“厘清”思路抓本质“讲究”逻辑炼能力——新课程“线面垂直”一课的教学思考及感悟

☉甘肃省天水市第一中学　宫前长

“厘清”思路抓本质“讲究”逻辑炼能力——新课程“线面垂直”一课的教学思考及感悟

☉甘肃省天水市第一中学宫前长

高中数学课程标准实验教科书《数学》（必修2）（人教A版）第二章第三节“直线、平面垂直的判定及其性质”，只要认真读懂教材内容所蕴含的空间位置关系“垂直”的核心概念，就会体现“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程，通过具体实例，按照直观感知、操作确认的数学探索方式得出线面垂直的判定定理，并用精确的语言表达，领悟线面垂直的基本数学模式及其蕴含的数学思想，力争在探究中学习、学习中探究.

一、提出问题

“直线与平面垂直的判定及其性质”是“直线、平面垂直的判定及其性质”第一课时，线面垂直作为直线与平面相交的一种特殊情况，是继线面平行后又一种反映自然规律（位置关系）的基本数学模型.新课标强调直观感知、操作确认，概括出线面垂直的判定定理和性质定理为重点目标，以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，体现线面垂直的“平面化”思想，以及将线面垂直问题转化为线线垂直问题的“降维”思想蕴含其中，加强引导学生通过具体实例的观察、动手操作等活动获得数学结论的过程，形成一定的逻辑推理思维方式，提升学习力和探究能力.因此，如何进行准确定位线面垂直，把握“直线与平面垂直的判定及其性质”的教学是后续立体几何学习的重要环节.

二、研读教材，厘清编排，理解教材

1.准确定位定向

“直线与平面垂直的判定及其性质”一节的主要教学内容就是直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理.“新课标”明确指出：“对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认.”每一位数学教师对课标的理解基本都会准确定位定向，但线面垂直的性质定理是在感知确认线面垂直的判定定理之后的进一步研究，其采取的方式方法可以多种多样，只要依照学生的认知次序和教材编排的顺序，并能够突破“如何有意识地将空间问题转化为平面问题”这个难点，创设积极动脑、动手的课堂平台，充分发挥学生的主体作用，强化直观感知、操作确认等数学活动，让学生真正体验课堂重点和难点所在，激发学生解决问题的迫切期望.

2.厘清教材思路

对教材《数学》（必修2）（人教A版）第二章第三节认真研读之后，教学设计明确重视“线面垂直”的证明方法：通过直线间的垂直来推证直线与平面垂直，即将直线与平面垂直关系（空间问题）转化为直线间垂直关系（平面问题），再将证明线面垂直的问题化归成数学模式.能够灵活运用“平面化”、“降维”思想是解决问题的关键.

教材第65页安排了一个“探究”实验：通过折叠三角形纸片，探究在什么条件下，就能够使折痕与桌面垂直.目的就是给学生直观感知、动手操作，形成对垂直的感性认识，培养学生的几何直观能力，学会在直观感知、操作确认的基础上，归纳、概括出直线与平面垂直的判定定理.为此，通过学生的动手实验，发现“折痕与桌面垂直的关键点时”，后面有意安排一个“思考”进行交流，充分给予学生探究的时间和空间，得出判定定理，体现出教材编写专家的“良苦用心”.紧接着又安排了一个“探究”（逻辑思维推理）：“四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.”进一步强调线面垂直的重要性，在教学时，不能忽视这些编排的微妙变化，应该给予重视，才能更好地领悟到教材编排思路.

教材通过旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，让学生经历、亲历这一些，感知直线与平面垂直的位置关系.顺势提出“一条直线与一个平面垂直的意义是什么？有哪些基本的要求？”的思考，进一步剖析旗杆与其所在地面的射影的位置关系引出直线与平面垂直的概念.这样对线面垂直概念的本质有清晰的认识、把握，为后续立体几何的学习、研究做好扎实的铺垫.

在立体几何知识的深广度上，教材内容精炼、直观，更注重知识的应用；在内容的编排上，对每个知识点划分都很有逻辑性，以知识模块出现及知识点环环相扣，让学生对立体几何知识现成整体性的认识；在例题、习题的配置、教材编排“观察”“思考”“探究”等栏目（部分章节后设置了阅读材料），目的就是培养学生学习数学的兴趣.

3.确定教学重点

化归思想是解决立体几何问题的重要思想方法，能够将直线与平面的垂直问题化归为直线与直线的垂直问题，再由直线与直线的垂直来判定直线与平面的垂直.这充分体现了“平面化”、“降维”思想认识，牢牢抓住“一条直线与平面内的两条相交直线垂直”是线面垂直证明的方向、目标，更是解题时必须寻找的策略方法，自然成为教学的重点.

根据教材、教参（配套的教师用书）点滴提示，线面垂直的证明必须在线线垂直的基础上进行，符合学生的最近发展区的认知特征，再进一步地学习面面垂直的知识，这样做既合情又合理，也能体现教材编排的“螺旋式上升”的理念，更符合学生在认知上“循序渐进”的规律.所以确定教学重点和难点：线面垂直的定义、判定定理探究策略和方法.而线面垂直的概念理解和其证明思路、策略的探究和具体操作方式是这一节课的关键.

4.关注理解“线面垂直”概念

垂直的基本特征是“形成的角为直角”，如何在课堂中让学生关注并理解“平面内两条相交直线”来传达、表示“形成的角为直角”的特征.线面垂直的定义明确给出：线面垂直的判定方法，凸显出线面垂直概念中依附于“直线”的两个特征：第一，直线条数——“平面内任意一条”；第二，直线位置——“平面外直线垂直于平面内的直线”，这两个特征揭示了线面垂直概念的本质.在探究、学习中深刻体会平面内的直线的位置和个数的“任意性”与“无数条”的关系，以及如何准确地表达线面垂直概念的结论.

对于“直线位置——垂直”的实际操作分为两种情况：相交垂直（两条相交直线所成的角为直角）和异面垂直（两条异面直线所成的角为直角），说明“垂直”中蕴含着“平移性”的变化，此时一定注意：一条直线和平面内的无数条直线垂直并不能说明该直线与平面垂直.引导学生通过操作模型来认识、理解和确认：一条直线与平面内的一条直线垂直，就会得到它与这个平面内的平行于那条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直.

对于定义中的、词“直线条数——任意”的理解：“任意”是针对“平面内的直线”来说的，就是“所有直线”，有平面内的直线的位置含义和平面内直线的条数含义两个方面，但“无数条”却不具备平面内直线的“任意性”特征.“任意”与“无数”蕴藏的含义相差太大，注意对比、区别和感悟即可.

平面内的直线通过“任意”体现直线的“直线的位置关系”和“直线的条数”，以及“平面内”的表征才能承载线面垂直概念的本质属性（关键：线不在多，相交则行），为后续的线面垂直的判定定理的理解、概括和表达提供了可操作性的处理策略，更为学生正确地理解和应用线面垂直的判定定理来证明线面垂直做好了铺垫，充分体现线面垂直是空间垂直的核心概念.

5.教学注意的几个细节点

教材中设置的“旁白”、“旁注”是新课程教材的一个亮点，为师生的数学学习留下了更为广阔的思考与拓展空间.如本节教材第64页的“如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？”的“旁白”给学生提出问题，促使学生积极思考、交流、合作探究；第65页的“定理体现了‘直线与平面垂直’与‘直线与直线垂直’互相转化的数学思想”的“旁注”为学生学习线面垂直、探究其数学本质起到“画龙点睛”之效，在教学中要处理好，教材第65页的线面垂直的判定定理在后面的没有匹配相应的例题，需要补充例题.

例题教学的目的是要让学生学会思考，但备课时力求把已有的结论转化成学生的思维过程，极力变成学生“再发现”的过程，在学习过程中最大化地实现知识到能力的转化，促进能力到智慧的生长.

三、整体把握，剖析目标，确定关键

笔者查阅教师教学用书，书中表明用3课时完成“直线、平面垂直的判定及其性质”的教学.基于前面的对教材的深刻钻研和全方位的剖析，再结合教学时间分配用3课时，如何把握线面垂直这节课的教学？如何更好地通过“直观感知，操作确认”的数学活动寻求解决线面垂直问题的思路、策略和方式方法.笔者认为，教师只有站在整章、模块高度准确地把握教材设计意图，并潜心地研读教材，竭尽全力地深化理念和完善教学策略，才能更大增强数学概念的信心和勇气.

1.深化理念，站在制高点提升能力

数学概念凝聚着人类从数、形两方面认识自然、事物的思想精华，在教学时，深化新课标理念，从数学的发展、数学概念的形成、学生的认知等制高点视角进行审视，才能有效提升能力.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法.”数学概念是数学的逻辑起点和支撑点，是学生学习数学概念的认知基础，是数学思维活动的核心.数学概念的学习是一种经历、体验，进而通过深化，才有感悟！

理解线面垂直定义时，一定要强调：一条直线垂直于一个平面，是指这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线.任何利用直线和平面垂直的定义直接判定线面垂直，就要对平面内的每一条直线进行考查，看是否与已知直线垂直，实际操作几乎是不可能的（由于平面内的直线有无数条），进一步促使学生思考用什么可以操作的方法判定线面垂直，此时的学生处于思维的“愤”“悱”状态，最容易激起学生积极思考，探究在“平面内至少有几条直线”与已知直线垂直，而且“这些直线处于怎样的位置”就可以通过判定直线与直线垂直来解决直线与平面垂直的问题.

2.“线面垂直”的认知、能力要求上的剖析

从知识的认知情境看，设置了问题的情境，注重从生活中（旗杆与地面、大桥桥柱与水面的位置关系）、具体操作（正方体或长方体的竖直棱与底面的位置关系）、数学研究（直线与平面垂直、数学符号表述证明过程）、再进一步上升到数学教育（垂直的理解），从直观感知到抽象理解再到数学教育的方式引导学生学习直线与平面垂直的学习.

从知识的量化看，线面垂直的学习在《数学》（必修2）（人教A版）中作为重点，与其相关的结论、定理需要依靠直观感知、操作确认归纳出来的，强化了合情推理意识，线面垂直的理解和应用进一步的体现了“化归”思想，在线线垂直（相交垂直、异面垂直）的不同认知中，很自然地由平面内的线线垂直提升到空间线线垂直，培养了空间想象能力，有利于学生加深对线面垂直的判定定理和性质定理理解，更为后续的线面角、面面垂直以及二面角的学习做好了铺垫.

从能力的立意与提升看，教材凸显了观察、操作、分析、探索、转化、归纳能力，体现了生活中的垂直，到数学中的垂直的整体认识，体悟线面垂直中蕴含的化归思想.线面垂直的判定定理的学习为学生打开知识之门（旗杆与底面的位置关系抽象出线面垂直问题）、开阔视野（从平面问题走向空间问题）、拓展思维（三维问题转化为二维问题处理）、强化数学意识（“平面化”“降维”策略）和提升能力（化归策略的形成和逻辑推理能力的培养）.

3.细化深化新课标，宏观把握教学

数学课堂教学目标是实现高效课堂的必要条件，也是衡量、检测学生学习目标达成的一把尺子.课标“以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中的线面垂直的性质与判定.”其中涉及的行为动词水平有“认识”“理解”，备课时领会这些“关键词”，能够更好地对于程序性知识理解水平的检测准确对应和细化理解水平层次的把握，让学生在符合认知规律的情况下明确学习要求和课程目标，增强学生的空间想象能力和几何直观能力.

将垂直问题放置在情境之中，激发学生的学习兴趣和求知欲，尤其是如何说明线面垂直的策略方法使学生产生释疑的强烈愿望，这时新旧知识的恰当联系，既可构建新的认知结构，又可将新知识纳入原有的认知结构，使新旧知识结构的重新构建，有利于线面垂直概念的形成和相关结论的归纳与概括.

数学是思维能力训练的最好素材，理性精神的培养更需要数学的支持，数学课堂教学生学会思考显得更为重要.怎样教？要以知识为载体，以知识的发生、发展为线路，建构具有逻辑顺序的学习过程，深化理解数学概念，运用科学探究方法，寻找问题解决突破口，采用螺旋上升的方式提升学生对线面垂直的学习，让探究线面垂直的方法、思路和操作过程“常态”化，实现数学育人的根本即着力发展学生思维.

4.教学预设线路的确定

通过运用线面垂直的判定定理和性质定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，让学生进一步理解、掌握直线与平面垂直的判定定理、性质定理，并能正确灵活地运用解决一些具体问题，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，勇于探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强学习上战胜困难的勇气.其教学预设线路图如下：

创设情境：直观感知（生活实例）——给出三个情境（生活、学习、数学），感受“线面垂直”中的“垂直位置”的状态，理解“直线与平面垂直”中“已知直线与平面内直线垂直时直线的任意性”；并要归纳、概况出“垂直”特征：线面垂直的“任意性（任意一条直线）”化归为“有限性（只需在平面内寻找两条相交直线）”体现方式方法.

数学建构：

（1）构建垂直概念——通过经历情境的直观感知，揭示线面垂直的定义本质.

（2）归纳、探究定理（判定定理、性质定理）——经历“分析、探究”的活动，引导学生独立自主地分析、思考如何线面垂直的“无限、任意”问题通过“有限”方式来说明和解决，揭示其数学本质特征，归纳出线面垂直的判定定理和性质定理.

定理运用：巩固定理——简单运用（由课本例题+补充例题）——寻找证明线面垂直的方法；通过例习题处理，化归线面垂直证明的数学模式（重点）：寻找平面内的“两条”“相交”直线都与已知直线“垂直”，“垂直”的方式典例有两种：蕴含于特殊图形（等腰三角形、直角三角形、菱形的对角线、长方形、正方形和其对角线）；凸显于三角形三边的数字关系（三角形的三边勾股数，如3，4，5）.

回顾反思：深化定理——学生总结，学到什么知识？掌握了什么方法？拓展了哪些方面的视野？作业.

5.关注动手实验，探究发现规律

在教学过程中，极力让学生主动探究、获取、形成知识的过程.如何让学生发现、理解线面垂直的判定定理是本节的重点.为了加深定理理解，让学生进行实验操作，可以设计一个三角形纸片让学生做折纸实验，目标是通过寻找如何折才能使折痕垂直于桌面，体会寻找折痕的过程中“怎样折”“怎样展开才能让折痕垂直于桌面”的道理，自然就揭示了实验的本质和规律，达到了“垂直什么”然后才能“垂直桌面”的目标，其中设问要从学生的视角出发，重点放在如何巧妙地设置问题上，实验让学生理解了判定定理，将所学知识与已有知识联系，并对新知识产生兴趣，加深认同感，发掘学生的学习潜能和主动性，形成高效设问.

课题设计主要考虑学生的思维层次和知识层次，以及对教材编写专家的意图理解和所学知识点在整个高中数学中的地位与作用的系统掌握，再有意设置学生做一些高效的数学活动（主动探究、数学实验等），注重细节、讲究结构.

四、教学片断回放

师：上述三个例题都是涉及“形”的视角来证明线面垂直的，其证明过程中最关键的是什么？哪位同学说一说？

生：线面垂直的证明关键是：线线垂直，其中所要寻找的“两条相交直线在平面内”，满足与“已知直线都要垂直”，才能判定线面垂直.

师：下面看看一道补充题，是涉及“数”的视角来证明线面垂直的.

设计意图：让学生通过线面垂图1直的定义、判定定理的学习，能够借用“数—式”关系来体会判断线线垂直，完成线面垂直的证明.

又因为CD∥BE，∠BED=90°，则四边形BCDE为直角梯形BCDE，连接BD，由DE=BE=1，CD=2，∠CDE=∠BED=90°，得∠BDC=45°.在△BDC中，BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos45°=2，所以BC=.又AC=，AB=2，得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC.又BC∩CD=C，从而AC⊥平面BCDE.

点评：学生只会从“形”的方面去寻找“线线”垂直，容易忽略从“数”的角度来判定线线垂直，该题拓展了对线线垂直的判定视野、打破了思维定式，有利于学生思维能力的发展和提升.

…

今天这节课，同学们学习了线面垂直的定义、判定定理和性质定理，掌握了线面垂直证明方法，要抓住“一、二、三”，即一个“关键核心”，两个“寻找视角”，三个“作用导向”.线面垂直的关键是垂直关系.线面寻找的视角方法是：（1）“形”的视角有：两条直线垂直（相交垂直、异面垂直），菱形的对角线、正方形和矩形中的垂直，直角三角形中的垂直等等；（2）“数”的视角有：勾股定理的逆定理和向量法判断垂直.线面垂直的作用导向是：垂直平面内的所有直线（证明线线垂直）、过垂线可以作出垂面（证明面面垂直）和为后续的空间距离、空间角的计算实质上都是转化为线面垂直作为桥梁与解三角形来解决做好铺垫.

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用，尤其要注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.

五、教学感悟

教材是许多专家智慧的结晶，经历多次实践、修改、再实践和再修改日臻成熟.备课时认真研究教材，包括章头言或章头图、阅读材料、“观察”“探究”和“思考”栏目、例题、习题、以及教材空白处的补充知识等成为教学的重要资源，揣测教材编排的真正用意，结合学生适时取舍为教学服务，真正做到“用教材教”.

1.讲究逻辑，提升能力

数学思维能力是数学学习的核心，逻辑思维能力更是数学思维的根本.数学教学的本质就是培养学生的逻辑思维能力和理性精神.数学活动（直观感知、具体操作、审题解题等）是为了更好地思考数学概念、理解数学概念.教学设计更要注意数学问题情境的创设，一定要基于学生的最近发展区，从学生的认知起点，符合学生认知的逻辑发展规律.

2.创设情境，强化思考

教师要能够立足于学生的最近发展区创设数学问题情境，才能够促使学生积极思考，进一步深层次的思考、概括、归纳并提出好的数学问题（适时点拨学生，顺势引导学生从数学内部提出数学问题），问题的提出是自然的，学生面对从生活实例中提出的数学问题，就会积极寻找解决问题的方法、策略，数学活动的情境有利于学生理解、思考数学概念，这样有利于学生后续的数学学习，促进了学生的数学探究，发展了学生的思维能力.

认知心理学认为，数学学习是一种主体参与与情境而持续建构的过程，学习是学生作为主体的亲历亲为的数学活动，教师是引导者、促进者的角色.课堂教学是以数学思想方法为终极目标.简单地说，数学思想方法是一种数学学习的意识和操作策略，常常用于对数学问题的认识与甄别、分析与处理，其中数学思想或隐或现地指导着数学思维活动.

3.厘清思路，促进思维

厘清数学思路，才能够更好地解决“教什么”和“怎样教”的问题，才能够更好地关注“教什么”，让数学概念的本质、形成过程、数学思想方法及数学知识结构在课堂教学中，得到充分的凸现和亲历.数学思维是生动的、活泼的数学策略创造和数学操作方式，合情推理（直觉、归纳、类比联想等）和演绎推理（推理有据、逻辑严谨等）是思维的两种表现方法.数学概念是从直观到形式的归纳、概括等过程，需要教师让学生充分体验概念的形成过程.

在新课程改革下，从数学学科特点出发，要能够对教材的内容、编排的顺序和教学方法进行适当的调整，多思考创设怎样的情境让数学理解在学生的心灵深处发生，恰当地抓住学生，形成“愤”和“悱”的情境，让学生很自然“厘清”数学整体思路，设计出富有个性化特色的教学方案，让学生掌握数学知识的同时“讲究”数学逻辑结构，积极营造数学思考的氛围，学会数学地思考，在思考中提升思维能力，进一步激发学生积极动脑，提升学生发现、解决问题的能力，让学生不断地增强自信和增长智慧.

认真“备课”“理清”思路，“讲究”逻辑培养能力是一种教的态度，更是一种学的态度.数学概念的教与学是一种经历、体验，更是一种数学理解的感悟、升华！

1.宫前长.让位学生思考践行新课理念［J］.中学教研（数学），2012（3）.

2.宫前长.新课程古典概型教学：困惑、解惑与感悟［J］.中学数学（上），2014（5）.Y