X-ss-半置换性对有限群结构的影响

谢凤艳,毛月梅

(1.安阳学院 建筑工程学院, 河南 安阳 455000; 2.大同大学 数学与计算机科学学院, 山西 大同 037009)



X-ss-半置换性对有限群结构的影响

谢凤艳1,毛月梅2

(1.安阳学院 建筑工程学院, 河南 安阳 455000; 2.大同大学 数学与计算机科学学院, 山西 大同 037009)

设X是有限群G的非空子集, 子群H称为在G中X-ss-半置换的, 如果H在G中有一个补充T, 只要(p,|H|)=1，就存在x∈X，使得HPx=PxH, 其中P∈Sylp(T). 研究极小子群和4阶循环子群的X-ss-半置换性对有限群结构的影响, 推广了以往的一些结果.

极小子群;超可解群;X-ss-半置换子群; 饱和群系

文中所有群均为有限群.G表示有限群,U表示所有超可解群的群系.

设H是G的子群.H称为在G中置换的, 如果对G的任意子群K, 有HK=KH. 作为置换子群的推广.s-置换[1]、s-半置换[2-3]、X-置换子群[4]、X-半置换子群[5]、X-s-半置换子群[6]等概念先后被提出. 利用这些概念人们已经得到了许多重要结果[1-9]. 祝明[10]又将s-置换、s-半置换、X-置换子群、X-半置换子群、X-s-半置换子群定义统一推广为X-ss-半置换子群的概念, 并利用Sylow子群的极大子群的X-ss-半置换性刻画群的p-幂零性和超可解性.笔者在文[10]的基础上, 利用Sylow子群的极小子群和4阶循环子群的X-ss-半置换性对包含所有超可解群的饱和群系进行研究, 得到一些结论，推广和改进了一些已知成果.

1　预备知识

定义1[10]设X是G的非空子集, 子群H称为在G中X-ss-半置换的, 如果H在G中有一个补充T, 只要(p,|H|)=1，就存在x∈X，使得HPx=PxH, 其中P∈Sylp(T).

论文用Xss(H)表示子群H在群G中所有满足X-ss-半置换子群定义中补充子群T的集合.

显然所有的s-置换、s-半置换、X-置换、X-半置换、X-s-置换、X-s-半置换子群都是X-ss-半置换子群, 反之不成立[10].

引理1[10]假设H是G的子群,X是G的非空子集,N是G的正规子群. 若H在G中X-ss-半置换的, 则下列断言成立

(1) 若H≤M≤G且X≤M, 则H在M中X-ss-半置换的.

(2) 若H为p-群或者(|H|,|N|)=1,则HN/N在G/N中XN/N-ss-半置换的.

(3) 若T∈Xss(H)且H≤NG(X), 则对任意的g∈G，有Tg∈Xss(H).

(4) 若X≤D≤G, 则H在G中D-ss-半置换的.

引理2[11]设F是包含所有超可解群系的饱含群系,N是G的正规子群且使得G/N∈F.如果N循环, 那么G∈F.

引理3[12]设N是群G的一个非平凡正规子群, 若N∩Φ(G)=1. 则F(N)为G的极小正规子群直积.

引理4[13]设A,B是G的子群且G≠AB. 如果对G的任意元素g，有ABg=BgA. 则G中存在真正规子群N，使得A≤N，或者B≤N.

设F是一个饱和群系.称G的子群H在G中F-可补充, 如果G有一个子群T∈F，使得HT=G.

引理5设F是一个饱和群系,H在G中F-可补充.

(1) 如果H≤M≤G, 则H在M中F-可补充.

(2) 如果N是G的正规子群, 则HN/N在G/N中F-可补充.

证明因为F是一个饱和群系, 所以F对商群及子群封闭, 故(1) 、(2)成立.

2　主要结论及应用

定理1设F是包含U的饱和群系,X是G的可解正规子群. 则G∈F的充分必要条件是G有正规子群E，使得G/E∈F，且E的每个非循环Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在G中要么U-可补充, 要么X-ss-半置换的.

证明必要性显然成立, 只需给出充分性的证明. 假设充分性不成立, 选定一个饱和群系F. 设G为极小阶反例, 并令N是G的极小正规子群. 通过下列断言完成定理证明.

(1)G/N∈F.

因为G/E∈F, 所以(G/N)/(EN/N)≅G/EN≅(G/E)/(G/EN)∈F. 设T/N是EN/N的非循环Sylow子群,L/N是T/N的极小子群或者4阶循环子群. 则存在E的非循环Sylow子群P，使得T=PN且P中存在一个素数阶或者是4阶元素x, 使得L=N. 由定理的充分性条件, 在G中要么U-可补充要么X-ss-半置换的. 由引理1(2)和引理5(2)，得L/N在G/N中要么U-可补充要么XN/N-ss-半置换的. 由G的极小选择, 所以G/N∈F.

(2)N是G的唯一极小正规子群且G=[N]M,M为G的一个极大子群.

因为F是一个饱和群系, 所以由(1)知,N是G的唯一极小正规子群且Φ(G)=1. 故存在G的一个极大子群M使得G=[N]M.

(3)N=GF≤E,N为初等交换非循环p-群,其中p为G的某一个素因子.

由(1)和(2)及G/E∈F，得N=GF≤E. 由(1)G/N∈F及引理2知，N非循环. 如果E可解, 则N可解，从而(3)成立. 如果E不可解. 假设E的每个非循环Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在G中U-可补充.设K是E的一个真子群, 则K的每个非循环Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在G中U-可补充.由引理5(1)知,K的每个非循环Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在K中U-可补充.又因为K/K∈U, 所以K满足充分性条件. 由G的极小选择,K为超可解群. 从而E为极小非超可解群. 由文[12]得E可解, 这一矛盾说明存在E的非循环Sylow子群的极小子群或4阶循环子群, 记为H, 在G中没有U-可补充. 由定理充分性的条件知,H在G中X-ss-半置换的, 即存在T∈Xss(H). 若对G的任意素因子p,Op(G)=1. 由于X是G的可解正规子群, 所以X=1. 设H为q群,Q∈Sylr(G)且Tr∈Sylr(T), 其中(r,q)=1. 从而存在g∈G，使得Q=Trg. 因为H≤NG(X)=G, 所以Tg∈Xss(H). 从而HQ=QH, 即H在G中s-半置换的. 设A是G的一个极小次正规子群. 如果|A|=s,s为素数, 则A≤Os(G), 矛盾. 从而A为单群且非交换. 因为H在G中s-半置换的, 所以对A中任意元素a,HQa=QaH. 因为(|HQa:H|,|HQa:Qa|)=1, 所以由文 [12],HQa∩A=(A∩H)(A∩Qa)= (A∩H)(A∩Q)a为A的子群. 因为(A∩H)(A∩Q)a可解且A不可解, 所以(A∩H)(A∩Q)a是A的真子群. 由引理4 得A非单群. 这一矛盾说明存在G的一个素因子p，使得Op(G)≠1. 由N的唯一极小正规性,N≤Op(G). 从而(3)成立.

(4) 最后的矛盾.

设P∈Sylp(E). 由(3)知,N≤P且P非循环. 设H为包含在N中P的极小正规子群. 所以|H|=p且H≤N≤E. 下面断言:H正规于G. 设T为H在G中的一个补充子群, 即G=HT. 从而N=N∩HT=H(N∩T)且G=NT. 又因为N正规于G且N为交换群, 所以N∩T正规于G. 由N的极小正规性得N∩T=1或者N∩T=N. 若N∩T=1, 则H=H(N∩T)=N正规于G. 若N∩T=N,则N≤T. 故T=G非超可解群. 由定理充分性的条件,T∈Xss(H). 设Q∈Sylq(T), 其中q≠p. 则存在x∈X，使得HQx=QxH. 因为N为初等交换群, 所以H正规于N. 因为N正规于G, 所以H是G的次正规子群. 由于Qx∈Sylq(G), 所以HQx为{p,q}群. 故H∈Sylp(HQx)且H也是HQx的次正规子群. 从而H正规于HQx. 即Qx≤NG(H). 又因为H正规于P, 所以H正规于G.因为N是G的极小正规子群, 所以N=H为p-阶子群. 由(1)G/N∈F及引理2得G∈F. 这一最后的矛盾表明极小反例不成立, 从而定理充分性成立.

注1定理1充分性条件对幂零群不成立. 如G=S3为三次对称群,E=(<123>)为G的3阶循环子群. 则G/E为2阶循环群，当然是幂零群.E仅有一个循环Sylow 3-子群, 于是G满足定理1充分性条件, 但G不是幂零群.

注2定理1充分性条件“4 阶循环子群”不能去掉. 如G=[E]K, 其中E=是4元数群,K是E的3阶自同构群,X=1.则G/E为超可解群. 因为|E|=8且E有1个单位元, 6个4阶元, 1个2阶元. 故E只有一个极小子群记为H=. 因为H正规于G, 因此H在G中X-ss-半置换的. 所以G满足定理1充分性其他条件, 但G不是超可解的.

推论1群G为超可解的充分必要条件是存在G一个正规子群E，使得G/E∈U且E的每个非循环Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在G中U-可补充.

推论2设F是包含U的饱和群系,X是G的可解正规子群. 如果G有正规子群E，使得G/E∈F且E的每个Sylow子群的极小子群和4阶循环子群在G中X-ss-半置换的. 则G∈F.

推论3[3]设F是包含U的饱和群系. 如果G有正规子群E，使得G/E∈F且E的每个极小子群和4阶循环子群在G中s-半置换的. 则G∈F.

推论4[9]设E是G的超可解上根. 如果E的每个极小子群和4 阶循环子群在G中s-半置换的, 则G是超可解的.

定理2设F是包含U的饱和群系,X是G的可解正规子群. 如果G有可解正规子群E，使得G/E∈F且F(E)的每个极小子群和4阶循环子群在G中X-ss-半置换的. 则G∈F.

证明假设结论不成立. 设G为极小阶反例. 令P是F(E)的任一Sylowp-子群, 其中p是F(E)的素因子. 分以下步骤来完成定理的证明.

(1)P∩Φ(G)=1.

设N=P∩Φ(G)≠1. 显然(G/N)/(E/N)≅G/E∈F. 由文[14]可知F(E/N)=F(E)/N. 设T/N是F(E/N)的极小子群或者4阶循环子群. 则对应的存在F(E)的一个极小子群或4阶循环子群H, 使得T=HN. 由定理的条件及引理1(2)得L/N在G/N中XN/N-ss-半置换的. 由G的极小选择,G/N∈F. 因为N≤Φ(G), 所以G∈F. 这一矛盾说明P∩Φ(G)=1.

(2)P=N1×N2×…×Nt, 其中Ni(i=1,2,…,t)为G的素数阶极小正规子群.

因为P正规于G且P∩Φ(G)=1, 所以由引理3知P=N1×N2×…×Nt, 其中Ni(i=1,2,…,t)为G的极小正规子群. 设H为包含在Ni中P的极小正规子群, 则|H|=p. 由定理的条件知H在G中X-ss-半置换的, 即存在T∈Xss(H).设Q∈Sylq(T), 其中q≠p. 则存在x∈X，使得HQx=QxH. 因为Ni为初等交换群, 所以H正规于Ni. 因为Ni正规于G, 所以H是G的次正规子群. 由于Qx∈Sylq(G), 所以HQx为{p,q}群. 故H∈Sylp(HQx)且H也是HQx的次正规子群. 从而H正规于HQx. 即Qx≤NG(H). 又因为H正规于P, 所以H正规于G. 因为Ni.是G的极小正规子群, 所以Ni=H为p-阶循环群.

(3) 最后的矛盾.

G/CG(Li)=NG(Li)/CG(Li)≅Aut(Li).

因为Li(i=1,2,…,m)为素数阶循环群, 所以Aut(Li)为交换群. 从而G/CG(Li)∈F. 因为G/CG(F(E))同构于G/CG(L1)×G/CG(L2) ×…×G/CG(Lm)的一个子群, 所以G/CG(F(E))∈F.

因为G/CE(F(E))=G/CG(F(E)∩E)同构于G/CG(F(E))×G/E的一个子群, 所以G/CE(F(E))∈F. 而E可解, 故由文[12]得CE(F(E))≤F(E). 从而F(E)=CE(F(E)). 因此G/F(E)∈F. 由定理1知,G∈F. 这一最后的矛盾表明极小反例不成立, 从而定理成立.

推论5[3]设F是包含U的饱和群系. 如果G有可解正规子群E，使得G/E∈F且F(E)的每个极小子群和4阶循环子群在G中s-半置换的， 则G∈F.

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(责任编辑朱夜明)

The influence of the X-ss-semipermutability on the structure of finite groups

XIE Fengyan1, MAO Yuemei2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Anyang University, Anyang 455000, China；2. School Mathematics and Computer Science, Datong university, Datong 037009,China)

LetGbe a finite group andXa nonempty subset ofG.AsubgroupHofGis said to beX-ss-semipermutable ifHhas a supplementTinG, such thatHisX-permutable with every Sylowp-subgroups ofTwith (p,|H|)=1. TheX-ss-semipermutability of minimal subgroups was used to characterize the structure of finite groups. Some known results were unified and generalized.

minimal subgroup; supersolvable group;X-ss-semipermutable subgroup; saturated formation

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.05.003

2015-11-10

国家自然科学基金资助项目(11401264); 河南省高等学校重点科研基金资助项目(15A110048)

谢凤艳(1984-),女,河南开封人,安阳学院讲师, 硕士.

O152.1

A

1000-2162(2016)05-0014-04