一类广义时滞扩展大系统H鲁棒分散关联镇定

李小华，严　慰

(辽宁科技大学 电子与信息工程学院，辽宁 鞍山 114051)



一类广义时滞扩展大系统H鲁棒分散关联镇定

李小华，严慰

(辽宁科技大学 电子与信息工程学院，辽宁 鞍山 114051)

研究一类具有状态时滞的广义互联大系统在结构扩展时的分散状态反馈H控制问题.该问题要求在不改变原广义大系统H分散控制律的基础上设计新加入子系统的H鲁棒分散关联控制律，使新子系统及扩展后的广义大系统都具有鲁棒关联稳定性.首先给出扩展结构的广义时滞大系统的数学描述，然后利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式(linear matrix inequality,简称LMI)的方法，在广义大系统容许性的基础上，给出了广义时滞扩展结构大系统鲁棒分散关联镇定的充分条件及状态反馈控制器的设计方法，且该控制器满足给定的H性能.

广义时滞扩展结构大系统；鲁棒分散关联镇定；状态反馈控制；线性矩阵不等式

在实际控制系统中，由于元器件的老化、灵敏度不够以及信息传递的延迟等原因，时滞的现象不可避免.而广义时滞系统是比正常时滞系统更加广泛的一类系统，所以，对广义时滞系统的研究具有重要的理论意义和实用价值.近年来，对广义时滞系统稳定性与鲁棒控制的研究已取得许多的成果[1-5],特别是对广义时滞大系统的鲁棒稳定性和分散鲁棒控制问题也已有一些研究.针对时滞关联不确定广义大系统，有：基于Lyapunov方法研究其广义输出反馈的时滞相关分散鲁棒镇定问题[6]；基于线性矩阵不等式(linear matrix inequality,简称LMI)和Lyapunov方法研究一类不确定性关联时滞广义大系统的分散镇定问题[7-8]；利用Lyapunov方法，研究状态时滞离散广义大系统的线性情形和非线性情形的稳定性问题[9]；基于状态时滞Lyapunov-Krasovskii泛函的方法和大系统分散控制理论研究一类模糊时滞广义大系统H分散控制问题[10].这些文献都没有考虑广义时滞大系统的关联稳定性，更没有考虑广义时滞大系统发生结构扩展时系统的关联镇定问题.因为在当今社会的飞速发展中，大系统的结构扩展是十分常见的,如电力系统的在线扩容、交通系统控制区域的扩大等.这种结构变化会破坏系统的稳定性，相关文献早已注意到这个问题[11]，并采用频域法对此类大系统进行了关联镇定的研究，且获得一些针对该问题的研究成果[12-13].然而，对于广义大系统结构扩展方面的研究及广义时滞大系统结构关联镇定方面的研究尚未见报道.

作者利用Lyapunov稳定性理论和LMI研究一类状态时滞广义互联大系统在结构扩展时的分散H状态反馈控制问题，建立了此类广义时滞扩展结构大系统的数学模型，给出了系统鲁棒分散关联镇定的充分条件，并给出了新加入子系统关联镇定状态反馈控制器的设计方法.该控制器可使新子系统及扩展后的闭环大系统渐进稳定，且满足给定的H性能指标.

1　广义互联大系统模型及预备知识

考虑一类由N个子系统构成的广义时滞互联大系统SN，其数学描述为

(1)

(2)

其中

各子系统间的关联矩阵可表示为

(3)

当结构扩展时，有新子系统加入大系统，可用图1的形式明确表示出结构扩展的情况.

图1　广义时滞扩展结构大系统基本结构Fig.1　The basic structure of the large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction

新加入的子系统SN+1的数学描述为

(5)

(6)

将式(5)写成如下闭环形式

(7)

(6)和(7)式可进一步写为

(8)

其中

(8)式表示出广义时滞扩展结构大系统的闭环模型.

定义1[14]若存在s∈C，使得det(sE-A-Ade-sτ)≠0，则称广义时滞扩展结构大系统(8)是正则的.

定义2[14]如果广义时滞扩展结构大系统(8)正则、稳定、无脉冲，则称该系统是容许的.

(9)

则称系统(8)是渐进稳定的，且具有H性能.

引理1[16]设X和Y是具有适当维数的向量或矩阵，则∀ε>0，有

(10)

2　主要结果及证明

假设1原结构子系统已具有鲁棒H分散关联稳定的状态反馈控制律，且正则、无脉冲、关联稳定.

假设2新加子系统SN+1同样满足正则无脉冲条件.

下面考虑扩展结构广义时滞互联大系统在具有不确定外界扰动时的H鲁棒分散控制问题.对这样的扩展结构系统进行控制设计，基本出发点是在不改变原结构的分散控制律的基础上，设计新加入子系统的H鲁棒分散控制律，使得新子系统及扩展后的大系统均具有关联稳定性并且具有H性能.

定理对于给定的广义时滞扩展结构大系统(8)，如果存在正定矩阵PN，PN+1，RN，RN+1和矩阵LN+1,MN+1，以及正实数β,γN,γN+1和常数δ，满足下面的不等式

(11)

(12)

其中

则系统(8)可鲁棒分散关联镇定且具有给定的H性能指标.其新加入的子系统的鲁棒分散镇定控制律可由求出.

证明由文献[18]可知，若要保证广义扩展结构大系统(8)正则无脉冲即容许性的条件，则必须满足

(13)

(14)

其中：β取任意小的正常数.这样等式的形式转变成了线性矩阵不等式的形式，展开后可以得到定理中的(11)式.

选择Lyapunov函数

(15)

其中

式(15)对时间的导数为

(16)

由引理1，(16)式得

(17)

设λmax(QTQ)=η，λmax(QTQ)表示QTQ的最大特征值.根据假设3,有

(18)

再令α2η=δ2，则有hTh≤δ2xT(t)x(t).针对系统(8)，当ω(t)=0，有

(19)

其中

(20)

如果Φ<0成立，则系统(8)是渐进稳定的.(20)式中，有

(21)

将(21)式带入到(20)式并展开得

(22)

其中

下面考虑H性能，即证明‖‖,∀T>0成立，假设系统满足零初始条件，考虑泛函指标

(23)

对(23)式变形得

(24)

由于在系统的零初始条件下V(x(T))≥0，故有

(25)

其中

(26)

对(26)式用Schur补引理可得

(27)

将(27)式改写成(28)式的分块矩阵的形式

(28)

其中：(28)式中的Φ即为(20)式.设ek为单位阵的第k列，如果Γ<0成立，则

故扩展后的广义时滞大系统也满足H条件，即系统(8)是渐进稳定的且具有给定的H范数界γ.将Γ<0展开并且两边同乘,I,I,I,I,I,I,I,I).设，利用Schur补引理,Γ<0可以等价为

(29)

由于表示结构关联的Fij从1变为0或从0变为1时, 系统互联的变化仍在互联项所约束限制的范围内, 故控制律KN+1可以使广义时滞扩展结构大系统关联稳定并且具有给定的H性能.

3　结束语

论文利用Lyapunov稳定性理论和LMI方法研究了一类广义时滞大系统在结构扩展时的状态反馈系统H鲁棒分散控制问题，给出了这类系统渐进稳定的充分条件以及相应状态反馈控制器的设计方法.该方法可在不改变原系统分散控制律的基础上，通过设计新加入子系统的状态反馈控制律，使新加入的子系统及扩展后的广义时滞大系统均是稳定且关联稳定的,同时还保证了广义时滞大系统正则和无脉冲.

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(责任编辑朱夜明)

Robust decentralized H-infinity connective stabilization for a class of large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction

LI Xiaohua , YAN Wei

(School of Electronic and Information Engineering, University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051,China)

Robust decentralizedH-infinity control problem base on state feedback for a class of state time-delay large-scale descriptor systems with expanding construction was studied in this paper. So-called expanding construction was that there was a new subsystem to be added in the original system which was running. Firstly, the mathematical description of large-scale descriptor time-delay systems was given. Then, based on admissibility of the descriptor large-scale systems, the sufficient conditions of robust decentralized connective stabilization were obtained for the descriptor large-scale system with expanding construction by using Lyapunov theory and LMI approach. And the design approach satisfyingH-infinity performance for the state feedback controllers was presented.

large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction; decentralized connective stabilization; state feedbackH-infinity control; LMI

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.02.001

2015-05-31

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(61403177)

李小华 (1964-)，女，河南郑州人，辽宁科技大学教授，博士.

TP273

A

1000-2162(2016)02-0001-08