行走在数学与儿童之间

张齐华 周卫东

[摘 要]张齐华老师教学“解决问题的策略”这一课，展现了“一一列举”的策略这一内容是可以上出浓浓的“数学味”的。张齐华老师的课是一节“准、深、透、高”的数学课。

[关键词]解决问题的策略 一一列举 策略机理 数学思想

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）23-003

【课堂回放】

一、课前探索，组内分享

师：王大伯想用22根1米长的木条，围一个面积为20平方米的长方形花圃。如果22根木条要全部用完，而且不能折断，你觉得他能完成这一任务吗？课前，同学们已经就这一问题进行了深入思考与探索，下面请大家先在小组里交流各自的方法和结论。如果出现不同的见解，可以尝试进行讨论、协商，实在说服不了对方的，待会可以在全班范围内进行交流。

师：通过课前的研究，大家觉得王大伯的任务能够完成吗？

师：看来，在能与不能上，大家还存在分歧。现在请觉得王大伯可以完成这一任务的同学带着作品到讲台上来给大家展示和汇报。

二、全班交流，建构策略

生1：我觉得王大伯可以完成任务。我帮他设计了长5米、宽4米的长方形，剩下的4米可以放在一边。（如图1）

生2：我尝试了各种方法，发现都不行。后来我仔细研究了题目，发现里面并没有说不能靠墙。所以，我决定让这个长方形花圃一面靠墙，这样，它的长可以是20米，宽1米，正好用去22根木条，而面积也正好是20平方米。（如图2）

生3：我的方法和他们的都不一样。我觉得围一个花圃，四周至少需要1根木条竖着作支撑，这样一来，22根木条只剩下18根。而18根木条正好可以围成一个长5米、宽4米的长方形，面积正好是20平方米。（如图3）

师：看得出来，三位同学都特别想帮助王大伯解决这一问题。面对这三种方法，能否给出你们的评价？

生4：我不太同意生1的方法。因为题目中说得很清楚，22根木条都要用掉，不能有剩余。他围成长方形后，还剩下4根木条，所以他的方法不符合题目的要求。

生5：我不赞成生2的方法。因为题目中并没有说允许靠墙，而是说，就用22根木条来围一个20平方米的长方形花圃。所以，一边靠墙是不合适的。

生6：我也觉得不行。如果允许一边靠墙的话，那么，方法就不只是这一种，比如长10米、宽2米也能围出面积为20平方米的长方形花圃。

生7：如果允许靠墙的话，那么还可以靠两面墙、三面墙，这样的讨论就没有意义了。所以，题目没有提示有没有墙，其实就是默认不能靠墙。

师：看来，大家对于生2的方法基本也是持否定的态度。那么，生3的方法呢？

生8：生3的方法有点像脑筋急转弯。他竟然让木条站了起来。（学生大笑）

生9：我觉得生3的方法很有创意，但有一个问题，既然可以在四个角落里各竖1根木条，那我们也可以在别的地方继续竖一些。这样，符合要求的情况也就越来越多，这个问题也就失去讨论的意义了。所以，我还是不太赞成让木条竖起来。

师：不管怎么说，这三位同学都在想尽一切办法帮助王大伯解决问题。只是有些解决方式不太被大家接受。如果我们将问题表述得更清楚，就用22根木条平着围一个长方形花圃，不能剩余、不许折断，也不借助其他任何条件，能够围出面积为20平方米的长方形花圃吗？

生（齐）：不能！

师：我们都知道，22根木条可以围出多种不同的长方形，为什么你们觉得不能？能否展示出你们研究和思考的过程？接下来的时间，每一位同学展示完毕后，台下的同学可以给出相应的评价和建议。

生10：我试了一下，如果长是7米，那么宽就得4米，但这个长方形的面积是28平方米，不符合要求。所以我觉得王大伯的要求不可能实现。（如图4）

生11：我反对。虽然我也觉得这个任务不能实现，但你只举一个例子是不能说明问题的，因为周长为22米的长方形有好几种，万一有一种长方形的面积正好是20平方米呢？

师：能给大家展示一下你的作品吗？

生11：我先用22除以2，发现这个长方形的长和宽的和是11米。然后，我想办法把11分成两个数的和，发现只有这五种分法，但这五种分法得出的長方形面积都不是20平方米。所以，我认为王大伯的任务没法完成。（如图5）

生12：我的方法和他的很相似，只不过我是列表的。通过列表，我也发现周长为22米的长方形有五种情况，但每一种长方形的面积都不是20平方米。所以，我也觉得王大伯的任务不可能完成。（如图6）

生13：我发现他们都是按顺序举例的，比如长方形的宽，从1一直列举到5，一个比一个大，而长方形的长从10一直列举到6，一个比一个小。

生14：我觉得按这样的顺序举例有一个好处，就是不容易遗漏。如果不按顺序，弄不好就会漏掉某一种情况。

师：说得真好！看来，列举时我们要按一定的顺序进行。不过，我有一个疑惑，为什么非要把所有情况都列举出来，列举两三种情况不能说明问题吗？

生15：不行。既然要说明不能实现，就得把所有情况都列举出来，并且对所有情况进行一一验证。只有这样，才能说明王大伯的任务不能完成。如果漏掉一种，而这一种情况正好是符合要求的，那就麻烦了。

师：看来，为了解决问题的需要，我们在列举时，不仅要按顺序，而且还得把所有情况都列举出来，在数学上，这就叫一一列举。（板书：有序 一一列举）还有没有不同的方法需要展示的？

生16：我也是一一列举的，但我是根据面积来列举的。我发现，面积是20平方米的长方形只有三种情况（如图7）。通过计算，我发现它们的周长都不可能是22米，所以，王大伯的任务不可能完成。

生17：我先对生16的作品提一点建议。我觉得他在列举时没有按一定的顺序，所以有点乱，如果把长20米的长方形放在第一个，这样看起来更清楚。另外，我也是从面积入手进行思考的，只是我没有列表，而是直接画图。（如图8）通过画图，我发现面积为20平方米的长方形的周长不可能是22米，所以，王大伯的任务不可能完成。

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图8

师：看来，一一列举，列表、画图、算式等方法都是可行的。老师带来了一位同学列舉的情况（如图9），但结果和你们的略有不同。

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图9

生18：我觉得他的列举有问题，比如1号长方形，长是1米，宽却是20米，这样的长方形是不存在的。

生19：我觉得他列举时重复了。比如这里的③号和④号长方形，一个长5米、宽4米，另一个长4米、宽5米，其实这两个长方形是一样的。所以，我觉得他列举的前面三种可以去掉，只留后面三种就可以了。

师：通过他的列举，你们又有什么新的发现？

生20：列举时不仅要有序、不遗漏，同时也要做到不重复。

生21：一一列举时，要把所有符合情况的长方形一个不多、一个不少地一一列举出来，这才是最好的。

三、深入观察，发现规律

师：通过刚才的学习，我们发现，一一列举是解决问题的一种有效策略。正是借助一一列举的策略，我们知道王大伯的这一任务是没法完成的。不过，仔细看一下同学们解决问题时所列的表格（如图10），一个是周长确定、面积在变化，另一个是面积确定、周长在变化。仔细观察图中长方形的长、宽、周长和面积的变化，有没有新的发现？

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图10

生1：我发现，当长方形的周长不变时，长和宽离得越远，面积越小；长和宽越接近，面积越大。比如前面一张表中，从前往后，长和宽的距离越来越接近，它们的面积就越来越大。反过来看，也是一样的。

师：显然，通过有序的列举，我们还很容易从中发现一些有趣的规律呢。

生2：我发现，当长方形的面积不变时，长和宽越接近，周长就越小；长和宽差距越大，周长就越大。（教师板书规律）

师：所有的长方形都符合这两条规律吗？如果继续研究，你会怎么做？

生3：我会继续找一些长方形，让它们周长相等，看看它们的面积会怎么变；然后再找一些长方形，让它们面积相等，看看它们的周长又会怎样变化。

师：请大家自己确定数据，继续验证这一规律是否也适用于别的长方形。

（学生小组内进行研究与验证）

四、实践拓展，应用策略

师：这里还有两个问题，你能尝试着用今天所学的策略进行思考吗？

（1）一张靶纸共三圈，投中内圈得10分，投中中圈得8分，投中外圈得6分。小林投中了两次，他可能得多少分？

（2）两枚硬币同时抛起，落地后会出现几种不同的情况？

师：通过研究，你觉得小林最终的总分可能有几种情况？

生1：我觉得一共有10种情况（如图11），两次都投中的有6种，只投中1次的有3种，两次都没投中的有3种，6+3+1=10种。

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图11

生2：题目中明明说了投中两次，所以，后面的4种情况根本不需要讨论。如果是投了两次，那么就有10种情况。

生3：我觉得不应该是6次，而是5次。10+6=16，8+8=16，两次的总分是一样的，所以可以看作是同一种结果。

师：看来，在解决这样的问题时，我们要审清题意，不能粗心大意；另一方面，在进行一一列举时，还要根据问题的要求，不能重复和遗漏。

生4：对于第二个问题，我觉得一共分3种情况，分别是正正、反反和一正一反。

生5：我反对。应该有4种情况，分别是正正、反反、正反和反正。

（面对究竟是3种情况还是4种情况，学生展开了激烈地争论。最终，教师给出了如下建议：

建议1：给两枚硬币分别标上号码，一枚是1号硬币，另一枚是2号硬币。

建议2：试着用两枚硬币投一投，看看最终出现的正正、反反和一正一反这三种情况是否次数差不多。如果差不多，就说明这是三种情况；如果一正一反更多些，则说明一正一反包含着正反和反正两种情况。

学生就上述两个问题进行再探索，随后汇报。）

生6：通过研究发现，一正一反应该包含两种情况。我们给硬币标上号码后，发现实际上会出现这样四种情况：1号正面和2号正面、1号反面和2号正面、1号反面和2号正面、1号反面和2号反面。没有标号码时，我们还以为一正一反就是一种情况。一标上号，我们才发现原来是不一样的。

师：一一列举时，我们还要细致地去分析和思考。

生7：我们小组进行了实验，一共投了40次，结果发现，一正一反是21次，差不多正好是正正、反反两种情况的总和。我们猜测，一正一反应该包含正反和反正两种不同的情况。

师：所以，如果一一列举出现问题时，实验也不失为一种好的策略，它可以让我们对问题的思考更清晰、更准确。

【要点评析】

听张齐华老师的课，是一种享受。能为他的课点评，是我所愿意的！

张齐华老师关于“解决问题的策略”一课的教学，正是在深刻洞悉教学内容意蕴的基础上，实现着符合自身教学追求和风格的一种完美呈现，给我们带来了一种由内而外的心潮激荡和内心震撼。细细品味，收获颇丰，显然，这是一节“准、深、透、高”的数学课。

一、准：关注策略机理的形成过程

美国著名的数学教育家赫斯认为：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”数学知识的本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。对策略的体验与理解，是学生形成解决问题的策略的中心环节，亦是保底环节，必须让学生充分经历策略机理的形成过程，在“理”上做足文章。张齐华老师的这节课，一方面，重视让学生探索相关解题策略的思考流程与操作步骤，另一方面，引导学生逐步把握相关策略的主要含义与基本特征，让学生在充分亲历应用相关策略解决问题的探索过程中，获得对解决问题策略的直观感受，并形成初步的理性认识，逐步完成对策略的自主建构。为帮助学生理解“一一列举”的策略机理，张齐华老师安排学生进行前置性研究，给予学生充裕的时间和空间进行探索，以获得充分的感性认识和活动经验，然后在课堂上对“木条多余”“利用围墙”“添加支架”等“原生态”的错例进行剖析，并加以提炼和升华，帮助学生建立“吃透、吃准有用信息是建构策略的前提”的心理基礎，再通过算式、列表、画图等途径，从计算周长的维度找到问题的答案，最后，再从计算面积的维度反证“王大伯的任务不可能实现”的推想。三大环节的正推反证，逐层推进，形成了强大的“思维场”，促进了学生对策略机理的深度理解，并对知识实现有效的建构。

二、深：关注数学思想的有机渗透

每个数学知识都兼有事实性、概念性、方法性、价值性四个方面。知识的事实性指人们在日常生活中对此的感悟和总结；没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验；没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号；没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤，而这种价值取向，更多地聚焦于揭示数学知识背后的灵魂——数学思想。

对于“解决问题的策略”版块的教学，许多教师把教学目标定位于引导学生学习“如何列举”“如何画图”等具体的方法，而忽视了对课程标准中关于“体会策略的价值”“增强学生使用策略的意识”的教学建议和要求。其实，解决问题的策略不仅仅对应的是某一种具体的方法，其背后蕴含着丰富的数学思想方法。如，画图，蕴含数形结合的思想和具体画图的方法；倒推，蕴含过程或者运算的可逆性思想以及相应的互逆思想；替换，蕴含过程中不变量的思想和相对应的等量关系……

在张齐华老师看来，方法、策略、思想是三个递进的层次，数学方法上升到一定的高度形成策略，数学策略的进一步凝练并形成了数学思想，而数学思想则是数学学科的核心元素。眼界决定境界，高度决定力度，因而，张齐华老师的数学课总是充满着浓浓的“思想味”而焕发出无穷的张力。在本课中，围绕“周长是11米”这一条件，让学生对各种可能的方法进行排序，突出“有序”“一一列举”，渗透了分类思想；把各种周长等于11米的算式与相应的图形进行匹配，让学生感受一道算式对应着一种长方形，渗透了对应的思想；对各种可能的算式进行排序后进行对比，得出“一个因数在依次增大，另一个因数在依次减小，而两个因数的和是不变的”的结论，渗透了“变与不变”的思想；在第一个学生回答“如果长是7米、宽是4米，面积不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能实现”的结论后，引导学生萌发“你只举了一个例子是不能说明问题的，因为周长是22米的长方形有好几种，万一另外有一种长方形的面积正好是20平方米呢？”的辩证思想，帮助学生形成初步的逻辑推理、科学归纳的意识。

三、透：关注知识教学的隐性价值

“教学追求被吸引，美丽的风景在远方。”张齐华老师深知：每一种策略都具有“战略”思想价值，也就是说，它背后有着更强大的现实意义和运用意义。因而他倡导：学习每一种策略，都要力求揭示这种策略的价值和意义，不仅让学生了解到运用策略能够解决一些典型的问题，还要力求找寻知识的“附加值”，寻找知识的隐性教学功能，带领学生体会那种登高远眺、一览众山小的快感。

教材中的例题是“王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？”张齐华老师把它改编成“王大伯想用22根1米长的木条，围一个面积20平方米的长方形花圃。如果22根木条要全部用完，而且不能折断，你觉得他能完成这一任务吗？”文字变化似乎不大，但细细琢磨，深感意蕴无穷。稍稍改动，例题就有了较大的“增值”空间：原本的例题，只要在周长维度上实现列举，就能找到面积最大的一种状态，而改编后的问题，不仅具有原来的功能，而且还可以从面积的维度来反证列举的各种可能；原本的例题，以直白的求解的姿态呈现，而改编后的问题，以“你觉得他能完成这一任务吗？”这种“判断式”的方式呈现，又使思考、求解的路径多了许多；原本的例题带来的只有“周长确定，面积在变化”的规律，而改编后的例题，除此之外还多了“面积确定，周长在变化”的规律。

在练习阶段，张齐华老师精心设计了“两枚硬币同时抛起，落地后，会出现几种不同的情况？”这一问题，题目虽短但却掀起“轩然大波”：究竟是正正、反反和一正一反共3种情况，还是正正、反反、正反和反正共4种情况？正反与反正是一种情况还是两种情况呢？再次“撩”起学生的兴趣和探求欲。这样的训练，使学生在巩固应用了“一一列举”策略的同时，更为深刻地理解了在“一一列举”中可能涉及的概率问题。

这样的设计，不是奔着理解某个知识点或找到一种解决问题的方法的单一目标“匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣赏啊”的从容心态，有着更为宏观的学科视野。

四、高：关注教学方式的根本改变

就传统的课堂教学状况，数学教育家弗赖登塔尔曾戏称：“每一个人都在睡觉，仅有一个人在讲，这种状态就是教学。”朋友圈里的同行们也在调侃：所谓数学课，就是一个人的狂欢，一群人的寂寞。毋庸讳言，当前的数学课走进了一个怪圈，要走出这个怪圈，需要勇气，需要才气，更需要底气。这些，张齐华老师做到了，“张齐华老师义无反顾地转身了，如果他不转，我们就欣赏不到今天这么精彩的课了。你看，张齐华老师都把课堂还给学生了，我们还死死把控着课堂的每个环节，何苦呢？”（陈洪杰，《小学教学》2016年第1期）

在这节课中，张齐华老师“讷于言而敏于行”，话真的很少，没有了我们所习惯的且叹为观止的“张齐华老师式”语言，更多的是一些提示性的、启发式的、鼓励式的提示语。张齐华老师很善于“造势”，让儿童充分表达各自的所思所想，并“顺其势而改其路，四两拨千斤”，这种相机穿插于儿童自主学习过程中的引导，具备整体观，做到“服务儿童的学，促进儿童的学”，而不是“遮蔽儿童的学，替代儿童的学”。

美国经济学界和政界划时代的学者约翰·肯尼思·加尔布雷有一句名言：“当人们证明改变思想和没有必要改变思想的选择时，人人都忙着证明后者。”是的，思想的改变才是行动改变的前提。张齐华老师课堂的改变，让我们承认，学习在本质上是学生自己的事情，教学所应发挥的作用应该是帮助、促进和催生，而不是替代；让我们承认，教学促进学生的可持续发展，兴趣和好奇心、方法与能力对学习力的培养至关重要；让我们承认，学习不只是知识的累积，更是自我的完善与创造，只有会学习、会思考、会探索，爱提问、爱沟通、爱合作、善交流，学生的灵性才能得到舒展，智慧才能得到绽放。

（责编 金 铃）