青山不言自拥翠*——2016年全国课标Ⅰ卷理科第21题的评析与探究

●杨瑞强

(黄石市第一中学　湖北黄石　435000)



青山不言自拥翠*
——2016年全国课标Ⅰ卷理科第21题的评析与探究

●杨瑞强

(黄石市第一中学湖北黄石435000)

2016年全国课标Ⅰ卷理科第21题，一题两问，言简意赅，朴实无华，解法灵活，彰显能力，并启发我们课堂教学应加强数学思想方法的渗透，解题注重提炼通性通法，研究往届高考热点试题，便于把握试题的发展方向．

课标卷;评析;探究;启发

1　试题呈现

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2个零点．

1)求a的取值范围；

2)设x1,x2是f(x)的2个零点，证明：x1+x2<2．

2　试题简评

本试题言简意赅，朴实无华，解法灵活，彰显能力．题目2个小问，呈现平和自然，并且文字量少，表述精炼清晰，有亲切感，易于激发学生解决问题的冲动．作为一道压轴题，以函数零点为载体，主要考查导数在研究函数性质与证明不等式中的应用，充分考查学生推理论证的能力和数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想．第1)小题由函数零点个数确定参数的取值范围，属于学生熟悉的题型，虽属常规，但学生的分类与整合、数形结合的意识较差，致使学生满分率不高．第2)小题证明一个二元不等式，看似平和，实则暗藏玄机，此问题实质上是证明函数极值点偏移(右偏)的问题，是一个近几年高考的热门问题，其背景深厚，内涵丰富，要求学生具有灵活的转化与化归思想．总之，试题设计立意鲜明，角度宽，视点多，深入考查了数学的理性思维．深化能力立意一直是数学高考命题的追寻目标，本试题真正体现了“以能力立意为指导，考查能力和素质”的命题原则．

3　试题解析

3.1第1)小题的分析与解答

第1)小题由函数零点个数确定参数的取值范围，可采用分类讨论，结合零点存在性定理进行求解；也可采用参变量分离，借助数形结合的方法加以解决.这2种方法都是解决零点问题的通性通法．

解法1分类讨论，零点存在性定理.

由f′(x)=(x-1)(ex+2a)得：

当a=0时，f(x)=(x-2)ex，f(x)只有唯一的零点x=2，不合题意.

当a>0时，由f′(x)=0得x=1，于是f(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.事实上，当x→-∞时，f(x)>0，当x→+∞时，f(x)>0，而f(1)=-e<0，结合零点存在性定理，易知f(x)有2个零点．

综上所述，当且仅当a>0时，符合题意，即a的取值范围为(0,+∞)．

评注由于方程f′(x)=0的根的个数与a的正负性有关，因此在解答中对a的正负性作了讨论；另外当a<0时，由于不知道2个根x1=1与x2=ln(-2a)的大小，因此需要再一次进行比较讨论．分类讨论是导数压轴题中常见的数学思想，首先要理清为何要讨论，其次确定讨论标准，要求做到不重不漏，这些都是分类讨论的关键．

图1

解法2分离参数，数形结合.

显然x=1不是函数f(x)的零点．当x≠1时，方程f(x)=0等价于

易知g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．如图1，函数y=-a与g(x)的图像有2个交点，则-a<0，即a>0．

评注对于函数零点(或方程根)的个数问题，我们采用参变量分离法，并且借助数形结合法加以解决，既形象直观又可以避免对参数的讨论．本题中，将函数f(x)有2个零点的问题转化为函数y=-a与g(x)的图像有2个交点的问题，大大加快了问题解决的进程．

3.2第2)小题的分析与解答

第2)小题证明一个二元不等式，实质上是证明函数极值点偏移(右偏)问题．问题的解决需要学生有较高综合分析能力，巧妙利用式子的对称性，结合函数的单调性，能够较快地分析出解题思路，从而有较好的入手点．

解法1先分析法，再构造函数.

不妨设x1

x1∈(-∞,1)，x2∈(1,+∞)，

从而

2-x2∈(-∞,1).

又f(x)在(-∞,1)上单调递减，于是x1+x2<2等价于

f(x1)>f(2-x2)，

而f(x1)=0，即

f(2-x2)<0．

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，

从而

f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，则

g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),

当x>1时，g′(x)<0，而g(1)=0，从而当x>1时，g(x)<0，于是

g(x2)=f(2-x2)<0，

故

x1+x2<2．

评注先运用分析法，将证明x1+x2<2等价于证明f(2-x2)<0即可，再构造函数g(x)=f(2-x)，最后证明当x>1时，g(x)<0，从而使问题得到顺利解决．此解法思路清晰，目标明确，可谓一气呵成，实属通法通解．

解法2构造对称函数.

不妨设x1

x1<1

令F(x)=f(1+x)-f(1-x)，则由f′(x)=(x-1)(ex+2a)，得

F′(x)=f′(1+x)-f′(1-x)=x(e1-x-e1+x).

当x>0时，F′(x)<0，从而

F(x)

即

f(1+x)>f(1-x).

令x=1-x2，则

f(x1)=f(x2)=f[1-(1-x2)]<

f[1+(1-x2)]=f(2-x2),

即

f(x1)

而x1,2-x2∈(1,+∞)，且f(x)在(1,+∞)上单调递增，于是x1<2-x2，即x1+x2<2．

评注利用对称性构造一元差函数是解决极值点偏移问题的通用方法，其转化步骤为：

第1步：求出函数f(x)的极值点x0，构造一元差函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

第2步：对差函数F(x)求导，确定F(x)的单调性；

第3步：结合F(x)=0，判断F(x)的符号，确定f(x0+x)与f(x0-x)的大小关系；

第4步：结合

f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]>(或<)

f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),

得

f(x1)>(或<)f(2x0-x2)；

第5步：结合f(x)的单调性，得

解法3利用对数平均不等式放缩.

由第1)小题可知a>0，设x1<1

⟺ln(2-x1)+x1-ln(x1-1)2=

ln(2-x2)+x2-ln(x2-1)2,

⟺ln(2-x1)-ln(2-x2)-ln(x1-1)2+ln(x2-1)2=x2-x1,

由对数平均不等式知

评注利用对数平均不等式放缩解决极值点偏移问题是一种有效的方法，其转化的步骤有：第1步：根据f(x1)=f(x2)建立等式；第2步：如果等式含有参数，则消参，有指数的则2边取对数，转化为对数式；第3步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解[2]．

4　教学启示

4.1加强数学思想方法的渗透，提高学生思维素质

教师在日常教学中要加强各种数学思想方法的渗透，如数形结合、分类讨论、转化与化归等思想．比如在函数学习中，要特别强调函数图像的工具性地位，由形到数是研究数学问题的重要手段之一．这既是教材中分析函数的出发点和落脚点，也应成为学生研究问题的一般思维方式，因而在高考中屡见不鲜．其实，在教学中，我们不仅要教学生知识、教学生解题，更重要的是教会学生研究问题的一般方法．另外，分类讨论是高考的重点，同时也一直是学生的难点，难在哪里？难在分类讨论的标准是什么，即讨论点如何寻找．为此，在教学中，一定要高度重视．学生只要学会了思考和研究的方法，掌握了基本的数学思想方法，思维素质才能得到提升，成绩水平才能真正提高．

4.2解题注重提炼通性通法，熟练掌握数学模式题的通用解法

从数学高考试题中可以看出，高考重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查．所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法．高考命题的一个原则就是淡化特殊技巧，考生在复习中千万不要去刻意追求一些解题的特殊技巧.尽管一些数学题目有多种解法，有的甚至有10多种解法，但这些解法中具有普遍意义的通用解法也就1～2种而已，更多的是针对这个题目的专用解法，这些解法作为兴趣爱好去欣赏是可以的，但在高考复习中却不能把它当作重点．数学属于思考型的学科，在学习和解题过程中理性思维起主导作用，考生在复习时要更多地注重“一题多变(类比、拓展、延伸)”“一题多用(即用同一个问题做不同的事情)”和“多题归一(所谓“一”就是具有普遍意义和广泛迁移性的、“含金量”较高的那些策略性知识)”，更多地注重思考题目的“核心”是什么，从题目中“提炼”反映数学本质的东西，掌握好数学模式题的通用方法．

4.3研究往届高考热点试题，把握高考试题的发展方向

高考试题研究是高中数学教学的一项重要而常规的工作．由于高考命题具有连续性、重复性，因此研究高考试题能够把握高考试题的发展方向，尤其是研究高考试题最常规、最能体现题目本质特征的解法，才能深入理解高考试题的命题背景和命题特点，也才能发挥它在高中数学教学中的导向作用，提高高考复习的针对性和有效性．文首高考试题的背景和模型在前几年其他省份高考中就出现过多次，如2010年天津卷理科第21题、2011年辽宁卷理科第21题、2013年湖南卷文科第21题等等，这也充分体现了高考对往届高考的继承性与创新性的特点．如果在平时教学中，能够引导学生对往届高考试题加以分析与研究，往往可以捕捉到高考命题的一丝线索．其实，本试题的模型对于很多学生可谓“轻车熟路”，特别是有过竞赛经验的学生和平时做过类似题目的学生会很有优势，此题也可谓是一道十足的“陈题”．

[1]邢友宝．极值点偏移问题的处理策略[J]．中学数学教学参考:上旬，2014(7):19-22．

[2]赖淑明．极值点偏移问题的另一本质回归[J]．中学数学教学参考:上旬，2015(4)：49-51．

�2016-06-29；

2016-07-29

杨瑞强(1979-)，男，湖北黄冈人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)10-35-03