“变变变”，只为了让探究有始有终

王玉莲　严育洪

【摘 要】“有趣的乘法计算”是苏教版三年级下册安排的“探索规律”的活动。其目标一是进一步加深对两位数乘两位数计算过程和方法的理解，二是使学生在观察、比较、归纳、类推等活动中，进一步感受探索和发现规律的一般过程，发展合情推理的能力。教师首先围绕教材按部就班进行教学，发现了学生缺乏探究内驱力的问题。因此，在接下来的磨课过程中，教师围绕“改变出场方式，让探究有兴趣”“改变探究过程，让探究有方向”“引领自主探究，让探究有方法”“引导观察比较，让课后有思考”四个方面进行了尝试和探索。

【关键词】探究；兴趣；方向；方法；思考

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）25-0045-04

“有趣的乘法计算”是苏教版三年级下册安排的“探索规律”的活动。其目的一是进一步加深对两位数乘两位数计算过程和方法的理解，二是使学生在观察、比较、归纳、类推等活动中，进一步感受探索和发现规律的一般过程，发展合理推断的能力。

本节课是教材修订后新增的内容，教材编排了四个环节：①探索两位数与11相乘的计算规律；②探索十位相同且个位上相加都等于10的两个两位数相乘的计算规律；③探索形如（a-1）（a+1）的乘法算式与形如a×a的乘法算式的关系；④回顾探索活动的过程。

【初稿】按照教材编排按部就班

第一次教学时，笔者在教材设计的教学流程上作了一点细微的调整。

1. 师生计算比赛，教师口算，学生笔算

师：我们来一场计算比赛怎么样？就比两位数乘两位数。全体小朋友组成一组，老师一个人一组。只要有一个小朋友比我算得快，而且算对，就算你们赢。

……

2. 探索两位数乘11的计算规律

（1）观察24×11，53×11，62×11乘数的特点；

（2）计算得数，比较一个乘数的每个数位上的数和得数的每个数位上的数的关系；

（3）指着竖式说说你的发现，并将发现概括成“两头一拉，中间一加”；

（4）根据发现完成23×11，64×11，59×11，将规律完善成“两头一拉，中间一加，满十进一”，并通过计算进行验证；

（5）速算挑战：21×11，52×11，72×11，67×11；

（6）回顾探索两位数乘11的计算规律的过程。

3. 探索“头同尾合十”的计算规律

（1）观察22×28，35×35，56×54的乘数的特点，发现a. 两个乘数“十位上”的数相同；b. 两个乘数“个位上”的数相加等于10，揭示这类乘法算式有一个名称“头同尾合十”；

（2）计算得数，比较两个乘数和积之间的关系，小组讨论并思考：积的末两位是怎么得来的？末两位前面的数呢？

（3）发现规律，并将规律概括成“末两位 个乘个；前面数 十乘哥”；

（4）根据发现完成15×15，43×47，69×61，特别提醒最后一题计算时十位上要用0“占位”，并通过计算进行验证；

（5）回顾探索“头同尾合十”的乘法算式的计算规律的过程。

4. 探索形如（a-1）（a+1）的乘法算式与形如a×a的乘法算式的关系

（1）出示24×26 44×46 74×76

25×25 45×45 75×75

直接运用规律写出得数，并比较每组的两道题，说说有什么发现。

（2）仔细观察这些题目，你又有什么新的发现？

a. 每组第一题两个乘数个位上都是4和6

b. 每组第二题两个乘数个位上都是5

c. 每组十位上的数相同

d. 下面一题的得数比上面一题的得数多1

（3）讨论：为什么两题的得数会相差1？你能用刚才的规律来解释一下吗？

（4）为什么不比前面的过程？

（5）你能根据35×35=1225推算出一个得数比它小的算式吗？你能根据56×54推算出一个比它得数大1的算式吗？

5. 回顾探索活动的过程，并说说有什么收获

【反思】学生缺乏探究的内驱力

“兴趣是最好的老师。”对数学活动的兴趣是学生有效参与数学学习的前提。探究规律的活动一般都是在反复的计算探究中展开。本节课中，学生的探究兴趣不够持久，一开始教师与学生的比赛形式激发了学生一定的探究欲望，但这种欲望在后面反复的计算、验证中渐渐变得模糊，以至于到了后半部分，学生只是跟着老师的指引按部就班地往前走，这也导致了后面的探究方向不明，探究活动驻足不前。

【一改】改变出场方式，让探究有兴趣

（1）出示口算

34×10=

42×20=

40×27=

（2）出示：先观察前三题，再填出（ ）里的数。

37×3=111

37×6=222

37×9=333

37×（ ）=444

37×（ ）=（ ）

（3）出示：

24×11=

师：你能直接口算吗？

生：不能。

劉同学：我能。

请刘同学口算，其他同学列竖式计算进行验证。

验证结果：刘同学计算正确。

师：刘同学真的可以口算两位数乘两位数吗？这次我们直接来比赛好不好？刘同学口算，其他同学列竖式计算，只要有一个小朋友比刘同学算得快，而且算对，就算你们赢。否则就算刘同学赢。怎么样？

生：好。

……

三轮比赛的结果都是刘同学赢。

【反思】为了让学生的探究兴趣保持得更持久，生生比赛的形式更好地为学生营造了认知冲突的氛围：我不能口算的题目，为什么这个小朋友却可以轻松口算，而且又快又准确，他有什么秘诀吗？带着这样的疑问，学生不知不觉间就被引导到了探究规律的大门前。

从第一组可以直接口算的题目，到第二组通过观察简单的规律再填写得数的题目，再到第三组，一下子找不到计算的规律，就在大部分学生认为必须通过竖式计算才能算出得数时，却有一位学生表示：我可以口算。使其他学生对其速算水平产生了无限的崇拜与羡慕之情，想要与他一样成为速算高手的愿望，一下子激发起了他们强烈的探究并掌握规律的欲望，为下面的探索活动做好了心理铺垫。

【二改】改变探究过程，让探究有方向

“探究两位数乘11的计算过程”教学片断：

（1）师：你也想成为刘同学那样的口算高手吗？那就让我们一起来琢磨一下他是怎么巧算的吧。先来观察一下这些题目有什么共同的特点吧。

生：这些题目都是两位数和11相乘的。

师：是不是任何两位数乘两位数刘同学都是可以口算的？

生：不是的。只能口算两位数乘11。

师：你认为两位数乘11的算式里面——

生：藏着规律。

师：看来，应用规律可以把复杂的计算变得简单，可以提高计算的速度。

（2）师：那就让我们用眼睛认真观察，再用心仔细比较：两位数乘11的积的每一位上的数和原来的两位数比较，有什么发现？

生：我发现积的百位就是原来的十位。

生：我发现积的个位就是原来的个位。

生：我发现积的十位是加起来的。

……

师：我们不仅发现了两位数乘11的计算规律，还用简洁的语言概括出来了，就是“两头一拉，中间一加”。

（3）师：我们发现的这个规律是否一定适用于所有的两位数乘11的算式呢？

生：不一定。

师：我们可以怎样来验证呢？

生：可以举例计算验证。

师：请你们每人举两个两位数乘11的算式，先用发现的规律直接写出得数，再列竖式验证。

生：45×11=495。

师：对吗？

生：对。

师：竖式验证出来得数正确吗？

生：正确。

生：57×11=627。

师：对吗？这个好像不符合“两头一拉，中间一加”的规律啊？

生：这个加起来超过10了。

师：也就是说，“中间一加”可能会出现什么情况？

生：进位。

师：对，满十要怎么办？

生：往百位进一。

师：竖式验证出来得数正确吗？

生：正确。

师：再观察刚才的规律，后面还要加上“满十进一”。

师：有哪个小朋友也是举了这样需要满十进一的例子的吗？你的计算正确吗？

师：有了这个规律是不是就可以快速计算了呢？

……

【反思】“探究规律”课，一方面要使学生能应用发现的规律进行一些简便计算，另一方面，要使学生经历探索和发现规律的一般过程。无疑，对于“探究规律”的课而言，后者的重要性也是毋庸置疑的。从三年级上册开始，教材就开始有意识地安排一些探究规律的课程，目的就是使学生积累探究规律的经验，经历探究活动，感受探究的过程，培养和发展初步的分析能力和合理推断能力。要想做到这一点，就必须要注意引导学生探究的方向，没有方向的探究活动就如没有舵的船，必然偏离它的航向。

在本次教学中教师用一句“是不是任何两位数乘两位数刘同学都是可以口算的？”给学生指明了探究的方向。在本次探究活动中，我们要研究的是两位数乘11的算式，而不是所有的两位数乘两位数都可以的。这样，在之后的自主举例中学生也就有了明确的方向。有了方向的探究活动，可以大大提高探究的效率。

【三改】引领自主探究，让探究有方法

“探究头同尾合十的计算过程”教学片断：

（1）师：刚才你们和刘同学进行了一场计算比赛，看得老师也跃跃欲试，我们也来比一比怎么样？老师找一个同学说一个两位数，老师也说一个两位数，老师口算，你们竖式计算，一个小朋友用计算器计算，还是谁先算得又对又快就是谁赢，好吗？

生：我出46。

师：我出44，得数是2024。我算得对吗？

生：对。

生：我出87。

师：我出83，得数是7221。我算得对吗？

生：对。

生：我出37。

师：你们猜猜老师会出什么数？

生：33。

师：你为什么猜33？

生：因为十位是相同的，个位加起来是10。

师：老师和你心有灵犀，我出33，得数是1221。

师：这个同学发现了，老师出的数都是有规律的。

（2）出示：22×28=

35×35=

56×54=

师：观察这3个算式，有这样的规律吗？

生：有的。十位相同，个位加起来是十。

師：像这样的算式我们给它一个名称——“头同尾合十”。

师：这样的算式，你们要列竖式计算，老师只要口算，你们有什么想法？

生：里面有什么规律？

师：回忆一下，刚才我们学习两位数乘11的计算时是怎样研究规律的？

生：先算出得数。

生：再找出规律。

生：再举例验证。

师：请你们先算出得数，再小组讨论一下发现的规律。

生：积的末尾是两个乘数的个位相乘。

师：简单地说就是“末两位 个乘个”。

生：末两位前面的数是十位上的数乘比它大1的数。

师：简单地说就是“前面数 十乘哥”。

师：他们说的对不对，让我们来看一看。

师：怎样验证？

生：继续举例验证。

学生举例，先用规律计算，再列竖式验证。

展示：

生：43×47=2021

師：符合规律吗？

生：符合的。

生：21×29=69

师：他的计算正确吗？

生：不正确。应该是609。

师：这两个哪个才是正确的？怎样知道？

生：可以估算。20×30=600，得数应该接近600。

师：那竖式计算的结果呢？是609吗？

生：是的。

师：你有什么发现吗？

生：9乘1的得数是一位数，应该在前面添一个0。

师：这个0的作用是什么？

生：占位。

师：从这一题我们可以发现，“末两位 个乘个”，如果乘得的积是一位数，怎么办？

生：用“0”占位。

还有别的同学举了个位上是1和9的例子吗？

生：91×99=9009

……

【反思】近年来，我们的数学课堂开始追求“开放”，倡导能让学生动手的教师不代办，具体实施时这个“度”的把握就变得至关重要。如果让放手变成放任，就会导致学生活动的低效甚至是无效。因此，在放手让学生自主探究的同时，也要适时指引学生运用适当的探究方法，有了科学的方法，学生才能开展有效的探究活动，快速发现规律，培养发现和提出问题的意识和能力，同时提升数学活动的经验。

本次教学中，探究“头同尾合十”的计算规律前，先用“回忆一下，刚才我们学习两位数乘11的计算时是怎样研究规律的？”这个问题，帮助学生回忆了“两位数乘11”的探究经验，同时也为接下来的探究点明了具体的探究方法，使学生在探究活动中做到“有的放矢”。在探究“头同尾合十”的计算规律时，给予学生充分的自主探索空间，不同的学生能有不同的发现，符合课标中“不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。并且，学生再次经历了列式计算、观察两个乘数和积之间的关系、发现积的规律、举例验证、通过验证归纳出具有一定科学性的规律的过程。在这个探索过程中，人人都能有发现，采用的小组合作形式可以让学生团结合作，在思维的碰撞中擦出新的火花。在后面的反馈过程中，每个小组都能说出前面的两个发现，有两个小组在深度探究后有了第三个发现：末两位前面的数等于两个乘数十位上的数乘比它大1的数。学生不仅获得了规律，更获得了探索规律的方法。

【四改】引导观察比较，让课后有思考

“探索形如（a-1）（a+1）的乘法算式与形如a×a的乘法算式的关系”教学片断：

（1）你能应用刚才发现的规律快速计算吗？

出示：24×26=

25×25=

学生快速计算，校对得数。

师：你有什么发现吗？

出示：44×46=

45×45=

学生快速计算，校对得数。

师：现在能说说你的发现了吗？

a. 每组第一题两个乘数个位上都是4和6。

b. 每组第二题两个乘数个位上都是5。

c. 每组十位上的数相同。

d. 下面一题的得数比上面一题的得数多1。

出示：74×76=

75×75=

师：你能应用规律快速写出得数吗？

学生快速计算，校对得数。

师：你能自己创造一组这样的算式吗？

生：34×36=1224，35×35=1225。

师：为什么两题的得数会相差1？

生：4×6=24，5×5=25，25-24=1。

师：为什么不比前面的部分？

生：因为十位都是相同的，所以末两位前面的数肯定是相同的。

（2）下面哪些题目可以用今天学习的规律进行计算？

① 74×76 ②64×44 ③37×11 ④41×49

⑤36×76 ⑥55×55 ⑦29×11 ⑧72×32

生：① ④ ⑥是“头同尾合十”的题目可以用规律计算。

生：③ ⑦是两位数乘11的题目可以用规律计算。

师：剩下的② ⑤ ⑧呢？

生：不是今天学习的规律。

师：这些是“尾同头合十”的题目，你们可以在课后运用今天学习的探索规律的方法来探索一下其中隐藏的规律。

【反思】学习数学最好的方法不是把现成的知识灌输给学生，而是让学生进行“再创造”，让学生自己把要学的数学知识发现或创造出来，教师的任务就是引导和帮助学生。在“探索规律”的课堂中，教师必须引导学生完整地经历提出猜想、验证猜想、表达规律和应用规律的过程。

课尾，依次出示三组“头同尾合十”的算式，让学生再次经历了自主探索并描述规律的过程。教师充分放手，鼓励学生自主观察、计算和比较，在明确这类算式共同特点的基础上，主动发现其中的规律，进一步积累探索规律的学习经验，提高数学思维能力。

最后出示的“下面哪些题目可以用今天学习的规律进行计算”的分类题目，不仅让学生再一次明晰了今天学习的两种规律的特征，还给学生留下了课后的思考：“与‘头同尾合十的外部特征相当类似的‘尾同头合十的题目中究竟蕴藏着怎样的计算规律呢？”

“好课不厌百回磨”，这堂课还可以继续磨下去。值得思考的问题还有很多，比如：探究“两位数乘11”的计算规律时，能不能请刘同学当小老师，介绍他发现的规律。数学的魅力不应该仅仅局限于课堂上学生学习到的知识，还应该包括学生积累的数学活动经验，以及从数学学习中感受到的趣味性和挑战性；数学的学习也不应局限于课堂上，还可以延伸到课外。让学生在数学课上做到“带着问题来，带着问题走。”

（编辑：胡 璐）