把握问题层次实施有效追问

☉江苏省海门市四甲中学　夏华

把握问题层次实施有效追问

☉江苏省海门市四甲中学夏华

追问”就是在学生回答了教师提问之后，教师富于启发性、有针对性的再次“提问”.通过追问达到教师强调某个关键点的目的，让学生抓住重点，搞清楚问题的本质；通过“追问”引导学生更为深入理解需要强调的关键问题，并努力地想把问题彻底弄清楚.追问是高效课堂中提高教学质量的有效手段.

下面展示笔者在教学中的几个案例，与读者分享.

一、审题追问引导解题思维

案例1对于数列｛an｝，定义数列｛bn｝如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值，如｛an｝是单调增数列，a3=4，则b4=3；若数列｛an｝的通项公式为an=2n－1，n∈N*，则数列｛bn｝的通项公式_________.

本题是一道新定义的题目，难度较大，为了解答好此题，教师从如下几个角度进行追问：

（1）要想解决好此题必须通过理解定义，怎么才能搞清定义的本质？

（2）如何转化条件，化难为易？进而不断地向学生的最近发展区靠拢.

师：大家对这个问题，为什么没有思路呢？难在哪里？

生1：看不懂题目的意思.

师：哪个地方看不懂？

生1：就是这个新定义.

师：一般地，新定义的问题应该怎么做？怎么想？

生1：要么仔细推敲新定义的内涵，要么先用特例尝试着理解一下定义的意思？

师：那么你做到了吗？

生1：没有，就是无法理解定义，太抽象了.

师：抽象的问题也没什么可怕的，就是特殊化、具体化.大家都来做同一件事情——具体化，换句话说就是把定义用具体的实例简单地翻译一下，要求不算高吧？（学生重新开始热烈地讨论）

生2：若“a3=4，则b4=3”对应的解释是：对于单调增数列｛an｝，对于正整数4，b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值.

师：怎么理解？

生2：｛an｝是单调增数列，即a1＜a2＜a3=4＜a4＜…，那么满足an≥4的所有n中的最小值只能是3，所以b4=3.

师：太正确了，你太懂了.你能不能向大家解释具体地讲解一下“a3=4，则b4=3”与新定义的关系？

生2：“a3=4”就是数列｛an｝中的一项，“b4=3”中的“b4”满足不等式的an≥4成立的所有n中的最小值，“4”就是定义中的“m”，“3”就是满足不等式“an≥4=a3”的所有n中的最小值，因为｛an｝是单调增数列的，所以n中的最小值是3.

（教师同时板书：

数列｛an｝，对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值；

数列｛an｝，对于正整数4，b4是使得不等式an≥4成立的所有n中的最小值）

师：大家有点眉目了吧？那么后一句话大家肯定也能翻译一下吧？（学生讨论）

一个学生展示初步思考结果，部分学生边看边问，其他学生继续讨论，板书如下：

生3：“若数列｛2n－1｝，对于正整数m，bm是使得不等式2n－1≥m成立的所有n中的最小值n=（m+1）.”

生3：是的.

生4：（不少同学显然在庆祝解题成功，但有位同学不买帐）结果不对吧？

师：为什么？

生4：“n”应该是整数吧，那么“所有n中的最小值”也应该是整数，而“n=（m+1）”怎么能保证总是整数呢？

师：只顾得高兴了，我们都被胜利冲昏头脑了，那怎么办？

生4：要分m为奇数和偶数进行分类吧？实际上就是求数列：b1，b2，b3，…，bm的通项公式.

师：问题转化得很好，大家求一下数列｛bm｝的通项公式.

评析：对于较难的问题，教师可以先从常规思考方式入手提问，通过不断地进行追问，引导学生成功获得解题思路，进而培养分析问题、解决问题的能力.

二、探索追问激发解题灵感

案例2若m个不全相等的正数a1，a2，…，am依次围成一个圆圈，使得每个数ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相邻两个数平方的等比中项，则正整数m的最小值是多少？

师：本题考查的内容是什么？

生1：表面上看，这是一道等比数列题.

生2：每项围成一个圆圈，好像是排列组合题.

师：在以前做过的题型中似乎查不到一个确切的数学模型，找不到一种解题模式可以套用.但是我们写几项总是可以的吧？

生3：因为每个数ak（1≤k≤n，k∈N）都得是其左右相邻两个数平方的等比中项，不妨任意取两个数，比如2，3，我们不能写出它第三项？即，再写第四项是，在写的过程中发现每一项都是前两项的商，这样写起来就方便了：2，3，，2，3，还可以发现，它们是周期出现的，最小正周期是6，到此本题答案应该是6.

评析：在解题中面对一道难题，虽然绞尽脑汁，灵感也总是蹦不出来，自己着急，老师也替学生发急.其实题目中的每个条件也都具有自己的特定含义，不妨把它们转化一下，哪怕是一小步，写一写、算一算，也许在写的过程当中，在算的结果中可以得到一些启发.

三、归纳追问落实解题能力

案例3在等差数列｛an｝中，数列的前项和Sn=2n2－n，，若数列｛bn｝是等差数列，则非零常数c的值为_________.

笔者请一位学生在黑板上板书了下列过程：

本题是一道中档的填空题：方法很简单，大部分学生都采用了这种方法，但是笔者还是从以下几个角度进行了追问：

（1）解法中体现了哪些数学思想？

（2）是通性通法还是特殊解法？

（3）本题作为填空题，方法是否最简？

（4）本题是计算题型，如果改为证明题，这个解法是否完美？

师：为什么会这么想呢？

生1：既然条件已经告诉我们，数列｛bn｝是等差数列，那么它的前三项至少应该满足等差数列吧！

师：那么你是利用什么思想求解的？

生1：这就是老师常说的数列问题要想到特殊化，就是特殊化的思想.

师：本题作为填空题，这种方法是否最简？

生2：不是最简的.我还有一种方法，是利用等差数列为一次函数的性质，可以直接观察出来（上前板书）：因为bn=当c=0时，bn=2n－1或者当c=－时，b=2n，故c=－或0（舍）.n

师：很好，我也是这么想的.但是我还是有点担心，如果这是一道证明题，你的方法以及第一种解法，总感觉缺点什么.

生2：是不是缺少证明呀？等差数列不是一次函数吗？奥，对了，如果是证明题，还应该用定义证明一下.不过现在是填空题，所以说我的方法最简的.

师：是，大家看看第一种解法要是作为证明题的话，是不是也缺少证明？

生1：是的，“｛bn｝是等差数列”与“2b2=b1+b3”不是充要条件，需要验证“c=－时，｛b｝是等差数列”.

n师：不论是填空题还是解答题，还有其他的方法吗？生3：令b=kn+b（k，b为常数），因此可以有b==

nn=kn+b应该恒成立，解得c=或0（舍）.

生4：由于｛bn｝是等差数列，常规思路是利用bn+1－bn是常数，因此bn－bn－1==d（常数）应该恒成立，解得c=－.

师：大家觉得从规范的角度看，前面的两种方法都需要补充证明，那么上述两种方法是否也需要补充？

生：第三种方法是第二种方法的变异，需要证明一次函数bn=kn+b是等差数列；第四种方法利用定义，很完美.

师：第四种方法堪称完美，但是遗憾的是运算量不会像该同学说的那么轻松吧？况且，后两种方法的原理是利用了多项式恒成立吧？这个在教材中也是没有的，不够可靠.要是遇到高考试卷很简单，难免要扣分.

这样的一节课下来，教师感觉轻松，学生感觉很有成就感，基本上实现了预期设想，而且还有一些非预设性的生成.这样的教学设置符合高效课堂的要求，这一切都来自教师主导作用的发挥.教师的主导作用的最重要的表现就是“追问”，这也是高效课堂中评价教师基本功的一项重要指标.希望广大同行在教学中不断进行深入探究，进而有效落实新课改的理念.