经历动态过程,还原思维历程---以一道几何题的解答为例

湖北省秭归县归州镇初级中学　叶先玖

经历动态过程,还原思维历程
---以一道几何题的解答为例

运动几何问题以平移、旋转、翻折等图形变换方式呈现,代数、几何核心知识联袂,动静有序,充满创意,凝聚着命题者的智慧与心血.受时间等因素的影响,批阅或评讲时,过于迷信答案,或受参考答案先入为主的制约,就会考虑不周而出错,或不能揭示思考过程,或把静态误认成动态问题,从而错失提升学生解决问题能力的良机.笔者就八年级上学期作业中的一道题的解答及改编为例,就如何引导学生揭示解答动态几何问题的思路历程,抛砖引玉,与同仁交流.

一、原题呈现

原题:如图1,已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC.

(1)若△ABC中,∠B<90°,D为BC上的一点,点E在△ABC的外部,求证:AD=AB.

(2)若△ABC中,∠B>90°,D在CB的延长线上,点E在△ABC的下方,则(1)的结论是否仍然成立?若成立,请在图2中画出图形,并加以证明;若不成立,请说明理由.

图1

图2

笔者百度了下,发现网上呈现的解答都和参考答案完全一致,现摘录如下.

解:(1)因为∠EAC+∠E+∠AFE=∠EDC+∠CFD+∠C,而∠EAC=∠EDC,∠AFE=∠CFD,所以∠C=∠E.

因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC,从而∠BAC=∠DAE.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,所以AB=AD.

(2)如图7,AE与DC交于F.

因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠EFD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,所以∠C=∠E.

因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB,从而∠DAE=∠BAC.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,则AB=AD.

二、思考

经过仔细解答,发现各类参考答案并没有出错.由于△ABC是固定的,根据题目条件能证得△BAC≌△DAE,得到AB=AD,所以根据条件只能画出唯一的图形,即图7,从而得出唯一正确的答案,所以原题是一道静态几何题.

但实际解答中,对于第二问,部分学生把点E在△ABC的下方误认为是动点,所以依照条件,不同学生在作业本上分别画出了不同于上述答案的图形,从而出错.应该说,这部分学生思路是值得肯定的.但由于审题不准,把静态几何题误读为动态问题,出现了解答不严谨的错误.至此,难免产生了两点疑问.一是同题同解图却不同,那些看似符合题意的图形,是不是会有不同于参考答案提供的结论或推理过程呢?换句话说,参考答案或许掩盖了解决这类问题的思维历程.二是依照答案那样解答和评讲,能否诠释命题者的意图,学生是否就能获得解决这类问题的方法和经验呢?也就是说,针对学生的解答错误,可不可以改编,使得评析时更好地引导学生感受线段AE的运动过程呢?

试题立意解读:本题选自湖北《长江全能学案同步练习册》八年级上册第28页第9题,是在学生学习了全等三角形四个判定方法后,选配的一道习题.题目意图很明显,以等腰三角形和"X"型基本图形为背景,借助全等变换,全面提升学生的推理论证能力.对八年级学生来说,有一定的训练价值.但原题实质上是一道静态几何题,基于追问学生解答出现的"错误",突破识图认识局限性和封闭性[1],针对学生审题错误,适时追问:固定A、C,让B成为一动点在射线CM上运动,会有怎样的图形?也就是让线段AB成为变化值,就是一道很好的动态几何题.进行变式改编,引领学生与原题对比研讨[2],对审题进行有效纠错,积累审题经验,同时为学生掌握动态几何问题的解题策略早布局,有效训练学生的思维能力,让他们掌握解决动态几何问题的策略.

针对学生做作业时出现的问题,为了更好地体现本题的命题意图,笔者对原题进行了整合.

改编题:如图1,已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC.

(1)若△ABC中,∠B<90°,D为BC上的一点,点E在△ABC的外部,求证:AD=AB.

(2)若∠C是一固定的锐角,B在射线CM上运动,连接AB,且∠B>90°,D在CB的延长线上,点E在△ABC的下方,则(1)的结论是否仍然成立?若成立,请在图3中画出图形,并加以证明;若不成立,请说明理由.

图3

改编后,在尊重原题立意的基础上,对于绝大部分学生来说,能很好解决学生审题带来的解答错误,使得题目更有区分度,从而更好地训练学生的思维.在图1的基础上,把AE绕A顺时针旋转,由于AC=AE,发现此时E与C正好重合,如图4,但此时,显然与点E在△ABC的下方这个条件不符,应该舍去.再继续旋转便得到图5;继续旋转,得到E正好落在AB的延长线上,得到图6;继续旋转,便得到图7,得到和参考答案一样的解答图.

图4

图5

图6

图7

解决一个问题,常会从特殊到一般,找到解决问题的办法后,对这个问题进行系统研究.例如改编题,针对学生画出的错图,是不是可以将错就错,开发错误资源,把静态问题改编成动态问题,使之更有利于教学?一方面更好地关注学生审题;另一方面也能引导学生经历运动过程,借助定位分析,从而揭示问题的本质,突破动点分类难点[3],获得解决问题的经验,得到正确答案.对改编题,在排除图4这种情况后,对第二问可对AE的位置分成三种情形:一是AE落在∠BAC内部;二是AE落在∠BAC的边AB的延长线上;三是AE落在∠BAC外部.可进行以下全面的解答.

如图5,AE与DC交于F.因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠EFD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,所以∠C=∠E.

因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD+∠EAB=∠EAC+∠EAB,从而∠DAE=∠BAC.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,则AB=AD.

如图6,继续旋转,得到E正好落在AB的延长线上.因为∠EAC+∠C+∠ABC=∠EDC+∠EBD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠ABC=∠DBE,所以∠C=∠E.

由∠BAC=∠DAE,AC=AE,∠C=∠E,得△BAC≌△DAE,则AB=AD.

如图7,AE与DC交于F.因为∠EAC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EDC+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,则∠C=∠E.

因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB,从而∠DAE=∠BAC.

由∠BAC=∠DAE,AC=AE,∠C=∠E,得△BAC≌△DAE,则AB=AD.

三、解后反思

解决运动几何问题的关键是抓住运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系.如何找出这些关系呢?必要的一步就是引导学生认真分析运动过程,画出各种情形下的静态图形,通过画图让学生经历探索的过程,发现图形性质及图形变化,并合情推理,掌握数学建模方法,提升学生获取信息和处理信息的能力.

1.优先观察,特殊探路

动态几何特点:问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系.利用几何直观,找到临界点,以特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置为切入点,为解决问题探究基本思路.对于改编题,解题过程中需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动变化的全过程,关注AE与∠BAC的位置关系,找出AE与AB及AC所在直线重合这两个临界点,关注当AE在∠BAC内部与外部之间运动时,AE可能与AB、AC重合这两种位置关系,从而引导学生从这两种特殊图形入手,分别画出上述四种符合条件的图形,化静为动,在每种运动情况下对应的图形中去探求运动中的不变量、不变关系或特殊关系,从而获得动中取静、静中建模的解题经验[4].

2.直观猜想,慎用画板

运动问题以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.能全面考查学生的实践操作能力、空间想象能力及分析问题和解决问题的能力.往往由各种不同的、简单的、最基本的图形组合而成,把要解决的问题作为化归对象,把基本的图形作为化归目标,将复杂的图形化归为基本图形,再用图形的性质就可以求解[5].确定好分类标准,画出各种图形是解题必要的一步.问题是:在不使用几何画板演示的情况下,如何画出各种运动情形对应的图形?

其实,学生是有办法的,有的学生能很好地运用作图工具,这当然很好.万一学生不通过思考,只画出其中一种运动的对应图形,这时怎么办?分析条件,特别是一些特殊条件,猜想结论,思维过程中会有意外的收获.注意题中AE=AC,作图习惯好的学生可能会利用手中的圆规,以A为圆心,AC为半径画弧,从而找出符合条件的E点的轨迹,画出正确的图形;也有的学生兴许在△ABC的下方胡乱点出E点,从而画出符合条件的情形,进行了不全面的解答.

诚然,课堂中,几何画板在解决运动型几何问题时有着很大的优越性,是师生们常用的武器.但很多时候,由于几何画板课件演示时机不当,导致形象直观代替了逻辑推理,学生根本没有形成解决这类问题较为系统的方法,甚至于当没有几何画板支撑时,学生针对原题画出了符合条件的错误图如图4、5、6(正好符合改编题),进行解答时,将错就错,再现思维历程,引导学生纠错,是不是更能很好地培养学生的思维?甚至当少数学生不小心恰好把E点画在BC和AC的延长线组成的区域,从而错误地作不出同时符合条件∠BAD=∠EAC=∠EDC的图形,造成解答困难,针对这种情形,解决办法是有的,但不宜全班评讲:此时设AE交BC的延长线于N,连接CE,由∠ABC>90°,得∠ACB<90°,∠ACN>90°,而∠ACE=∠ACN+∠NCE,从而∠ACE>90°,根据三角形内角和定理得到∠AEC<90°,则AC

3.建立模型,计算说明

近几年考查探究运动中的特殊图形的性质,以探究特殊角或其三角函数、线段长或面积的最值为主.解决时,引导学生通过分析,经历图形动态过程,从特殊出发,考虑极端,合理分类,重现各种运动情况下对应的静态图形;再用模型思想化归为熟悉的几何模型或代数模型,从多变的图形中呈现不变的关系,充分发挥几何直观的重要作用,用动态眼光去分析[6],找准动态图形的临界点,从特殊出发,最后通过规范求解完成整个题目的推理、计算.通过解法多样性的探讨,学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程,充分理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,积累最优解法的经验,用规范书写表达还原解答的思维历程.

很多静态几何题,如果进行合理改编,就能成为很好的动态几何题,一动一静,对比训练,在提升学生解决问题能力的同时,也能很好地培养学生的质疑精神,更好地提升他们的思维品质.动态几何问题练习,有助于培养学生综合解题的能力,深化数学知识理解,丰富学生的解题营养,提升思维品质.引导学生从题设到结论,从内容到图形,从直观到隐蔽,捕捉题干中的重要结点,辨识图形中的分界点,发现合理的解题要点,架设由题设条件通往终极目标的桥梁,从而迅速把握解题策略.

1.刘东升.追问"争议错题",思辨"认识封闭"---从一道图像信息题的"争议"说起[J].中学数学(下), 2015(7).

2.李海燕.专题突破再反思,变式改编为研讨---以2015年江苏镇江第28题为例[J].中学数学(下),2015(9).

3.邓达,余献虎.巧用动态定位分析,突破动点分类难题[J].中国数学教育(初中版),2015(7-8).

4.谭俊.化动为静妙解动态类问题[J].数学课程实践与探索,2011(1).

5.奚喜兵.谋定而后动:几何动点问题的解决策略[J].中学数学(下),2015(5).

6.张韦强,探究"一对一"图形的多变性与不变性[J].中学数学教学参考(中),2013(10).