目的.同时，在学生编题、想题、做题、说题的过程中，学生的数学素养也会提高，能更有效地把握数学本质.

3　赛后启示

此次是笔者所在市第一次举行市级中学生数学现场说题比赛，难免粗陋，但我们事先有提供“中学生数学说题活动”的学习资料，大部分参赛学生对说题的流程及框架有所了解，因此整个活动开展得有条不紊，学生现场表现比事先预期要好.通过上述案例分析，可大致了解中学生数学现场说题的含义及流程：中学生数学说题是指学生在解完一道数学题后，向被说题者(教师或专家评委等)阐述自己解决试题的思维暴露过程，主要包含如下几个环节：一是说题目，即运用数学语言说清题目所给的信息：已知条件有哪些、所求结论是什么、题目涉及哪些知识点；二是说解法，解决这道题目运用什么方法、有哪些步骤、你是如何想到的、如何表述；三是说反思，解决这道题都运用到哪些数学思想方法，有无其他解法、哪种解法最优、所得结论或性质在解题中有什么应用、能否推广.

总之，学生说题有利于促进教师转变课堂教学方式，从而更充分地调动学生学习数学的积极性，这也是开展本次比赛的一个主要出发点.学生说题不仅能训练学生的口头表达、数学语言交流能力，还能提高学生解决数学问题的能力，摆脱题海战术，减轻学业负担.通过上述案例分析可以发现，同是学生说题，各有不同，有的学生重在说试题变式，有的则侧重说解题思路，有的说巧妙解法的思路历程等.因此，学生说题应从所说题目的自身特点及自身情况，选择适合自己的模式，说出信心，说出亮点，展示自我.

�2016-05-11；

2016-06-15

福建省泉州市教育科学“十三五”规划第一批立项课题(QG1351-161)

陈俊斌(1984-)，男，福建南安人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-13-04