END样本最近邻密度估计的相合性

李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)



END样本最近邻密度估计的相合性

李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)

在END样本下研究最近邻密度估计的相合性，给出弱相合性、强相合性、一致强相合性以及它们的收敛速度的充分条件， 同时研究失效函数估计的一致强相合性.

END样本;最近邻密度估计;相合性

0　引言

1　引理

为了证明本文中定理，先给出几个引理.

引理1[4]设{X1，X2，…，Xn}是END变量.

(1) 如果f1,f2,…,fn均为非降(或非增)函数，则随机变量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是END的.

引理2[13]设{Xi,i≥1}为END随机变量序列，EXi=0,ai≤Xi≤bi,(i=1,2,…)，则∀ε>0，有

记ξ=I(Xi

因此P(supx|Fn(x)-F(x)|>ετn)≤Cn-2.由此即得结论，证毕.

引理5设X1,X2,…,Xn为END样本，F(x)为连续的分布函数，则

引理5的证明取τn=n-1/2(logn)1/2loglogn，由引理4即得，证毕.

引理6设X1,X2,…,Xn为END样本，EXi=0,|Xi|≤b，(i=1,2,…),10,有

2　主要结果及证明

推论1设f(x)在x处满足局部Lipschitz条件且f(x)>0,若取kn=[n3/4(logn)1/4]，t=2，则当n→∞时，有|fn(x)-f(x)|=o(qn)a.s..

推论2设f(x)在R1处满足Lipschitz条件.若取kn=[n2/3(logn)1/3]，t=2,则当n→∞时，有

定理5设定理2的条件满足，则对任何F(c)<1的c，均有

定理6设定理4的条件满足，则对任何F(c)<1的c，均有

在独立的情形下fn(x)强相合的最优速度是n-1/3，一致强相合的最优速度是n-1/4，在这里推论1和推论2说明fn(x)的强相合速度是n-1/4，一致强相合的速度是n-1/6与独立情形还有距离，但是这里强相合速度和一致强相合速度与文献[13]在NA样本t=2的特殊情形下一样，在这里得出相合性的最优收敛速度与t的值成正比，t越大，相合性的收敛速度越优，要想得到最优收敛速度，就要在指数不等式中提高t的取值，因而需要更好的指数不等式.

Ax={|fn(x)-f(x)|>ε}⊂

由于bn(x)→0,cn(x)→0且F′(x)=f(x)，所以当n→∞时，有

因此，当n充分大时，有

(1)

(2)

同理由(2)式，有

因此就有

Ax⊂B1x∪B2x∪B3x∪B4x

(3)

记ξi=I(Xi

(4)

同理，有

(5)

于是，由式(3)和式(5)，有

由引理7和Borel-Cantelli引理，即得定理1的结论，证毕.

定理2的证明沿用定理1证明中的Ax,A1x,B1x,bn(x),cn(x)等记号.由f(x)的一致连续性可知，存在δ>0使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε/4.由kn/n→0知，存在正整数N>1使得当n>N时，有kn/(εn)<δ.从而有

(6)

(7)

关于x一致成立，由微分中值定理，存在θ1∈(x-bn(x),x+bn(x))和θ2∈(x-cn(x),x+cn(x))使得

F(x+bn(x))-F(x-bn(x))=2bn(x)f(θ1)

(8)

F(x+cn(x))-F(x-cn(x))=2cn(x)f(θ2)

(9)

由(6)式和(7)式知，|x-θ1|<δ,|x-θ2|<δ.于是就有

|f(x)-f(θ1)|<ε/4,|f(x)-f(θ2)|<ε/4

(10)

Fn(x+bn(x))-Fn(x-bn(x))-F(x+bn(x))+F(x-bn(x))≥

(11)

(12)

ω∈A2x，则由(9)式和(10)式，有

Fn(x+cn(x))-Fn(x-cn(x))-F(x+cn(x))+F(x-cn(x))≤

(13)

因此

(14)

由(12)式和(14)式得Ax⊂B.由引理3得

由此结论得证，证毕.

类似定理2的证明，因而就有

Wx⊂W1x∪W2x

(15)

类似定理2的证明中的(11)和(12)式，可得：对ω∈W1x，有

(16)

而对ω∈W2x，有

(17)

(18)

(19)

因此有

(20)

(21)

(22)

同理由(17)式和(21)式，有

(23)

联合(15)，(22)和(23)式，得Wx⊂Q1x∪Q2x∪Q3x∪Q4x.重复类似(5)式的过程，由引理7有

由此即得结论，证毕.

推论1的证明若取qn=[n-1/4(logn)1/4],kn=[n3/4(logn)1/4],t=2，由条件可以验证定理3的条件成立.

且注意对vn(x)带有条件f(x)>εqn，则有

证毕.

推论2的证明取kn=[n2/3(logn)1/3],qn=n-1/6(logn)1/6loglogn,t=2，则满足定理4的条件，由定理4得出结论，证毕.

(24)

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(责任编辑赵燕)

Consistency of nearest neighbor estimation of density function for extended negatively dependent samples

LI Yixuan

(Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan 430062，China)

The consistency of nearest denisty estimator for extended negatively dependent samples was discussed.Some sufficient conditions for week consistency，strong consistency，uniformly strong consistency and consistent rates were given,and then the uniformly strong consistency of the hazard rate estimation was investigated in our work.

extended negatively dependent sample; nearest neighbor density estimation; consistency

2016-02-17

李艺璇(1993-)，女，硕士生

1000-2375(2016)05-0396-07

O212.2

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.003