逐步感悟数学本质

宋洁

[摘 要]学生的知识起点在哪里？教师真的知道学生的内在需要吗？教师如何为学生的学习和探究提供必要的支持？如何激发学生兴趣，引发课堂学习过程中指向核心知识、数学本质的辨析？通过“用方向和距离描述物体位置”的教学实况呈现和课后的反思，探讨数学课堂教学过程中值得讨论和深究的问题，进而改变课堂结构，提炼教学效益的提升策略，让教师与学生一同行走在从“起点”到“终点”的学习之路上。

[关键词]理解学生 提供支持 能力提升 数学本质

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）23-007

一、创设真实情境，找寻探究起点

（课件呈现大海上A号航船发出SOS信号，灯塔处的观测人员发现求救船只。）

师：灯塔上的观测人员怎样向救援队伍发出信号，以便准确对遇险船只进行搜救呢？

生1：遇险船只在北面。

生2：遇险船只在灯塔的北面。

生3：我觉得“遇险船只在灯塔的东北方向”更加准确。

师：同学们能结合自己已有的知识思考问题，让回答更加准确，非常棒！让我们再想一想，这样描述就能准确找到船的位置吗？

生4：还要知道距离、角度……

二、提供思考空间，自主分析实践

（教师给每个小组提供一张练习纸。学生尝试，教师巡视、引导，收集学生素材。）

师：请看清要求后用自己学过的知识尝试解决这个问题，并在小组中分享你的想法。交流过程中，请注意倾听其他同学的发言，可以进行补充、纠正，如果对别的同学的方法有质疑，觉得自己的有道理，也可以坚持自己的想法。（学生先思考，再进行组内的交流分享。教师走入每个小组，了解学生的想法，鼓励学生清晰表达自己的想法。）

三、分享思考过程，激荡思维火花

师：哪个小组先来介绍自己的想法？

生1：我们小组是这样想的。A号船在灯塔的东北方向15千米处。

师：15千米是怎样知道的？

生2（呈现小组练习纸）：根据小提示，图上的每1厘米表示的是实际距离的3千米，我们经过测量发现，图上两点之间的距离是5厘米，所以实际距离就是15千米。

师：其他同学还有不同的想法吗？或是对这个小组的说法有什么意见和建议吗？

生3（呈现自己小组的练习纸）：我们小组觉得这样说还不够准确。“东北”只是给出了一个范围，在东和北之间，并不清楚，所以我們觉得引入角度后讲得更清楚，是东再向北过去60°，距离灯塔15千米处。

师：其他小组能接受他们小组的意见吗？（学生点头）

师：你说的东再向北过去60°，能上台给大家展示吗？（生3上台演示）

师：大家觉得这个建议可以接受了吗？还需要调整吗？

生4：这个说法确实是更加准确了。按照这个说法，我们小组觉得还可以这样说。（呈现小组练习纸）A号船在灯塔的北向东再过去30°方向，距离灯塔15千米处。

师（请学生比划30°）：大家觉得这样可以吗？还有不同的想法吗？

生5：从灯塔出发，先向北走大约12千米，再向东走大约9千米，就能到达A号船。

师：这样走可以吗？

生6：这样表达不够简洁，而且走的路程也比较远。如果这样走，其实相当于走的是一个直角三角形的两条直角边，那不如直接走这个直角三角形的斜边更快。（边说边在自己的图纸上画出直角三角形进行说明）

师（将几个小组的练习纸同时在实物投影下进行展示）：这是你们的主要观点，这几个小组的描述方法都有什么相同的地方吗？

生6：都用自己的办法说出了A号船在海面上的位置。

生7：都用到了我们已经学过的知识来进行说明，说明的时候都包含了方向和距离这两个信息。

生8：都是以灯塔为起点，A号船为终点。

师：说得真好，同学们都能结合已有的知识解决问题，并且努力尝试更加简洁、准确地描述A号船的位置。在数学中，对于这个问题我们有统一的说法。

（教师给出小提示，介绍规范的表达方式，明确以北和南为起始方向的原因。板书：北偏东30°方向3千米处）

师（出示“试一试”）：请结合自己的探究，按标准描述B、C号船的位置。（学生独立思考，自己完成，并在小组中交流）

生9：因为图上的1厘米相当于实际的3千米，我觉得B号船在灯塔的北偏西55°方向9千米处。

师：有不同意见吗？（全班学生都表示同意）

师：谁来说一说C号船的位置。

生10：C号船在灯塔的南偏东65°方向6千米处。

生11：C号船在灯塔的南偏东25°方向6千米处。

师：同一条船，为什么会有两种不同的说法呢？到底谁才是正确的？

生12：因为我们知道描述的时候如果以正南方向为基准，就应该说成南偏东，这个角度也应该是正南方与船只灯塔连线夹角的度数。

生13：如果以正东方向为基准，就应该说成东偏南，这时候才能说是东偏南65°方向，但目前我们已经确定要以正南方向为基准了，所以C号船的位置应该是南偏东25°方向6千米处。

四、肯定中再质疑，感受知识本质

师：一定需要方向和距离这两个信息吗？如果去掉一个信息，就不能准确表示物体的位置了 吗？（有的学生表示肯定，有的表示不确定）

师（课件动态呈现（如右图））：只知道距离，能确定船的准确位置吗？

生1：这样不能确定A号船的位置，因为在灯塔的四面八方都是可以表述为距离灯塔15千米。

师：这时候船在哪里？（用手比划）

生2：这时候船所在位置是以灯塔为圆心，半径为15千米的圆上。

师：如果只知道方向，能确定船的准确位置吗？

生3：不可以。这时候，A号船在一条射线上，每一个点都可以，也不能准确确定位置。

生4：只有知道了方向和距离两个信息，才能找到一个具体的点表示A号船的位置。

师：只知道北偏东，知道的是一个面。再加上角度呢？

生5：可以确定一条线，有了具体的距离，才能确定一个点，才能确定准确的位置。

师：今天我们研究的就是用方向和距离描述物体准确位置的方法。

五、回顾知识结构，体会数学联系

师（课件呈现用数对确定物体的位置和刚研究探讨的新的确定位置的方法）：还记得这种确定位置的方法吗？这和同学们今天自己研究出来的“用方向和距离描述物体的位置”有什么相同和不同之处吗？

生1：两种方法都需要有一个观测点作为观察或是描述的起点，也都需要从起点到达终点。

生2：两种方法都需要用到两个重要条件才能准确地确定物体的位置。比如数对是两条线的交点，是物体的具体位置，今天学习的是由方向和距离确定具体位置。

生3：我还发现，如果只知道其中一个信息，两种方法都不能确定物体的具体位置。

生4：以前学习的用数对表示物体位置，适合在提供了方格的基础上进行，用在实际的地图上似乎不太方便。

生5：地球上的经纬度和用数对表示就很相似，也有角度。

师：同学们的发现很细致，也很精彩，今天我们学习的就是用两个重要的信息来确定、描述平面上物体的位置。生活中也有很多这样的例子，期待你们的精彩发现。

【评析】

一、理解学生需要

六年级下册“用方向和距离描述物体位置”的教学内容，有的教师认为，用传统的讲授法15分钟就可以把知识点传授完毕，加上学生的巩固练习，一节课上得扎扎实实，还可以进行充分拓展。但我们越来越深刻地感受到，学生只有产生内在的解决问题需求，才会积极尝试调用自己的已有经验去思考、表达并解决问题。

如果直接呈现教材图进行指导教学，或是简单粗暴地提取生硬的生活元素进行教学，学生的学习兴趣一定无法调动。在一些“用方向和距离描述物体位置”的课例中，教师常采用闯关、挑战等情境，牵引学生完成学习全程，教师和课件成了主角。而这节课中，教师从科学和生活实际出发，呈现了真实情景，让学生展开学习和研究。常态下，我们确定海上物体位置时，选用最多最准确的其实是GPS，也就是经纬度定位（高精度还可以提供高度，即三维坐标）。所以这个情境的创设基于灯塔上的观测者是科学合理的，也能在生活实际中找到原型，既经得起学生推敲，也调动了学生的兴趣。问题的提出，学生的回答、补充，以及教师的再次追问，让学生经历思考和自我质疑的过程，并在遇到困难的基础上进一步深入思考解决问题的好办法，调用旧知解决新问题的内需自然产生。

二、给予时空支持

“用方向和距离描述物体位置”一课的新授环节，有的教师要求学生看书自学，了解教材中的标准答案，在课堂反馈纠正后，再次进行巩固练习。通过这样的学习，学生往往也能准确解题，完成教材中的學习任务。但这真的是数学学习吗？是学生和我们期待的学习方式吗？

“经历知识形成的全过程比直接知道结果有意义得多。”这才是数学学习的真谛。学生只有自主思考，充分经历探究过程，才能在不断实践、尝试的过程中有效实现知识的建构。

教学中，“简洁、准确”让学生有效调用已有的知识经验对A号船的位置进行描述。学生不仅需要确定方向，还要想办法根据小提示中的信息找出灯塔与A号船之间的距离；不仅需要描述，还要尝试将自己的想法与组内的伙伴分享，争取达成共识。无论想到的、写下的、找到的是什么，都实实在在经历了思考过程；无论是否说服了组员，都需要在头脑中将自己的描述合理化。这个过程耽误时间吗？不！这个过程恰恰需要学生充分经历。让学生拥有了知识形成的全过程，特别是巧妙设计的探究环节为学生提供了一个可充分发挥的空间，才是真正为学生的学习提供了支持。

三、思辨能力提升

我们常听到这样的声音：“教学前教师就知道学生的众多想法，其中也一定有所谓的‘标准答案。那么就简单一些，直接请这样的学生上台介绍，说不清楚就教师告知，这不就既尊重了学生，也可尽快完成新授教学，开始练习巩固了嘛。”但如果这样进行教学，能够引导学生探究的意愿，能够让不同能力的学生充分表达自己的想法吗？答案显然是否定的。因为这样的教学方式也就让学生的自主探究失去了意义，无法让学生主动地思辨。

“在倾听中思考，在表达中思辨”正是培养学生科学学习的重要方式，也是培养学生数学学习精神的重要过程。教学中学生分享、评价、辨析等环节的设置，让思想冲突、以学生为主的学习真正展开。

给学生机会表达自己的想法，在表达的过程中也包含有语言的优化。既让每个学生有安静倾听的机会，参与表达者的思考过程，也能在过程中进行辨别与分析，进而对自己的想法、观点有所扬弃。同时教师不急于否定学生的观点，不急于抛出最标准的答案，而是引导学生在分享、补充、建议的过程中进行充分的对比、思考，找到每种观点和想法的相同与不同。教师引领学生经历知识建构的全过程，不仅仅让学生成为回答问题的人，也让学生拥有提问、追问、辩论的权力与空间，更拥有提出结论的权力。

四、走近数学本质

数学学习不仅是让学生获得结论、知道答案，也需要学生在学习的过程中学会辩证地看待问题，学会对一些观点提出自己的思考、质疑，并用科学的、有序的方式进行验证。在此基础上进一步深化理解，感受知识的本质。“用方向和距离就可以准确地描述物体的位置？真的是这样吗？再简单些可以吗？”这个时候，教师站出来，为学生的思考、提升提供支持，让学生学会换个角度看待问题。这既是一个拓展思维宽度的过程，再次对用方向和距离描述物体位置方法和对平面上二要素确定物体位置方法的深化，同时也推动学生将新旧知识建立联系，进行整合，不断走近数学的本质。

支持学生的学习，需要为学生提供机会，让他们能够有探究思考的空间，并不断学会如何质疑与反思，并在这个过程中经历知识的形成和优化，这既是对数学概念的理解，也是对思想方法形成的把握，这才是我们对数学学科本质的追求。

著名的教育家卢梭在《爱弥儿》中写道：我们在路上不是像驿夫那样追赶路程，而是像旅行家似的沿途观赏。我们心中不只是想到一个起点和终点，而且还想到起点和终点之间相隔的距离。对我们来说，旅行的本身就是一种乐趣。我们的数学课堂也应该是如此的。

（责编 金 铃）