数学教学回归教材的探究与反刍*

●岳　峻　韩长峰

(太和中学　安徽阜阳　236600)



数学教学回归教材的探究与反刍*

●岳峻韩长峰

(太和中学安徽阜阳236600)

教材是数学知识和思想方法的重要载体.教师的教学引领应立足于教材，强化回归教材的意识，掌握回归教材的方法，提升回归教材的引领技能，注重提升学生数学学科的核心素养．

数学教学；回归教材；探究；反刍；核心素养

数学教育专家总是反复强调必须追根溯源、回归教材，但一线教师对回归教材的理解有一定的偏差，误认为是所学知识的一味重复或机械相加，没有太大的意义，或者无暇投入，因此只是口头上重视回归教材，行动上难以落实，陷于疲惫的题海战，也有悖于《数学课程标准》的理念．

教材是编者集体智慧的结晶，是数学知识和数学思想方法的重要载体[1]，又是教师的“教”和学生的“学”的主要资源，承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，同时体现着高考改革的发展趋向．教材的结构是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是千锤百炼的，习题是精挑细选的，教材中每个素材的选取、问题的设置、规律的呈现等都具有极高价值.这就要求数学教学的根基必须在教材，切实落实“回归教材”.

笔者以2016年1月参加的联考阶段性测试试题为例，谈谈回归教材的探究与反思，供大家指正．

1　试题呈现，思路简析

()

又因为点P,A∈C，所以

b2s2-a2t2=a2b2，b2x21-a2y21=a2b2，

2个式子相减可得

2　回归教材，追根溯源

图1

图2

例4已知△ABC的2个顶点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0)，且AC,BC所在直线的斜率之积为m(其中m≠0)，试探求顶点C的轨迹.

例5设A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之商为2，问：点M的轨迹是什么？为什么？

例6已知点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0)，直线AB,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差是2，求点M的轨迹方程.

例7已知点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，求点M的轨迹方程.

3　探究之旅,变式引申

3.1归纳拓展——定点字母化

我们不妨先探究其中一种情形，另一种可以由类比得到．通过简单的探究即可得知：

若m=-1时，点M的轨迹方程是x2+y2=t2(其中|x|≠1)，显然也符合上式，因此变式3不仅包含了变式1和变式2，还包含了椭圆的极限曲线——圆.

变式4设A,B的坐标分别为(0,-t)，(0,t)(其中t>0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(其中m≠0)，则点M的轨迹方程是

这自然得到有心圆锥曲线的第三定义：平面内的动点与2个定点的直线斜率之积等于非零常数m(其中m≠0)的点的轨迹为有心圆锥曲线.

3.2初步探究——命题逆化

上述变式的逆命题是否成立呢？亦即已知曲线方程和曲线上异于顶点的动点与相对2个顶点连线的斜率乘积会有什么结论呢？

3.3深入探究——定弦运动化

变式5～变式8中弦AB的中点是原点O，且端点落在坐标轴上，试想：若弦AB的中点是原点O，但端点不落在坐标轴上，则结果又如何？

3.4意犹未尽——运算推广

教材上的后3题是将直线AM,BM的斜率之积分别调整为斜率之商、斜率之差、斜率之和，那么点M的轨迹方程又将会是什么呢？

变式13已知平面内的定点A,B的坐标分别为(-a,0)，(a,0)(其中a>0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之商是m(其中m≠0)，则点M的轨迹方程为

(1-m)x=±a(m+1)(其中|x|≠a).

变式14已知平面内的定点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之差是m(其中m≠0)，则点M的轨迹方程为

变式15已知平面内的定点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0)(其中a>0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之和是m(其中m≠0)，则点M的轨迹方程为

显然当m=0时，变式14和变式15中点M的轨迹方程分别为直线y=0,x=0.

4　回归教材的反思

4.1强化回归教材的意识

回归教材，力促教材例习题的引领活力，展现习题功能，挖掘习题潜能.高考数学试题具有“源于教材，而高于教材；题在书外，但根在教材”的特点．年年岁岁题相似，岁岁年年意不同,万变不离其宗，其中的“宗”就是教材.教材中的题目大多都蕴含着深刻的背景、丰富的数学文化、数学思想，很多高考试题都源自教材中的定理或定理中的思想方法，或是例题、习题的重新整合、挖掘、引申等．有的高考题直接从教材的例、习题移植而来；有的高考题用教材的例、习题改编而来；有的高考题从教材的例、习题类比深化而来，即便是综合题也是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，充分体现教材乃高考数学试题之根之所在[2].

正如罗增儒语：教材是课程的载体，因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材．教材是中、低档试题的直接来源；教材是考试内容的具体化；教材是高考命题的基本依据；教材是解题能力的基本生长点．

因此，教师的教学引领应立足于教材，对教材中有潜在本质规律的例题、习题进行适当地挖掘、类比，使教材中的每一个例题、习题的作用发挥极致，从学生认识规律角度，由浅及深，展开变式，引领学生在其思维水平的“最近发展区”递进式地探索，逐步提升学生的数学思维素养．这就是数学教学的核心之所在．

4.2掌握回归教材的方法

1)注重教材定理、公式的推导过程.

当前，不讲基础而一味钻难题的做法是不可取的.2010年四川省数学高考试题中出现cos(α+β),sin(α+β)的推导，2011年陕西省数学高考试题出现了叙述并证明余弦定理，2013年陕西省数学高考文科试题出现等差数列前n项和Sn的公式推导，理科数学出现等比数列前n项和Sn的公式推导……

数学是一种科学的思维方法，要学会思考；数学也是一种操作活动，要熟练技能；数学还是一种问题解决的方法，要学会解题．高三数学教学不能简单地理解为学生熟记公式、定理和结论，然后进行题海训练，而应注重定理、公式的推导过程，培养良好的解题习惯、发展分析和解决问题的能力，领悟思维的诱导、调整、进阶、完善，领悟其蕴含的丰富的数学文化、数学方法、数学思想，重新全面梳理知识、方法，促使学生有层次地、递进地理解数学本质，从而提升学生的数学思维素养．

2)注重教材例题、习题的变式训练.

教材例题、习题看似平淡无奇，其实是呈现简洁、极富韵味的好题，值得细细品味．高三复习教学应诱导学生把特殊问题纳入更一般的范围，从特殊推广到一般，揭示事物的普遍规律，促使学生从会解一道题到会解一类题，由低层次到高层次，把数学思维提高到由例及类的层次，加速数学思维的优化．例如，人教版《全日制普通高中教科书(选修2-1)数学》第73页的第6题:

例8直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A,B，求证：OA⊥OB．

分析其已知条件:①直线l:y=x-2是一条定直线，其斜率为1，在x轴上的截距为2；②抛物线C:y2=2x的特征量2p=2，而直线l所过的定点M(2,0)的横坐标恰好为2，是巧合还是有规律可循？

拓展思路1直线“活”起来[3]

①直线l的斜率不变，在x轴上的截距变为1，结论还成立吗？(不成立.)

②直线l的斜率变为3，在x轴上的截距不变，结论还成立吗？(成立.)

③直线l的斜率变为-1，在x轴上的截距不变，结论还成立吗？(成立.)

④直线l的斜率变为k，在x轴上的截距不变，结论还成立吗？(成立.)

⑤直线l的斜率不存在，在x轴上的截距不变，结论还成立吗？(成立.)

……

拓展思路2曲线“动”起来

①抛物线C变为C:y2=3x，其他条件不变，结论还成立吗？(不成立.)

②抛物线C变为C:y2=-2x，其他条件不变，结论还成立吗？(不成立.)

③抛物线C变为C:x2=-2y，其他条件不变，结论还成立吗？(不成立.)

④抛物线C变为C:x2=2y，其他条件不变，结论还成立吗？(不成立.)

……

拓展思路3条件共“舞”

①直线l的斜率变为k，在x轴上的截距不变，抛物线C变为:y2=2px(其中p>0)，结论何时成立？(提示：2p=2.)

②直线l的斜率变为k，在x轴上的截距变为4，抛物线C变为:y2=2px(其中p>0)，结论何时成立？(提示：2p=4.)

③直线l的斜率变为k，在x轴上的截距变为2p，抛物线C变为:y2=2px(其中p>0)，结论成立吗？(成立.)

……

拓展思路4逆化命题

①直线l与抛物线C：y2=2px(其中p>0)相交于点A,B，若OA⊥OB，则直线l有何特征？

②直线l与抛物线C:y2=2px(其中p>0)相交于异于顶点的2个动点A,B．若OA⊥OB，则直线必过定点吗？

……

拓展思路5披上“神秘”外纱

拓展思路6类比引申

①原点O是抛物线C的顶点，原点O变为抛物线C任意一点，是否还有类似的结论呢？

②抛物线C变为圆锥曲线中的椭圆、双曲线，是否还有类似的结论呢？

③抛物线C变为圆，结论是否成立？

……

3)注重教材阅读、探究的思维启示.

新课标教材充实了许多具有生活气息的阅读材料，吸引了学生的注意力，关注了学生的非智力因素对学习的影响，倡导学生的认知与兴趣、情感紧密地联系起来，实现情知并行、情知互动、情知交融，也设置了饶有情趣的探究问题，激发了学生学习的激情，促使学生产生探究的原动力和内在需求．

高三数学的复习教学，应对本原性的问题多一些思考，结合教材提供的阅读材料、探究问题的思维启示，创设开放、互动、新型的教学体验环境，促使学生体会知识的发生和发现过程，引领学生学会审题，学会思维，把教材中“省略”的思维信息慢节拍地找寻出来，提升数学探究教学的高效．

4)注重教材方法、思想的潜移默化.

形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求.但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．新课程为了促进学生对数学内容本质的理解，建立内容本质与形式表达之间的有机联系，使数学形式化过程适应学生的学习心理，并在建构数学形式化认知结构的同时，获得全面发展，在“强调本质，注意适度形式化”方面作出了努力．

高中数学复习应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，注重教材方法、思想的潜移默化．数学教学要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学方法、数学思想潜移默化，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态．

4.3提升回归教材的引领技能

凸显数学本质，引领学生思维，既是高中数学新课程的核心理念之一，也是数学学科的自身诉求．数学教学的一个重要任务就是抓住基础，抓住数学的核心，培养学生的数学思维素养，进而才能提高学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的转化与化归的能力，才能化无限为有限，才能多题归一[4].

“做题不在多，理解则灵；难度不在大，有意才行”，教学时，教师要有意识地选准具有示范性、发散性、延伸性的试题，加以引申、拓宽、变化，引导学生从形式的“变”发现本质的“不变”，从本质的“不变”探索形式的“变”的规律，旁通知识的横向联系，注意知识结构的重组与概括，揭示其内在的联系与规律，精学一题、妙解一类，固化于型、内化于心，进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的有机认知结构，从中提炼出数学思想、数学方法．这就是数学教学的核心．

5　结束语

作为教师，务必将教材视为高三复习的“红色根据地”，在领会教材的编写特点、把握教材、理解教材、理清知识发生发展的来龙去脉的基础上，着力揣摩教材的编写意图，明确教材的脉络结构，深刻领悟数学知识的作用和蕴含的人文素养的文化价值，做到跳出教材、活用教材，提升自身的教学品味.也只有让学生时刻把“举一反三”“触类旁通”放在心上，经常实践，学会独立思考，才能提升学生数学学科的核心素养.

正如章建跃博士语：高考复习，回归教材、回归基础才是正道．急功近利的高考复习可以休矣！

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]岳峻.提升数学思维素养的教学实践与反思[J].中学数学，2015(12):94-96.

[3]岳峻,阮艳艳.细品圆锥曲线与直线一例[J].数理天地，2016(2):4-5.

[4]岳峻.透析考题信息提升解题驱动力——赏析2015年湖北卷第21题[J].中学教研(数学)，2015(8):30-32.

�2016-04-25；

2016-06-01

岳峻(1968-)，男，安徽阜阳人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)10-01-05