绕积马氏链函数加权和的强收敛性

许雪

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)



绕积马氏链函数加权和的强收敛性

许雪

(湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062)

研究绕积马氏链函数加权和的极限定理，得到绕积马氏链函数加权和强收敛性成立的一系列充分条件.

随机环境;绕积马氏链;加权和;强收敛性

0　引言

20世纪80年代初，R.Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链的一般理论，取得了一系列深刻的结果[1-3].S.Orey[4]在R.Cogburn等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行了深入的研究，并提出了一系列的问题，引起了众多概率论学者的广泛关注，使得随机环境 中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域也进行了深 入的研究[5-8].大家知道，随机变量加权和的强收敛性的研究一直是经典极限理论研究中的热门课题，取得的 结果已十分深入.这种研究不仅仅是受到大数定律研究的推动，而且在考虑线性模型最小二乘估计的相容性时就要讨论随机变量加权和的强收敛性，因此这种研究无疑是非常重要的.据笔者所知，对随机环境情形， 马氏链函数加权和强收敛性的研究结果并不多见.本文中研究了绕积马氏链函数的强极限定理，得到了绕积马氏链函数加权和强收敛性成立的一系列充分条件.本文中约定：C总表示正常数， 且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函数记为IA.

如果对任意A∈A,n≥0有

(1)

设{Xn,n≥0}是随机变量序列，V为一非负随机变量，C>0为常数， 若对任意的x>0，n≥0,都有P(|Xn|>x)≤CP(V>x)， 则称{Xn,n≥0}尾概率一致有界于V，并记为{Xn}

1　引理及主要结论

引理1设Y为随机变量，且对任意的x>0，都有P(|Y|>x)≤CP(V>x)，其中V为非负随机变量，C>0为常数，则对任意的x>0，q>0有

E|Y|qI{|Y|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.

下面我们研究绕积马氏链函数加权和的强收敛性.

(i)EN(V)<∞;

则对任意的k≥1，有

(2)

及

(3)

这里我们约定：对任意的k≥1,X-k≡0.

(i)EN(V)<∞;

则对任意的k≥1，有(2)，(3)式成立.

定理3在定理1或定理2的条件下，若

(4)

则对任意的N≥1，有

其中

定理4在定理3的条件下，若

(5)

则

(6)

2　主要结论的证明

引理2的证明甚易，故略去.

由于

(7)

(8)

从而

(9)

故

(10)

(11)

由引理2知(Zn,σn,n≥0)是鞅差序列， 再由鞅差序列的正交性及引理1知，对任意的1≤p≤2,

(12)

而

(13)

上式最后一个不等式成立基于下列事实：

(14)

综合(10)，(11)及(14)式知(2)式对k=1的情形成立，又由Kronecker引理知(3)式对k=1的情形也成立.

从而

亦即(2)式对k>1成立，又由Kronecker引理知式对k>1也成立.

定理2的证明沿用定理1证明中的记号，并采用同样的证明方法，我们只需证

定理3的证明由定理1或定理2可知对任意的N≥1和k=1,2,…,N，有

注意到

从而有

而

(15)

其中

于是有

(16)

(17)

类似于(11)式的证明有

从而

(18)

由(12)式，完全类似地可以证明

再由Hölder不等式

及

知

(19)

(20)

定理4的证明由于

由定理3，欲证(6)式成立，只需证

(21)

而

从而由(5)式知(21)式成立，继而(6)式成立.

[1] Cogburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete， 1993， 66(2)：109-128.

[2] Cogburn R.Markov chains in random environments：the case of Markovian environment[J].Ann Prob， 1980， 8(3)：908-916.

[3] Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in random environments[J].Ann Prob， 1991， 19(2)：587-604.

[4] Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J].Ann Prob， 1999， 19(4)：907-928.

[5] 王汉兴，戴永隆.马氏环境中马氏链的Poisson极限律[J].数学学报，1997， 40(2)：265-270.

[6] 方大凡.马氏环境中马氏链的Shannon-McMillan-Breiman定理[J].应用概率统计，2000， 16(3)：295-298.

[7] 李应求.双无限随机环境中Markov链的常返性与不变测度[J].中国科学(A辑)，2001， 31(8)：702-707.

[8] 郭明乐.双无限随机环境中马氏链的强大数定律[J].应用数学，2005， 18(1)：174-180.

[9] 万成高.随机环境中马氏链函数加权和的极限定理[J].数学物理学报，2015，35A(1)：163-171应用数学，2016， 29(1)：31-39.

(责任编辑赵燕)

Strong convergence for weighted sums of skew product Markov chains

XU Xue

(Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan 430062，China)

We studied the limit theorems for the weighted sums of skew product Markov chains， and obtained some sufficient conditions for the strong convergence of the weighted sums.

random environments; skew product Markov chains; weighted sums; strong convergence

2016-02-17

许雪(1992-)，女，硕士生

1000-2375(2016)05-0390-06

O211.62

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.002