习题变式教学在思维对话中进行*

●郭建华

(南京市第二十九中学　江苏南京　210036)

●于　健

(金陵中学　江苏南京　210005)



习题变式教学在思维对话中进行*

●郭建华

(南京市第二十九中学江苏南京210036)

●于健

(金陵中学江苏南京210005)

通过课本习题的辐射功能，让课本习题充分起到“巩固基础知识、提炼解题方法、发展思维的载体”的作用.通过思维对话的形式，调动学生的主观能动性，激活其原有认知结构中适当的观念和感性经验，调动学生有意义的学习心向，让变式教学更具有价值和意义.

习题变式；对话交流；发展思维

著名数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某些蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个.”数学课堂教学中的变式教学，就如同波利亚所说的蘑菇.所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理地转化，即教师可不断更换命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境等，但应保留问题中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.通过变式教学的探究，在思维对话中充分调动学生学习数学的主观能动性，引导学生主动参与探究，从而达到发展学生数学思维的目的.

课本中的习题不仅仅是巩固基础知识、提炼解题方法、发展思维能力的载体，如果我们对它们进行认真研究，那么这些习题还可作为探究教学的重要资源.笔者尝试从课本习题入手，并结合数学探究教学作了初步探究.

下面以苏教版高中数学必修1第3章复习题第14题(第111页)教学为例.

题目[1]若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2个实根α,β满足0<α<1<β<2，求实数t的取值范围.

1　分析解法，深化理解

生1：先求出方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2个实根：

再结合2个实根α,β满足0<α<1<β<2，求出实数t的取值范围.

师：如何判断2个实根x1,x2的大小呢？

生1：令f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，由f(0)=4>0，得t>0，从而x1

解得

师：有没有其他解法?

生2：利用二次方程区间根的分布，结合二次函数图像求解，设f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，因为f(0)=4>0，且方程3tx2+(3-7t)x+4=0的2个实根分别在区间(0,1)和(1,2)上，得

从而

评注此题重在研究一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式3个二次之间的关系，属于中等难度，考查一元二次方程根的分布问题．解法2明显优于解法1，解法1完全从代数的角度思考问题，但不等式的求解较为复杂．解法2借助于数形结合的思想，利用二次方程区间根的分布求解，此解法不但摆脱了思维定式的影响，而且达到了优化思维和简化运算的目的.

2　关注变式，提升能力

在习题教学过程中，教师要善于捕捉一些典型习题的求解信息，以及关注习题的变式教学和探索，沟通数学知识与技能、数学思想与方法的纵横联系.这样不仅能极大地激发学生学习数学的兴趣和热情，而且更有利于学生分析问题、解决问题能力的提升.

2.1改变条件，激活探究思维

变式1设函数f(x)=3tx2+(3-7t)x+4(其中t<0)的2个零点x1，x2，且在区间(x1,x2)上恰有3个正整数，求实数t的取值范围.

生3：其实该题考查的还是3个二次之间的关系，可以利用二次方程区间根的分步求解.

师：二次方程的根是如何分布的?

解得

师：很好，生3通过深刻理解题意，迅速找到了区间根满足的条件.

评注此解法体现了方程的根与函数零点的联系，以及辨别问题与问题之间的区别和联系.培养学生的解题应变能力，注重引导学生从“形”的角度进行思考，抓住“在区间(x1,x2)上恰有3个正整数”这个条件，观察其图像的结构特征，利用数形结合思想再将其转化为二次方程区间根的分布问题.

2.2改造命题，深化探究意识

变式2已知函数f(x)=lg[3tx2+(3-7t)x+4]的值域为R，求实数t的取值范围.

解得

师：对生4的解法有无异议？

生5：老师，他求解的应该是定义域为R时t的范围，故答案不正确.

(其他学生也赞同生5的说法.)

师：很好，那么对值域为R时应该怎么求解呢？

生6：老师，我是这样想的:令μ(x)=3tx2+(3-7t)x+4，由对数函数的性质可知：要使μ(x)能取到一切正实数，才能满足值域为R.当t=0时，显然满足题意，当t≠0时，

生7：老师，我有个困惑，为什么要使函数μ(x)能取到一切正实数呢？

(笔者观察了一下，有一部分学生也存在这样的疑惑.)

师：这个问题问得好，谁来帮助他解决一下.

生8：由于函数y=lgx(其中x>0)的值域为R，当且仅当x能取到一切正实数，否则值域不为R，即μ(x)能取到一切正实数，函数μ(x)的图像与x轴恒有交点.若μ(x)的图像与x轴没有交点，则

即

(此时，教室里响起一片掌声.)

评注将命题改造，体现知识和方法的纵横联系和灵活运用.依据学生的思维特点，对命题进行恰当的变式，不但调动了学生学习数学的主观能动性，还能进一步深化对知识的理解和对解法的探究.2.3变存在型，增强探究能力

变式3已知函数f(x)=3tx2+(3-7t)x+4(其中t>0).是否存在整数a,b(其中a,b是常数，且a

生9：假设存在满足题意的a，b,则必有f(x)min≥a.

师：你是如何判断f(x)min≥a？

生9：否则，不等式a≤f(x)≤b的解集是2个关于对称轴对称的区间的并集，与题意矛盾.

师：很好，那么如何求解呢？

生10：不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}等价于

由f(b)=b，得

(1)

因为a,b∈Z，所以

(2)

由式(2)得

且t>0，故t=3.将t=3代入式(1)，得

9b2-18b+4=0，

综上可知，不存在整数a，b,使得关于x的不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤b}.

评注求解存在性问题，首先假设存在，再根据题意求解.本题的二次不等式a≤f(x)≤b不是被解出来的，而是通过观察、思考二次函数的图像分析出来的，这正是“多思少算”思想的应用，也是高考考查学生分析、解决问题能力的一个重要方向，而这种能力在一定意义上讲比数学知识和技法更重要.要想培养这种能力，必须具有坚实的基础知识和掌握解决问题的相关技巧和方法.

2.4反客为主，掌握探究方法

变式4已知t∈R，函数f(x)=3tx2+(3-7t)x+4,当t∈[1,2]时，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围.

生11：已知t的取值范围，可以将函数f(x)=3tx2+(3-7t)x+4，改为关于变量t的函数g(t)=3tx2+(3-7t)x+4求解.

师：很好，那么如何求解呢？

生11：由g(t)=3tx2+(3-7t)x+4=(3x2-7x)t+3x+4，转化为关于变量t的一次函数，即当t∈[1,2]时，g(t)>0恒成立，得

师：非常棒！解题简捷、美观、迅速，可见方法的选择对解题是非常关键的.

评注此类型的问题主要考查学生处理问题的机智变通能力.实际上是考查多元不等式的恒成立问题，关键要掌握该类问题的解法.该题以t为主元，转化为求一次函数的最小值大于0恒成立的问题，其优点是一次函数比二次函数更容易求解．由此可以看出，在含有2个或2个以上字母的问题中，首先要根据题意适当选取其中一个作为主元，而其余的作为辅元，区分主次，抓住问题的要害，将复杂问题简单化；然后再通过合理构造函数，转化为求函数的最值问题.很多多元不等式问题都可以巧妙地构造辅助函数求解，使得原本扑朔迷离的问题变得直观明了，变得可程序化.因此在教学中应该重视这种方法的引导和渗透，同时还要加强训练，及时归纳总结，才有利于方法的掌握和运用[2]．

3　教学感悟

3.1运用变式教学调动学生学习的主动性

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的其他方式.这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程[3].在新课程理念指导下对习题的变式教学，不但要增强课本习题的辐射功能，而且还要有效改变学生被动接受知识的局面，激发学生学习的主动性.借助于一题多用、多题重组等方式设计变式问题，不仅具有丰富的背景知识，而且渗透着明确的信息意图.变式教学是一种思维对话的学习形式，应不断追求立足于教材、唤发自主、善待差异、体现学生的主体地位，调动学生的主观能动性，激活其原有认知结构中适当的观念和感性经验，调动起学生有意义的学习心向，从而产生主动参与学习的动力，在思维对话中让变式教学更具有价值和意义.

3.2运用变式教学培养学生思维的深刻性

在习题教学过程中，应引导学生从不同的视角对原问题进行变式探究，拓展学生的知识视野和增强学生的探究意识.要想通过变式教学培养学生思维的深刻性，必须引导学生在思维对话中对变式问题不断反思，不但要对知识层面反思，而且要对知识形成过程反思；不但要对解决问题的途径和方法反思，而且要对蕴藏在现象背后的实质反思，意识到寻常现象中的非常之处.同时在变式教学探究过程中还需要师生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而使变式教学在思维对话中成为一个发展的、增值的、生成的过程.

顾泠沅先生说过：变式教学也是不断发展和变化着的，我们要用发展的眼光来看变式教学，要做到更新问题背景、更新知识考点、更新问题发展方向的研究，最重要的是更新教师的教学观念，这样的教学才是有效的．因此，教师要不断更新观念，真正成为学生学习的引导者，通过习题变式教学，不仅使学生所学的知识达到融会贯通，而且让学生在习题变式探究教学中增强学习的信心、体验成功的快乐和感受数学的魅力.更重要的是通过思维对话，让学生释放出无穷的智慧，在共享中得到升华．

[1]单墫.普通高中课程标准实验教科书·数学1(必修)[M].苏州：江苏凤凰教育出版社，2015.

[2]郭建华.例谈解题中“辅助元”的构造[J].高中数学教与学，2014(11)：22-24.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京：人民教育出版社，2003.

�2016-04-27；

2016-06-03

江苏省教育科学“十二五”规划课题(D/2013/02/445)

郭建华(1982-)，男，安徽宿州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)10-06-04