高中概念课教学中“问题导学”的案例研究

☉陕西省三原县南郊中学廉　万朝

高中概念课教学中“问题导学”的案例研究

☉陕西省三原县南郊中学廉万朝

一、问题提出

“数学概念反映了一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是具体性和抽象性的辩证统一，具有很强的系统性.［1］”《普通高中数学课程标准》中明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发生、发展过程和本质.［2］”然而在教学实践中，由于种种原因，部分教师对概念的形成过程重视程度不够，认为数学概念就像是一种规定，只要把数学概念给学生解释清楚，并通过举例辨析，明确概念的外延，就算是对概念认识到位了.学生不能认识到概念的形成过程和本质属性，在应用数学概念时，只是死记硬背或套用，导致学生的数学能力和数学思想方法得不到相应的提高.本文旨在以典型案例，通过“问题导学”的方法揭示数学概念的形成过程，从而让学生认识和领会其中的数学思想方法.

二、数学概念中“问题导学”的案例实践

（一）形成性概念

形成性概念就是“同类事物的共同、关键属性可以由学生从大量的同类事物的不同例证中发现，［1］”从而形成概念.

案例1三角函数概念

问题1前面学习了角的概念的推广，推广后的角是如何定义的？它和初中所学的角有哪些不同？

意图：让学生复习推广后的角的概念，即角的顶点放在坐标原点，角的始边与x轴正半轴重合，然后让角的终边绕坐标原点旋转所得到的几何图形.角可以分为正角、负角和零角，且终边相同的角可以表示为｛β|β=α+k· 360°，k∈Z｝.

问题2依据初中所学的锐角三角函数概念及角的推广，如果将锐角的顶点放在坐标原点，相邻的直角边放在x轴正半轴，那么锐角三角函数定义中的对边、邻边、斜边分别对应直角坐标系中的哪些量？用坐标系中的量又是怎样定义锐角三角函数的？

意图：将初中所学的锐角三角函数的定义解析化，用坐标系中的坐标表示对应的量，为三角函数的定义推广做铺垫.

问题3在锐角三角函数的定义中，取终边上任意一点，得到三角函数值都不变，如果取终边与单位圆的交点（在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以1为半径的圆叫单位圆），又如何简化三角函数的定义的？

意图：用单位圆定义三角函数，有利于三角函数定义的进一步推广.

问题4如果将角的终边绕坐标原点旋转，当角的终边在第一象限时，它和锐角三角函数定义相吻合，当角是钝角时，角的对边、邻边不见了，说明用角的对边、邻边等关系定义三角函数有一定局限性，用终边与单位圆的交点坐标能否行得通？若行，又是如何定义的？

意图：用角的终边与单位圆交点的坐标定义钝角三角函数，抓住了问题的共性的、本质的东西，体现从特殊到一般的思想.

问题5如果角的终边在第三象限、第四象限，在y轴正半轴、负半轴，x轴正半轴，负半轴，其三角函数的定义是否都可以用终边与单位圆交点坐标定义？若行，又是如何定义的？

意图：得到角的终边在各个位置的三角函数定义，为任意角的三角函数定义做铺垫.

追问1按照上述方法，如果角的终边相同，那么它的三角函数值相同吗？

意图：强调终边相同的角的三角函数值相同.

追问2三角函数值的正负由哪些量决定？三角函数值随着角的变化又是如何变化的？

意图：得到三角函数值正负的判断方法，三角函数值随着角的变化规律，为三角函数线的得出做铺垫.

问题6任意角三角函数应该如何定义？

意图：任意角三角函数的定义、三角函数值的符号、终边相同的角的三角函数值相同以及三角函数值的变化规律便自然生成.

（二）归纳性概念

归纳性概念是该概念在学生大脑中已经有了直观的雏形，且只是直观的感知，还没有形成完整的数学概念，需要通过数学语言、符号语言准确地完善数学概念.

案例2函数单调性概念

问题1初中已经学习过一次函数、反比例函数等，请同学们画出一次函数y=x+1，反比例函数y=的图像，观察图像说明图像从左到右是如何变化的？

意图：通过函数图像，让学生直观认识函数是递增的、递减的图像特征.

追问由描点法画函数图像的过程可知，由于自变量的变化才引起函数值的变化，函数图像从左到右是上升的或者下降的，反映函数值随着自变量的变化怎样变化？

意图：通过图像直观感知函数值y随着自变量x的增大而增大（或减小）的过程.

问题2在x轴上，从左到右自变量在增大，如何用数学符号反映？

意图：自变量x取两个值x1、x2，当x1＜x2时，表示自变量在增大.

问题3若自变量x在x1、x2处的函数值分别为f（x1）、f（x2），那么自变量在增大，引起函数值在增大（或减小），如何用数学符号表示？

意图：当x1＜x2时，则f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））.

追问由问题4可知，自变量取两个值x1、x2，当x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），并不能说明函数f（x）是递增的（或递减的），那么自变量x应该怎样取值，才能保证满足上述条件时，函数f（x）是递增的（或递减的）？

意图：自变量的取值必须是区间内的任意两个数.问题5结合上述问题的认识，你认为函数是递增的（或者递减的），需要抓住哪些关键因素？

意图：递增（或递减）是针对定义域内的某个区间；自变量x的取值必须是任意两个数x1、x2；当x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））.

问题6函数是递增的、递减的应该如何定义更准确？

意图：在学生对增函数、减函数定义中的几个关键因素的必要性认识清楚后，自然得到增函数、减函数的定义，而且在今后利用其定义在解决问题时，对其关键

追问有理数的四则运算法则在新的数集——实数集中能否还行得通？

意图：在数集扩充过程中，原来的运算法则仍然适合，为引进新的数集做铺垫.

问题4在实数集中，我们还有无法解决的问题，如x2=-1，那又该怎么办？

意图：让学生自然想到必须引进新的符号才能解决这个问题，于是引进新的符号“i”，并规定i2=-1.

问题5按照数的扩充规律，在引进新的数以后，原有的四则运算法则仍然保持不变，那么i与实数2的运算都有哪些？这些运算能否用一个统一的、一般的形式表述？

意图：2+i，2-i，2×i都可以用形如a+bi的形式表示，其中a，b∈R，但又怎么办？

问题6类比分母有理化的方法，结合i2=-1，能否化为a+bi的形式？

意图：得到复数的一般形式a+bi，a，b∈R.因素也就认识到位、应用到位了.

（三）演变性概念

演变性概念就是从低维到高维，从低级到高级的演变过程，是在事物发展过程中，由于新问题的出现，而在原有知识的基础上无法解决的问题，需要引进新的概念.

案例3复数的引入

问题1当初，人们为了数数的需求认识了自然数，但在刻画相反意义的量或解决诸如“3-5”这样的计算时，所产生的矛盾是怎样解决的？

意图：引进负数，并增加了新的符号“-”，从而将数扩充到整数集.

问题2有了整数集以后，为了解决2÷3的问题，又是怎么办的？

意图：引进分数，还要引进一种新的符号——分数线或小数点.

问题3有了分数以后，数集从整数集扩充到了有理数集，但还有问题无法解决，如等腰直角三角形的直角边长为1，其斜边长是多少？又无法表示怎么办？

三、对“问题导学”的反思

新课程理念要求，课堂教学必须充分发挥学生的主体作用，让学生在课堂上要充分思考、交流、讨论，掌握知识的发生、发展过程，领会知识的本质属性.“问题导学”的教学设计正是基于这一点，通过设计相应的问题串，让学生在认识问题、解决问题的过程中，掌握知识、培养能力、开发思维.