一类随机变量序列线性形式的强稳定性
2016-09-23万成高李艺璇邢韵
万成高, 李艺璇, 邢韵
(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)
一类随机变量序列线性形式的强稳定性
万成高, 李艺璇, 邢韵
(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)
研究一类随机变量序列线性形式的强稳定性,得到这类随机变量序列具有线性形式强稳定性的充分条件.
随机变量序列;线性形式;强稳定性
称随机变量序列{Xn,n≥1}是尾概率一致有界的,若存在非负的随机变量X及正常数C,使对任意的x及n≥1,都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x)成立,此时记为{Xn}
约定:文中出现的C总表示正常数,它在不同的地方可以代表不同的值.IA表示集合A的示性函数.记
引理1设X为随机变量,且对任意的x>0,都有P(|X|>x)≤CP(V>x),其中V为非负随机变量,C>0为常数,则对任意的x>0,q>0,有E|X|qI{|X|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.
有
引理2设{an,n≥1}和{bn,n≥1}是任意的两个正实数列,cn=bn/an,bn↑∞,{Xn,n≥1}为零均值的随机变量序列且{Xn}
(i)EN(X)<∞;
引理2的证明因为
由Kronecker引理知引理2的结论成立.
(i)EN(X)<∞;
由于
由引理1有
因此有
(1)
以及
(2)
上面最后一个不等式成立基于下列事实:
推论1的证明由定理1及引理2即得.
(i)EN(X)<∞;
定理2的证明只证{Xn,n≥1}⊂Hp的情形.由于
由引理1有
(3)
(4)
(i)EN(X)<∞;
由于
(i)EN(X)<∞;
由条件(i),(ii)有
(i)EN(X)<∞;
下文中总是记α(x):→是正的非降函数,且满足
(A)bn→∞;
(C)xα(log+x),x>0是非降的.
定理5设{Xn,n≥1}是同分布的的随机变量序列,E|X1|α(log+|X1|)<∞,如果{Xn,n≥1}满足下列两条件之一:
定理5的证明因为0<α(x)↓,bn↑∞.由条件(B),可选取m0≥1,α>0,β<0使得当n≥m0时
αn≤cnα(logcn)≤βn
(5)
于是有
(6)
从而有
(7)
先证(i),只证{Xn,n≥1}⊂H2的情形.对n≥m≥m0,由(5)式有cn≥αn(α(logcn))-1,从而
这里m≥m0.于是当m≥m0时有
O(1)+Cβα-2E|X1|α(log+|X1|)<∞,
再证(ii),同样只证{Xn,n≥1}⊂H1的情形.由于
(8)
取c0=0有
(9)
如果{Xn,n≥1}不是同分布的,我们有下面的结论.
定理6的证明只证{Xn,n≥1}⊂Hp的情形,并采用定理5同样的证明方法,易得
(3) 对ρ混合、φ混合等序列,当ρ(n)、φ(n)等满足一定条件时,其混合序列{Xn,n≥1}⊂Hp,其中1≤p≤2这里不一一列举.
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(责任编辑赵燕)
Strong stability of linear forms with a class of random variable series
WAN Chenggao, LI Yixuan, XING Yun
(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)
We discussed strong stability of linear forms in a class of random variable series and got sufficient conditions for strong stability of linear forms with this class of random variable series.
random variable series;linear forms;strong stability
2016-02-18
国家自然科学基金(10571139)资助
万成高(1959-),男,教授
1000-2375(2016)05-0383-07
O211.4
A
10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.001