零点问题——函数、方程、图像的交汇点

刘君兰　隋雪芹

(1.山东省荣成市第四中学，荣成　264306;2. 山东省荣成市第三十五中学，荣成　264306)



零点问题
——函数、方程、图像的交汇点

刘君兰1隋雪芹2

(1.山东省荣成市第四中学，荣成264306;2. 山东省荣成市第三十五中学，荣成264306)

新课程标准改革下的数学高考越来越重视对学生综合素质的考查．作为函数、方程、图像的交汇点，函数的零点充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．所以，函数的零点问题能很好地考查学生的综合素质，其考查形式也逐渐多样化发展，但都与函数、导数的知识密不可分．

在近几年的高考中，经常出现利用零点存在性定理或数形结合的方法确定函数零点的个数及其存在范围，以及应用零点求参数的值这样的题． 也经常出现根据函数零点的个数，综合应用函数与方程的思想确定方程解的个数这样的题，题型有选择题、填空题或解答题．此类问题一般有多种解法，如果给出的函数是简单的函数，那么直接求解对应方程便可知零点的个数．如果给出的函数是复杂的函数，那么应先考虑把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察这两个函数交点的个数，再考虑用其他方法来解决函数图像与x轴或平行于x轴的直线的关系．

高考试题对高中教学具有辐射、导向作用．以典型考题为载体研究如何解题，是数学学习中不可缺少的核心内容．我们以下面这道高考题为例，解析函数零点在数学高考中的重要应用．

【典型例题】(2013 湖北)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围为().

C. (0,1)D.(0,+∞)

【题意解析】涉及函数的极值问题必须利用导数解决，所以对f(x)=x(lnx-ax)进行求导得f′(x)=lnx-2ax+1，而极值点是导数等于0的点产生的，所以令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1．因为函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，所以由分析知f′(x)=lnx-2ax+1必须有两个零点，从而把其转化为求函数零点的问题．

解题时主要依据题目的特点：(1)数形结合，利用图像交点的个数对参数的取值来讨论；(2)构造函数，借助导数来研究；(3)分离参数，将参数的取值范围转化为函数的值域．

【多种解法】

解法一：(可根据分类讨论思想利用函数的单调性结合函数图像的特点确定函数与x轴交点的个数从而得出零点的个数)

由题意知f′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)有两个零点从而转化为y=f′(x)的图像与x轴必须有两个交点的问题．

则分a=0,a>0,a<0讨论．

图1

③当a<0时，很显然g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)单调递增，不成立．

点拨：此种方法对学生的综合分析能力要求较高，有的学生对于分类讨论不知如何下手，尤其是遇到较为复杂的函数，更是手足无措．所以在解题时，遇到简单的函数采用此方法较好，但是当函数比较复杂，对分类讨论思想要求较高时，还需慎重．

解法二：(考虑到给定函数比较复杂，则可利用函数与方程的思想进行等价转化，把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数交点的个数)

f′(x)=lnx-2ax+1，令f′(x)=lnx-2ax+1=0，得lnx=2ax-1．

因为函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，所以f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图像有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图像．

图2

解法三：(分离参数后转化为结合某个已知函数图像的特点找其与平行于y轴直线的交点个数的方法)

图3

令g′(x)=0,则x=1．

点拨：分离参数的方法在数学解题过程中应用广泛，它避免了必须进行分类讨论的麻烦．

【典例总结】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用函数本身的性质进行求解；(2)转化为两个熟悉的函数图像的关系，从而构建不等式求解；(3)分离参数后转化为求函数图像的上下关系问题，从而构建不等式求解．

总之， 函数零点问题主要涉及基本初等函数的图像，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．

数学高考中的零点问题，以前都是小题，但近几年却变为解答题，甚至难题．例如，2015年的高考题全国卷1、江苏卷、广东卷，都把函数的零点作为大题、难题来出．掌握好以上三种方法，就能轻松解决零点问题尤其是与零点相关的解答题．近几年数学高考更加重视对学生学习潜能的考查，笔者对各地高考题进行分析研究，发现以零点为载体设计的试题立意新颖，构思巧妙．预计函数的零点问题会成为未来几年高考的热点．

(责任编辑：李珺)