初中数学“模型”教学之我见

☉江苏省泰州市教育局教研室钱德春

初中数学“模型”教学之我见

☉江苏省泰州市教育局教研室钱德春

一、从“一线三等角”模型说起

近年来，不少教师热衷于将大量数学结论模型化，以模型记忆代替对数学本质的思考，并美其名曰“模型”教学.例如，最近常听教师大谈“一线三等角”，笔者从教三十多年，居然闻所未闻，一度怀疑是否孤陋寡闻了.出于好奇，笔者百度相关内容，发现有关论文有5000多篇，有文章对“一线三等角”模型作出这样的定义：“两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧.若有第三个与之相等的角，其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为‘一线三等角’型相似三角形.这三个等角可以是锐角、直角或钝角.”这个模型用图形和数学符号表示很简单：如图1，已知∠A=∠CPD=∠B，有△ACP∽△BPD.可笔者看懂“一线三等角”模型的表述颇费了一番周折.

图1

我们知道：相似三角形主要研究图形及其数量关系，如线段的比例关系、角的大小关系及线段的位置关系等，“一线三等角”的本质是通过“等角转化”证明三角形相似.如果此类问题算作模型，那么数学中的模型可谓数不胜数.当这样的模型越来越多时，教学难免走向套路与机械训练，学生的记忆负担将越来越重，数学素养将无从谈起.

二、模型教学的现状及原因分析

课程标准（2011版）［1］提出了发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的“问题解决”之过程性目标.数学建模教学是实现课程目标、培养学生创新能力的重要方法与手段.然而，目前有一种将“数学建模”教学异化为数学“模型化”教学的倾向：把一个个数学结论固化为数学模型，弱化了学生发现、提出问题的过程性教学；重视数学形式教学，无视对数学本质的把握；习惯模型套路教学，忽视“问题解决”的方法指导；增加了学生的记忆负担，削弱了学生的能力培养.

例如：前文提到的所谓“一线三等角”的定义有一百多个字，可谓初中数学中字数最多的定义，徒增了学生的理解难度与记忆负担.不知一线三等角模型的倡导者是否考虑过：现行课程标准及教材为什么删除了教学大纲下的射影定理？原因在于所谓的“射影定理”与“一线三等角”类似，是三角形相似的一种情形，本质是“等角转化”，除了增加更多的记忆内容，还有什么意义呢？

再如“用方程解决问题”，传统教材将问题分类成行程、工程、浓度、面积等几种模型，课程标准下的教材改变了这种呈现方式，将方程应用问题重点放在思路分析上，即分析与提取问题信息、寻找与建立相等关系、用含未知数的代数式表示相等关系.这种问题呈现与处理方式改变了原有分类方式限制学生思维、不利于一般意义上模型建构的弊端，但不少教师仍然热衷于将问题分类为几种应用模型，是典型的“穿钉鞋走老路”.

又如，一位老师在数学复习课上开门见山说：“今天我们复习分类思想”，然后整节课的内容都是围绕“分类”来展开，学生拿到问题不假思索便考虑“分类”，课堂练习和作业也是“依样画葫芦”，然而，当学生离开课堂面临新问题时却无所适从.

造成这种现象的原因在于当下的教学评价方式、教师的教育观和教学观走偏.从评价方式来说，考试仍是当下教学评价的主要手段，这导致了社会、学校、教师等对考分的盲目追求，管理者对试卷预测分作硬性规定，命题者只能“将分数送到学生口袋里，还要替他（她）把口袋的盖子扣好”，进而出现试题机械模仿、思维含量低的现象，反过来又导致教师教学中重复讲解，学生按照套路、模型机械训练.某种意义上说，考查创新、理解、辨析和表达能力的试题必然是新题型、新背景、新问题.对学生而言，问题“新”就意味着“难”，如果教师教学只是教给学生模型和套路，不关注数学本质与知识间的内在联系，不关心思维能力发展与学习方法指导，学生在“新题”面前必然束手无策.

三、“数学模型”教学之争

一位老师就“一线三等角”问题，在某QQ群抛出了“模型”教学的话题，立即引来大家的热议.

老师A：当我们给予的基本图形多了，学生会不会丧失分析陌生图形的能力？当我们研究“一线三等角”多了，是否就已经忘了初心：等角转化？教师还是多教给学生自己去反思归纳的方法与习惯吧.

老师B：教师带领学生归纳基本图形，在学生头脑中形成更多的“图式”，更有利于学生分析陌生图形.或许图式训练是中间地带，教学确实应该着眼于比归纳图式更上位的基本方向、策略、方法、思想和思维习惯的引领，但不通过图式训练，学生难以形成几何直观，缺少“图感”，很难上升到策略、思想等上位的东西.或许每题都从概念出发能培养能力，但失去的是教学效率，所以还是先图式再上位引领吧.

老师C：教学其实是一种妥协.学生认知水平与学科严谨的妥协，应试教育与素质教育的妥协，基本图形在培养创新方面有其不足，但亦是当下教学的中间地带，是应试教育和素质教育妥协的产物.

老师D：归纳基本“模型”的教学方法，一方面是思维能力培养的妥协，另一方面对于应试肯定行之有效.因为大多试题很少突破基本范式，这是当下评价体制下的必然结果，因此大多数教师教学也就到此为止.但从素质教育和创新能力培养上说，这种做法值得商榷.

为什么“模型”问题会引来如此争议？这就要追溯到现实的评价体制导致不少教师“模型”化的教学倾向.也有教师已经意识到“模型”化教学的弊端，却苦于深陷怪圈而无法走出.由此引发了笔者的思考：究竟什么是数学模型？数学模型的本质是什么？为什么不少教师对“模型”化教学趋之若鹜？数学建模与“模型”教学有何关系？“模型”化教学对数学能力有何影响？如何实现教学逻辑与认知逻辑的协调融合？

四、数学模型与数学建模

为了弄清上述问题，首先从数学模型及其特点、数学建模谈起.

1.数学模型

什么是“数学模型”？从不同角度有不同的定义.狭义地说，数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型（百度），这里特指大学课程中的计算机编程建模.广义地说，“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构.”如“用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，以及各种图表、图形等都是数学模型”［2］.文2将“数学模型”定义为“把某种事物的主要特征、主要关系系统地抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构.数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映”.由此可见：数学模型的显著特点是简洁性、普遍性，反映数学本质，应用于解决问题.如数学公式、定理就具有简洁性、普遍性和本质性特征，适合于一类问题，方便直接运用，所以定理、公式就是一种数学模型.

例如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，左边是多项式的乘法运算，当然可以根据多项式的乘法进行运算得到右边，但乘得的结果具有结构的简洁性和应用的广泛性特点，故作为公式模型，在遇有含“两数和与两数差的积”的运算时可联想到平方差公式模型直接得出结果.

2.数学建模

“数学建模”是为了解决现实问题而建构的数学模型，并在数学内部或物理、化学及现实生活中获得广泛运用.课程标准（2011年版）把建立和求解模型的过程归纳为：“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义.”数学建模可以按照模型准备、模型假设、模型求解、模型分析、模型检验和模型应用这6个步骤进行（如图2所示）.由于数学模型是对客观事物本质的数学属性的抽象与刻画，所以数学模型能否反映具体情境的本质特征，这就有必要通过模型检验，对模型进行调整、调控甚至重新假设，以最大程度与现实情境吻合.

图2

图3

例如，炮弹发射轨迹问题：如图3，设炮弹发射的初始速度为v0、发射角为θ（0°＜θ＜90°），炮弹运动时间为t，则在不考虑其他因素的情况下，

五、数学模型教学之我见

笔者认为：数学建模是提升能力的载体与手段，教学不能泛模型化；要多关注数学本质，少一点题型分类和模型套路；要引导学生主动建构，少一点教师先入为主的机械灌输；要顺应学生的认知逻辑，避开“模型”陷阱.

1.建模是数学学习的手段，教学不能模型泛化

数学建模的过程是提升学生数学能力的必由之路与有效手段.事实上，所有的公式、定理的教学都是数学建模的教学.其中，公式、定理结论的发现、正确性的验证、结构的提炼、符号化表征就是建模过程；将具体问题的条件、结论结构与模型特征对比分析，并转化为熟知的公式、定理的条件，使演绎或运算过程简化，这个过程就是模型运用过程.

以三角形中位线定理教学为例，结论的发现与证明、结构（条件、结论）的归纳、语言（图形、符号、文字）表征和具体情境中的运用就是典型的模型建构过程.遇有线段中点、线的平行或线段倍分关系时可联想到三角形中位线定理模型.

例如：如图4①，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC， BD⊥AD于点D，M为BC的中点，求证：

图4

我们提倡建模教学，既不是凭空创造新结论，也不能一切都模型化.一方面，毕竟学生学习的公式、定理是前人已有成果，但对学生而言是陌生的、全新的，学生探究的过程就是再创造过程，因此，教学中要通过定理、公式的归纳与证明、发现与推导、选择与运用，培养学生的建模意识，并在这个过程中积累解决数学问题的经验.另一方面，数学模型不可泛化.比如：苏科版教材［4］规定：“经过证明的真命题称为定理”，公式是在数学、物理、化学等自然科学中用数学符号表示数量关系的式子.然而，数学中被证明为真的命题不计其数，表示数量关系的式子也不胜枚举，为什么并没有都称为定理、公式呢？永野裕之说：本质从来就不是复杂的.［5］事实上，教材只是将经过证明正确，具有本质性、普遍性和简洁性特征，适合于同类关系的所有问题的命题（或数学关系）才称为定理（或公式）.一些数学关系或图形尽管没有列入定理、公式范畴，但具有典型性与普遍性、易于理解与表述，抽象为数学模型，对于学生联想、拓宽思路有一定的帮助，也可以提炼为数学模型.但本文所提到的“一线三等角”问题，只需等角转化便能解决，况且其特征表述复杂，不宜作为数学模型.

常常有教师问一些如“直角坐标系的中点坐标公式能不能直接用？”“直接用射影定理扣不扣分？”等问题，这说明教师潜意识里还是以太多的模型记忆替代数学本质方法的探究.如果任由数学“模型”泛滥，学生必然要记住无穷尽的数学模型，那么留下的除了机械记忆、负担加重，还能有什么呢？

2.教学关注数学本质，少教模型套路

数学学什么？怎么教？笔者认为：数学除了知识技能外，最重要的是数学抽象力与想象力.前者是由繁入简，后者是由简驭繁.有句话叫“大道至简”，重要的东西往往是简洁、本质、具有普遍意义的.一位网友将之比作“根与枝叶的关系“，认为根为简，叶为繁，根输养分经干入叶，是由简驭繁；叶通过光合作用经干将养分反哺入根，是由繁入简.“根”越深、越粗则越简，就枝越壮、叶越茂.数学教学就要从“根”出发，回到源头、回到概念，让学生在“温故”中抽象新概念、发现新方法、提炼新思想.抓住了数学的“根”，就能以不变应万变，这种作用是靠大量机械训练与“套模”所无法企及的.

现行的课程标准和教材弱化了模型化内容，但在关注数学本质上着墨颇多.如课程标准（2011年版）中删去的梯形，梯形的“基石”是三角形，通过添加辅助线转化为三角形问题解决；圆中删去的“垂径定理”，根据圆的对称性转化为等腰三角形的“三线合一”解决；直角坐标系中删除的“两点间距离公式”，源头就是直角三角形的勾股定理；方程中删去的“三元一次方程组”，其解法的本质是消元思想，掌握了二元一次方程组的解法，三元一次方程组同理可以消元转化为二元一次方程组解决……课程标准和教材诸如此类变化，旨在引领教师在教学中抓住数学本质，将问题回归到知识之“源”、方法之“根”.

3.引导学生主动建构，切忌机械灌输

如前文所说，数学模型建构的是一种有意义的教学活动，学生的自主建构与梳理，有利于理解数学知识、掌握学习方法、提高创新能力.如果教师凭借自己的经验对学生进行先入为主的“模型”灌输，让学生记住、套用若干数学模型，“拽着”学生的思维向教师预设的模型“走”，结果是限制了学生的思路，扼杀了学生的创新能力，增加了学生的学习负担.

我们来看一教师在讲解下面问题时是如何设计铺垫性问题的.

如图5①，直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b是不小于的常数）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为5的⊙O与x轴的正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方.在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

图5

预设问题串意图何在呢？一是“牵引”学生运用“一线三等角”模型，即由图中的∠EBQ=∠CAQ=∠EQC= 45°得△BEQ∽△AQC；二是为学生铺设台阶：原题中∠CPE=45°与问题①中的∠CQE=45°相同，由QA·QB= b2-25类比联想得到PA·PB=b2-25，这个等式存在，就意味着点P存在，设PA=x，得到方程，只需这个方程有实数根.

这种设计合理吗？学生一定会这样想吗？事实上，⊙O上除E（C外的任意一点P，都有∠CPE=45°，在线段AB上存在点P，使∠CPE=45°，说明点P既在⊙O上，又在线段AB上，因此只要线段AB与⊙O有公共点（相交或相切）且点B在点D的上方即可，由此自然联想到直线与圆的位置关系的判定方法，故作OP⊥AB于点P（如图5②），由得OP≥5.当OP=5时，AB与⊙O相切，符合条件的点P存在，即为垂足P；而当OP＞5时，AB与⊙O相离，符合条件的点P不存在.这说明“一线三等角”模型并非唯一思路，“判断直线与圆的位置关系”的思路或许更加简捷，教者设计那样的问题串事实上限制了学生的思维.

学生探究问题的思路大致是这样的：①发现了什么结论？②这个结论正确吗？③如何去验证？④是否具有一般性？当学生面临一个新问题时会思考：⑤当前问题与已有知识、方法之间有何联系？⑥能否转化为已有知识、方法？⑦如何转化与迁移？⑧如果不能，又如何另辟蹊径？……这个过程就是模型建构过程，其中①、②、③、④是提出模型、建立模型、验证模型过程，而⑤、⑥、⑦、⑧是模型迁移运用过程.随着知识、方法、经验的不断积累，学生会主动地进行模型的建构与梳理，沟通相互间的联系，并在问题解决中实现知识（如数学模型等）的迁移（即同化与顺应）.教师应该研究学生“问题解决”的过程是怎样的，注意发现学生思维的个体差异性，并顺势而为、因势利导，培养学生的建模意识与习惯，引导学生主动建构，根据学生自身的理解与经验，建构适合自己的思维图式与逻辑关系，并在解决问题中甄别、筛选和运用模型.

4.教学逻辑要顺应认知逻辑，避开“模型”陷阱

不少教师有这样的体会：学生上课听得懂，作业也会做，但考不好.文6认为：造成这种现象的根本原因是教学逻辑、认知逻辑和考试逻辑错位，教学陷入了“模型”陷阱.

仍以“分类方法”复习课为例，教师的教学逻辑是这样的：今天我们来讲“××法”……例题后的练习模仿例题“模型”顺利完成，作业也是模仿例题方法.而学生在现实情境或考试中的问题具有一定的开放性，突破了课堂知识的限制，就显得束手无策，这正是教学逻辑不能顺应认知逻辑、学生陷入了模型陷阱所致.

解决问题的方法是教师将教学逻辑与学生认知逻辑有机融合，从而避开模型陷阱.一是引导学生在“问题解决”中建构知识，沟通知识之间的联系；二是提供现实情境，指导学生学会分析问题，通过“‘先行预判’与‘甄选’的过程”［7］，从多种方法、策略模型中寻找、筛选合适的方法与策略，并自上而下将问题逐步后退、逐个分解，使问题取得突破；三是鼓励学生标新立异，选用独特的方法解决问题.经过一以贯之的教学引导，学生的思维能力一定会有大幅提升，同时学生的应试水平也会相应提高，这远非模型套路教学所能比拟的.

六、结语

如何进行数学模型教学的问题，说到底是教学观念的问题，即是以教师为中心还是以学生为中心，是知识本位还是能力本位，是关注学生发展还是专注考试分数.教师要以学生为中心，以能力为本位，将数学建模作为教学的过程与手段，在解决问题时引导学生建构与运用数学模型，“化繁为简，扣住问题本质属性，排减一些非本质的东西来思考问题，为解决问题提供策略帮助”［2］，以此强化建模意识，掌握数学知识与方法，发展数学能力，这才是数学模型教学应有的价值.

1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.李军.关注数学模型扣住问题本质——勾股定理“总统证法”模型题探析.［J］.中学数学（下），2015（6）.

3.周礼寅.一线三等角模型的建立与应用.中国数学教育（初中），2012（10）.

4.杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（七年级下册）［M］.南京：江苏科学技术出版社，2012.

5.永野裕之，著.唤醒你与生俱来的数学力［M］.刘格安，译.台北：城邦文化事业股份有限公司，2015.

6.上课都听懂了考试不会的本质.http：∥learning. sohu.com/20151111/n426002981.shtml.

7.吴俊杰.对一个将军饮马模型问题的三个反思［J］.中学数学（下），2015（6）.Z