加强命题常用的四种途径

☉湖北省监利县第一中学　瞿兆君

加强命题常用的四种途径

☉湖北省监利县第一中学瞿兆君

在解题困难的时刻，或在求解的过程中难以理出头绪时，我们总是想方设法将命题变形，加强命题的条件来寻求破解的蹊径.因为通过解决一个比原命题更强的命题，能使我们运用通法解题的思路变得畅通起来，从而较快地达到所要求解或求证的目标，尤其是对一些较为复杂的不等式的证明、极值的求解，采用加强命题处理，往往会给解题带来生机.

然而，如何对一数学命题进行加强？这是我们大家都很关心的问题.一般地，加强命题常用的手段有四种，即重要不等式、等比级数、构建引理、极端性原理等.

一、构建等比级数加强命题

在数列不等式的证明中，将有关“数”或“式”变为等比级数可获得创新性的解法.

例1设数列｛an｝满足条件：an+1=-nan+1，n=1，2，3，…，且a1≥3.

分析：对于（Ⅱ），因右边只有一个常数项，而左边是n项的和，与已知条件联系不太明显，故直接推证较难入手.当从两边的差异上进行思考时，易使我们产生加强命题的念头，即能否将“1

（Ⅰ）证明：对所有的n≥1有an≥n+2；

证明：（Ⅰ）用数学归纳法证：

当n=1时，由已知得，a1≥3=1+2，即a1≥1+2成立.

假设当n=k时，命题成立，即ak≥k+2，且有ak+1=a2kkak+1，

那么，当n=k+1时，有ak+1=ak（ak-k）+1≥ak（k+2-k）+ 1≥2（k+2）+1=2k+5≥k+3，

即当n=k+1时，命题亦成立.

综上知，对所有n≥1，命题成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an≥n+2，则an+1=a2n-nan+1≥（n+2）annan+1=2an+1.

由此可得an+1+1≥2（an+1）⇒≥2.

从而1+an≥2n+1，

二、构建引理加强命题

在条件难以辨析的情况下，尤其是在解题困难的时刻，注重构建引理加强命题，往往可独辟蹊径，促进解题的创造性思维.

例2已知函数f（x）=ln（1+ax）-ln2+x2-ax（a为常数，a＞0）.

（Ⅱ）由0＜a＜2及（1），得

又φ（1）=0，故φ（x）＞0在（1，2）上恒成立，即引理得证.

三、利用基本不等式加强命题

对条件少而变量多的不等式的证明，灵活运用基本不等式加强命题，可使问题获得巧解.

分析：本题若直接从左推往右或从右推到左，显然较难入手，但运用（x+y）2≥4xy（x，y∈R）加强命题，可使问题迎刃而解.

证明：当z=0时，命题显然成立.

显然这一命题成立，从而原不等式成立.

四、利用极端性原理加强命题

当条件不易统一，或在解题的过程中难以理出头绪时，采用极端性原理加强命题，也是突破困境常用的一种解题策略.

分析：由于两个根号内x2的系数一正一负，若将两边同进平方来消去根号，通过初步计算发现很难奏效.由此想到加强命题.设g（x）=显然原函数的最小值不会小于g（x）的最小值，而g（x）的最小值是较易求的.

解：因为函数的定义域为0≤x≤5，又7＞5≥x，

上是减函数.

又∵g（0）=5，g（5）=52.

故g（x）的最小值为5，当x=0时取得.

又f（0）=0，从而可得f（x）的最小值为5，且当x=0时取得.

鉴于上述，加强命题关键在于针对命题所给的信息，善于类比、联想、试探变更论题.对一命题能否进行加强最易反映解题者的数学功底和创造思维能力，所以它颇受数学高考命题者的青睐.随着新课改的深入发展，现行数学高考改革已由“知识立意”转向为“能力立意”，数学命题愈来愈开放，需用加强命题来求解的试题愈来愈新颖.因此，我们必须认真领会加强命题的实质，掌握加强命题的四种途径，不断地提高创造性的思维能力.

1.2002年数学高考题.

2.苏贤昌，瞿兆君，著．高中数学解题新思路［M］．武汉：华中师范大学出版社，2003．Y