“一类与椭圆有关的最值问题”的教学分析①

陶新芝

(江苏省昆山中学，昆山　215300)



“一类与椭圆有关的最值问题”的教学分析①

陶新芝

(江苏省昆山中学，昆山215300)

圆锥曲线是高中解析几何的核心内容，其最值问题是与不等式、函数密切相关的具有较强综合性的问题．掌握与椭圆有关的最值问题，不仅有助于学生分析问题和解决问题能力的培养，还能够通过渗透数形结合、化归与转化等数学思想，增强思维的灵活性．那么，如何更加有效地指导学生学习“与椭圆有关的最值问题”呢？笔者在实践中进行了多次尝试，并获得一些有意义的经验．

教学中，笔者先通过多媒体向学生演示了“运动的太阳系”，并请学生结合所学知识，从数学角度研究地球公转过程中，地球距离太阳中心的最近和最远的距离．其设计意图在于，利用天体运动中所蕴含的数学问题激发学生的学习兴趣，使学生主动引入平面直角坐标系，用代数的方法思考几何问题，以体现解析几何的本质，并通过把实际问题转化为数学问题，体会数学知识的实际应用价值．

分析：求定点到椭圆上的任意点之间距离的最值问题，常用两点间距离公式求解，通过消元将该问题转化成二次函数的最值问题，用代数方法解决几何问题．或者考虑F点的特殊性，利用椭圆的第二定义，将两点间的距离问题转化为椭圆上点到直线的距离问题，采用数形结合的方法加以解决．

当x=-a时，PFmax=a+c；

当x=a时，PFmin=a-c．

通过观察图形并结合运动的观点(动椭圆上的点定直线或动直线定椭圆)得：

图1

本题是研究焦点到椭圆上任意点的距离的最值问题，目的是引出解决此类最值问题的两种基本方法，即函数法和定义转化法．由上题的研究可以发现，椭圆的右顶点是到右焦点最近的点，其对应的位置在太阳系中称为近日点；椭圆的左顶点是到右焦点最远的点，其对应的位置在太阳系中称为远日点．教学中可引导学生思考：如果定点是长轴上除焦点外的其他点，这个结论成立吗？由此进行下面的探究．

分析：用两点间距离公式求解，通过消元将问题转化成二次函数的最值问题．解题过程中需要关注目标函数的定义域．

当x=-2时，PM2max=9⟹PMmax=3．

教师再结合地球公转问题，引导学生思考，如何计算地球距太阳表面的最近距离．通过回归实际，从学生的直观感知出发得到问题的解决方法，并揭示该问题的本质，即椭圆上任意一点到圆上任意一点距离的最值．

图2

分析：此题有两个动点，考虑先确定一个，利用圆的性质，可知PQmin=PMmin-r，再利用探究问题1的结论即可求得PQmin，则问题得到解决．这个变式是对探究问题1的强化，难点在于对两个动点的处理．利用圆的性质突破难点，这是化归思想的具体应用．

解：设圆M的半径为r，

由圆的性质和题意，可知PQmin=PMmin-r．

在经典问题的几何法解题过程中，我们采用数形结合的方式研究了椭圆上的点到与x轴垂直的直线距离的最值问题，如果直线不垂直于x轴，应该怎样解决？

分析：求椭圆上的点到直线距离的最值问题，可以利用点到直线距离公式构建二元目标函数，再用解决二元最值问题的基本方法来解决；或者借鉴解决经典问题时动直线定椭圆的操作过程，得到平行于已知直线的直线与椭圆相切时切点到直线的距离最近，而最近距离等于切线到已知直线的距离．

解此类问题时，学生很容易想到代数法和几何法这两种解题途径．大部分学生利用代数法解题时会在消元的时候遇到困难；而利用几何法解题时，计算切点又过于复杂．因此可以组织学生进行分组讨论，最后归纳总结：当目标函数不便于直接消元时，可以利用三角换元或者目标函数的几何意义找到解题的突破口．求圆锥曲线上的点到某条直线距离的最值时，利用数形结合思想先求与已知直线平行的且与圆锥曲线相切的直线方程，再求两平行线之间的距离可以避免烦琐的计算．

在“一类与椭圆有关的最值问题”的课堂教学中，笔者运用了系统的方法分析教学问题，建立了解决问题的策略方案．这个过程的科学化运作是行为主义、建构主义等教学设计理论有机结合的结果．

行为主义认为学习是一种行为的变化，强调刺激、反应和强化．这种理论给教学设计的启示是：(1)反应必须在刺激之后立即出现；(2)重复练习能加强学习和促进记忆；(3)与反应正确性有关的信息可以促进学习．本节课在完成例题的解答后，利用探究问题1及两个变式，探究问题2和探究问题3不断刺激，促使学生学习和反复操练，达到强化和巩固的目的．

建构主义认为，学习者要真正获取知识，是学习者在一定社会文化背景和情境下，利用必要的学习资源，通过与他人的协商、交流与合作，由本人进行意义建构而获得的．建构主义强调创设情境，并使学习者进入情境；强调为学习者提供各种资源，让学习者自主学习和探究；强调组织学习者之间进行协商学习．根据建构主义学习理论，教学设计必须体现的是：(1)强调“情境”的重要性；(2)强调以学生为中心；(3)强调“协作学习”的重要性．根据这种教学设计理论，本节课设置并围绕太阳系行星公转的情境，不断提出问题，促使学生充分利用已有的知识体验和生活经验进行独立思考、分组讨论和交流总结，努力实现课程改革中“以学生为本”的基本理念．

根据这两种理论的结合，本节课利用多媒体课件辅助教学，直观形象地展示了问题情境，围绕情境不断提出与椭圆有关的最值问题，层层递进反复强化，始终贯彻以教师为主导，学生为主体，探究为主线，引导学生主动参与到课堂教学的全过程中．从教学效果上看，这种实践是非常有益的．

(责任编辑：李珺)

① 本文系江苏省中小学教学研究2013年度第十期立项课题《普通高中师生共建教学问题库的实践》(编号：2013JK10-L086，主持人：姜红珍、胡福林)的研究成果之一．