渗透数学思想 提炼数学方法

黄怀芳

【摘 要】阐述在平时教学中如何渗透数学思想，形成思想方法，并进行应用。

【关键词】数学思想 数学方法 数学素养

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）07B-0116-02

教过数学的人都知道，要让学生学好数学，不只是让他们自己读读数学课本，强制他们做几道数学题目就可以掌握好数学的。而是要在平时的数学课堂教学中，帮助学生弄清数学每章节内容主要概念的内涵与外延，疏理好该内容所涉及的公理、定理、性质、公式等，特别是要有意识地将该内容所涉及的数学精髓——数学思想，渗透其中。让学生在系统掌握数学基本知识的基础上，培养数学思维能力，掌握数学解题方法，并将数学思想方法灵活运用于平时的数学学习中，从而掌握学习数学的方法，不断提高自身的数学素养。众所周知，数学思想与数学方法是让学生形成数学认知结构的纽带，是学生将数学基本知识转化为解决数学问题基本能力的桥梁，是让学生养成良好的数学素质、形成数学思维及数学创新能力的载体，所以，数学教师，在平时的数学课堂教学中，要重视数学思想的渗透、提炼数学解题方法、培养学生开拓创新的数学思维能力。

一、数学思想的渗透

在平时的教学活动中，我们经常听见有的老师抱怨说“现在的学生真奇怪了，讲课本的数学基本知识，如定义、定理、公式、原理、公理等时都说懂了，讲解习题时也说懂了，但一给他们类似的题目，却又没有思路，不知如何去解题”。这就是学生学习数学时出现的典型的“懂而不会”的现象。

针对诸如此类问题，笔者通过细致地调查研究，发现出现这些问题，是因为有些老师讲解新知时照本宣科、生搬硬套，讲解习题时也只是就题论题、讲完了事，没有让学生理解知识的内涵，没有教会学生掌握解题的思想方法。

如对于某个数学题，他们只向学生展示思维的结果，做完题目便了事，没有重视思维的过程训练，让学生自己仔细审题，积极探究，然后朝着正确的数学思想方向去思考问题；更不会引导学生在做题中，养成良好的数学思维习惯和数学反思习惯，因此无法做到举一反三，触类旁通。下面以例子来说明在教学中渗透数学思想的方法。

比如转化思想中的换元法的应用，如求的值域。

这是复合函数的值域问题，如果用常规方法，那么比较难求。就平方根的性质来看，我们知道，如果用“换元法”，令，则，由知，因，得；于是得到函数的值域为。

学生从这一个题目中，学会了换元法，掌握了转化的基本思想。在这一过程中，要让学生知道数学思想是对数学现象、概念、公理、定理、公式等的本质认识，是数学知识的高度概括，是数学思维的行动指南。在课堂教学活动中重视渗透一些基本且重要的数学思想，如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等。引导学生在平时的训练中恰如其分地运用各种数学思想去解决数学问题。

二、数学方法的形成

数学方法是将数学思想展现在数学认知过程中的具体反映和体现，是解决数学的具体问题、应用数学思想的技能和工具。也就是说，数学方法就是寓数学思想于平时的教学过程与学生练习过程之中，使学生形成个性的思维活动，形成具体的解题方式。

如上面讲的第1个例子，明确数学思考方向（转化思想）以后，教给学应用这个思想去解决问题的具体方法——换元法，并总结出换元法的解题步骤：

（1）写——写出子母函数；

（2）定——定好新元的范围；

（3）求——结合母函数图象求出原函数的值域。

之后，总结出利用换元法求值域的两个关键问题：一要注意新元范围；二用新元 t 去求解（即将旧元 x 换为 t 后，就应该由 t 去求值域，而不能用 x 就去求值域）。之后进行反思，让学生形成“遇难则换”的思维习惯，然后进一步巩固用“换元法”求值域（或最值）的方法，牢记解题步骤。

在分析这两道题的时候，提醒学生观察这个函数，一个是指数函数，一个是对数函数，而且都有（x2-x+3），都是比较复杂的复合函数，如果用常规方法如观察法、图解法、配方法等无从下手，由此要联想“遇难则换”的思想方法，转换思想，通过换元的方法，将比较复杂的函数问题转化为我们常见的基本函数问题，化繁为简、化难为易，从而轻松解决这一类复杂的数学问题。

俗话说得好“授人以鱼，鱼不如授人以渔”，跟学生探索习题时，渗透数学思想，让学生有了明确的思维方向，并在解题的过程中帮助他们提炼出解题的方法。就会取得举一反三、触类旁通的功效，以后学生遇到偏难的题目时，就会很快地想到这些方法，从而迎刃而解。

例2.求函数 y=sin2x-2asinx+1的最小值。

笔者结合自己近25年的高中数学教学经验，经过总结与细致的反思发现，凡是数学学习成绩较好的学生，都是遵循“理清数学知识，形成基本题型”的方法去训练和学习数学，让每个数学内容都与一定的题型相对应，做到举一反三、触类旁通。

“理清数学结构知识”不是简单的整理，而是在理解数学的基本定义、定理、公式、公理等的前提下，将它们进行有机地整合，并提炼成基本的解题思想和解题方法；“形成基本题型”也不是简单归纳几个题目就形成题型，而是将知识的内涵跟学生一起探索清楚，并通过设计一些有针对性的习题讲解，然后才能逐步提炼出相应的解题思想和方法，最后才让学生做到做一个题目掌握一类题目，做一类题目掌握整章知识的内涵。这就是“渗透数学思想，形成数学方法”的魅力。

那么，数学基本思想方法的结构是什么呢？

数学思想方法分两个方面：

一是思想。也就是数学思考（思维）方向，这是一个人在解决实际问题时必须的一种行为方式，而思维是人的高级行为活动，人们常说“数学是思维的体操”，数学最能培养一个的思维能力，这个思维能力包括观察、试验、综合、处理、分析、想象、抽象、概括、联想、类比、猜想、归纳、化归、演绎、一般与特殊的转化等。

二是方法。也就是平常说的数学解题方法，它要求数学人要在理解数学知识内涵的前提下，通过一些习题的讲解与训练，揭示数学知识的本质，并提炼出具体解决数学问题的通法。相对于特殊的解题技巧而言，它更加具有一般规律性。

常见的数学主观题的解题方法有：配方法、换元法、消元法、数形结合法、待定系数法、参数法等。

常见的数学客观题目的解题方法有：特殊值法、代入验证法、数形结合法、筛选法等。

总之，数学思想方法就是用所学的数学基本知识特点，按照数学思维方式去思考，运用数学语言、数学符号等表述事物的状态、关系和过程，并用数学公式、性质、定理等加以推导、演算和分析，以形成对数学问题的猜测、解释、判断和解答的具体方法。