对数学欣赏与数学思维关系的思考

☉湖南省株洲县第五中学　方厚良

对数学欣赏与数学思维关系的思考

☉湖南省株洲县第五中学方厚良

关于数学欣赏，国内发端于徐利治先生，大力倡导者为张奠宙教授.如今谈数学欣赏的文章多起来了，不过所谈数学欣赏，多为什么美呀、真呀，和谐、简洁、对称、奇异等，话题较旧，难出新意，特别是对一线教学，更难做到一以贯之而成为教学常态.近日重读杜威名著《我们怎样思维——再论反省思维与教学的关系》的第十八章“讲课和思维训练”和《民主主义与教育》的第十八章“教育的价值”，眼界为之豁然，心胸为之洞开：数学欣赏应紧紧抓住数学思维训练这根主线，挖掘、彰显数学育人价值，将数学欣赏和数学思维关系有机、有效交融，这才能避开将欣赏作为数学课堂偶尔为之的点缀，“打动人心”、“心领神会”的时刻才有望成为学生每天期望的数学课堂常态.

一、从“价值”的角度看欣赏

1.欣赏是对价值的真正认识

杜威对“欣赏”没有下严格的定义，在文［1］，他是这样描述的：对一件事物的充分经验……对这件事物已经“心领神会”了；或者……这件事物打动了人心，抓住了人心.当这种情况发生时，人是“兴奋的”……先前在心智和某些对象、事实或情境之间的壁垒和障碍，便荡然无存了.心智和事物似乎是联成了一体.这种状态，可用“欣赏”一词来表述.杜威说：有时，我们说起“欣赏的”事物是有价值的.相反地，当事物变得陈腐、过时、不为人所追求的时候，它又“贬值”了.当理智彻底地欣赏一种事物时，它的价值就增高了.思维、知识和价值之间没有内在的对立.然而，单纯从理智上掌握了观念和事实，和在情绪上加以渲染的观念和事实之间，却有着明显的对立.因为这是与个人的需要和满足的感觉相联系的.在后一种情形里，就有直接的价值；就是说，它是被欣赏的.

从中可以看出，欣赏是一种理智肯定和情绪满足的并存状态，可概括为对观念、事物和事实内隐价值的真正认识.所以，谈数学欣赏，应立足于对数学学科思想、精神和价值的真正认识.一方面，要对数学的历史、文化有整体了解，教师应有意识地抓住教学契机进行濡染，以高中数学课程为例，每册的导引、目录，每章的章引言，要纳入教学视野，潜心揣摩，加以教学引导，有助于整体把握，系统认识；重视核心概念的产生背景、历史渊源的绍介和学习，如“函数概念的发展历史”、“数系的扩充与复数的引入”等，以这些相对具体、经典的知识点为“生长点”，播下数学欣赏的种子，滋养数学欣赏的习惯.

2.从内在价值和工具价值两个维度实现对价值的真正认识

要发挥数学的育人价值，实现数学欣赏，有必要对数学内在价值和工具价值有一定程度的了解和认识.我们可以借鉴杜威在文［2］的观念描述：

对于内在价值，杜威认为，就任何科目在经验中都具有一个独特的或无可替代的功能来说，就任何科目都标志着生活所特有的丰富的内容来说，各种科目的价值是内在的，或者是不能比较的……一个科目在某地某时应该有一个为自己的利益供人欣赏的善.一句话，它只是作为一种愉快的经验.

所谓工具价值，就是所学习的课题所以有价值是因为课题以外的目的……具有作为达到目的的手段的内在价值.

杜威认为，我们不能在各种科目中建立一个价值的等级，企图把它们排成次序，从价值最小的科目开始，进而到具有最大价值的科目，这是枉费心机的.杜威认为，价值就是丰富的或完全的经验的名称，杜威主张经验的统一性或整体性.学科欣赏，就是珍视学科的态度和对学科内在价值的肯定.杜威反对把课程的科目分成欣赏的和工具的，虽然文学和美术具有特殊的价值，代表最好的欣赏，但每门科目在它发展的某个阶段，对和它有关的个人来说，应该具有审美的性质.所以，如果不是这样，那么当时间和地点要一个科目用作手段或工具时，就会碰到困难.一个科目从来没有因其自身而被学生欣赏过，那么它就无法达到别的目的.

从“普通高中数学课程标准（实验稿）”前言关于数学价值的描述部分，我们可以这样认为，数学的科学价值、文化价值是其内在价值的主要形式.数学的科学价值体现在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥独特的、不可替代的作用.数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.数学的应用价值即为数学的工具价值，既体现为其他科学的基础，也表现为广泛的实际应用.

数学欣赏与数学思维关系突出地表现在理性思维的形成，数学的确定性、清晰性是其重要的衡量特征.抓住了数学思维，就突出了数学育人价值，就有望将数学欣赏落到实处.

二、欣赏应成为数学思维的常态和基本形式

杜威认为，思维与现实，理智活动与欣赏，是不可分的.杜威反对下面做法，即把科目明显地划分为一方面是掌握事实和原则的学科，如算术、物理等，一方面是为了个人欣赏所需要的学科，如文学、美术和音乐等.杜威认为在所谓“知识性的”和“理智性的”学科中，生动的欣赏也是基本的，也就是说也会有情感反应和想象的推测.把人类分成一部分是感情的，另一部分是冷静的、理智的；一部分是事实的，另一部分是想象的.这是不正确的，是由错误的教育方法造成的.所以，首先要转变数学教师的课程观念，不要把数学作为纯“知识性的”、“理智性的”学科，一味地严肃、冷静，甚至极端为“不食人间烟火”，应努力把生动的数学欣赏变为数学教学、数学思维的常态和基本形式；其次，要运用科学的教育原理和教学方法来指导数学教学，譬如，杜威的反省思维；又譬如，皮亚杰、维果茨基和布鲁纳等的认知发展理论.

要实现将欣赏成为数学思维的常态和基本形式，特别要重视想象力的培养和为数学欣赏提供情境教学背景.

1.想象力是数学欣赏的媒介

杜威认为“想象力是在每一个知识领域中能够欣赏的媒介.任何活动都必须运用想象力，才不致流于机械的性质”.所以，要实现数学欣赏，也必须把想象力作为重要媒介.

一方面，空间想象能力提法是我国数学教学的传统，也是对想象力重要性认识、认可的体现，研究空间形式而缺乏空间想象，就象鸟儿飞翔却没有翅膀.

数学是抽象的，数学概念形式化定义的获得和理解，需要以想象力为媒介.杜威认为“有欣赏力的现实感必须和用符号表述的经验区别开来……即使是纯粹的‘事实’，只有包含想象力的个人反应才可能真正感到有价值”.所以，一方面需借助想象力，将直接的数学活动抽象概括为数学符号代表的知识、结论，同时，借助想象，数学符号化的知识才能使人了解直接的意义，从而指导和应用于具体的实践活动.

稍稍回顾数学发展的历史，重要数学概念、数学思想的孕育和诞生，都是经典想象力的神助.所以，缺乏想象力的数学学习，必然是乏味、机械和枯燥的，离数学欣赏十万八千里，将想象力放在重要的位置，鼓励学生启动思维，大胆想象、善于想象，激动人心、打动人心的数学美才会展现.

2.情境教学，提供心理的现实感或欣赏的背景

“经验”是杜威教育哲学基本而重要的概念，杜威又将其分为直接经验和间接经验，直接经验是我们亲身参与的，不是通过有代表性的媒介物的介入而获得的；由语言、符号等工具获得的经验是间接经验.杜威认同个人直接经验的范围非常有限，需借助媒介物拓宽纯粹直接经验的范围，依靠文字获得有效的有代表性的经验或间接经验.杜威指出，“心理的现实感”和“欣赏”（或真正的欣赏）是表示对事物现实感的比较精致的说法，要欣赏事物的直接经验的含义，唯一的方法是获得直接经验.所以，杜威强调，学校教育在教学能通过符号的媒介完全的传达事物和观念以前，必须提供许多真正的情境，个人参与这个情境，领会材料的意义和材料所传达的问题.杜威认为，在小学教育中，直接经验的背景的要求最为显著，但是情境教学原则也适用于每一门科目的初级阶段，中学和大学每一个新领域的实验室工作，主要的和基本的作用在于使学生直接熟悉一定范围的事实和问题，而且要明白，掌握技术和作出概括以及验证概括的方法最初是次于欣赏的.

将杜威的观念运用于高中数学教学，特别是数学欣赏，首先是要认识到情境教学的必要性与重要性，不能从抽象的语言、符号开始，不能盲目、想当然地认为学生对于种种情景已经具有足够的直接现实基础；其次，情境或背景的设置要便于学生从直接经验能够迅速地、有效地和用符号表达的教材联系起来，情境既为了解符号的教学提供教材的手段，又是为唤起对用符号传达的材料的虚心态度的手段；再次，情境不是目的，数学欣赏要从直接经验出发，以数学理性思维发展、优化和深刻为目的，从而领悟数学本质、感受数学思想、体会数学精神和认识数学价值，全面提高学生数学素养.

三、数学教学的检验，要以学生对数学生动的欣赏程度为依据

杜威说，对任何学科教学的检验，最后要以学生对该学科生动的欣赏程度为依据.其所持的理由是，人在本性上和常态中是一个整体，只有理智与情绪、意义与价值、事实与想象融合在一起，才能形成品性和智慧的整体.杜威在《怎样思维》一书中是以反省思维作为教育的目的，认为如果没有欣赏，种种问题和疑问，则只是反省思维的真正刺激物，或多或少只是一种外部的强制，而不能一心一意地去加以感受和对待.显然，杜威将学生对学科生动的欣赏程度作为学科教学检验的依据是适用数学学科的.杜威这一观念的意义，提升了对教学评价的品位，不是简单的知识技能的掌握标准，甚至也不只是能力层面的涵盖.数学欣赏，有数学知识、技能这些“干货”，也有方法、思想这些“抽象”，还有能力、素养这些“虚的“东西.欣赏程度有深浅，有维度，杜威没有给出欣赏程度划分的标准和意义，这是一个值得研究的课题.结合数学学科特点和教学实践，确立以学生对数学学科生动欣赏程度为数学教学检验依据为数学欣赏开拓了新视野，使数学欣赏不是点缀，更不是时髦的风尚追逐，将切切实实为数学教学服务和提供指导.

1.［美］约翰·杜威，著.我们怎样思维·经验与教育［M］.姜文闵，译.北京：人民教育出版社，2005.

2.［美］约翰·杜威，著.民主主义与教育［M］.王承绪，译.北京：人民教育出版社，2001.

3.章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益［J］.数学通报，2013.Y