例谈新知教学设计的步骤

2016-02-16江苏省南京市江浦高级中学文昌校区王礼之

中学数学杂志 2016年1期

☉江苏省南京市江浦高级中学文昌校区　王礼之

例谈新知教学设计的步骤

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众所周知，数学新知教学是数学教学最核心的部分．数学家、中科院院士王元等多次在公共场合谈及数学教学，说到底是玩数学概念的，而数学概念恰是数学新知的一部分．近年来，随着教育应试的愈演愈烈，我们也不难发现很多地区在概念教学、新知教学中也极其简化这些新知感受、理解的过程，更多地是从后续解题角度去理解新知，通过训练、解题去理解新知成为了当下数学教学的普遍现象．

这种问题一直存在于数学教学中，当应试更被看重的时候，这种以解题教学替代其余多元教学的方式成为了更一般化的现象．笔者记得章建跃先生多次在本省谈及数学概念新知教学，其说的较多的一句话是：“你理解这个课为什么这么设计？”对于很多老师常常将教材中的例题处理、替换，其又常常问及：“你为什么换掉了教材中的例题？你的处理好在哪里？”等等.这种问题多次让教师目瞪口呆，哑口无言．笔者认为，这正是教师设计新知教学时，对于如何处理教材、引用教材并未作出深层次的思考，更多地是站在解题的角度去思考一堂课，而未从知识的角度、作用、长远的发展去思考一堂课，这是教师新知教学处理亟需提高之处．本文以笔者研究的《一元二次不等式及其解法》第一课时为例，结合自身的一些设计来谈谈新知教学的一些想法，恳请指出不足之处．

一、地位与作用

教学设计首先需要了解教学内容的地位与作用，这是设计第一要素：

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，它是解不等式的基础和核心．在高中数学中，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、导数、解析几何、三角函数等．概括地说，本节课的地位体现于它的基础性，作用体现于它的工具性．

一元二次不等式和二次函数、一元二次方程是中学数学中的核心内容．一元二次不等式能部分地反映函数的部分性质．如，什么时候二次函数的值大于零？什么时候二次函数的值等于零？什么时候二次函数的值小于零？在函数单调性的定义中，也是利用不等关系来表示的．这是函数性质的主要方面，有助于加深对函数的认识和理解．

实际上还可以通过导函数来反映原函数的性质，由于研究函数主要是研究函数的变化关系，一元二次不等式正好给我们提供了研究函数变化的方法．例如，一元三次函数的变化问题就可以通过它的导函数，即二次函数是大于零还是小于零来判断．

二、教学与安排

第一种安排：在高一必修1第一章《集合》的讲授过程中，运用因式分解解一元二次不等式，把它的解集作为集合运算的载体，有利于强化学生的运算能力，复习因式分解起到了初高中的衔接作用．但这只强调了解一元二次不等式“数的性质”，且只适合能因式分解的一元二次不等式，不利于学生理解一元二次不等式“形”的意义和解法．

第二种安排：老教材是在必修2第二章《函数》之后，从二次函数角度解一元二次不等式，较顺理成章，二次函数模型是初高中数学重要模型之一，体现了知识的螺旋上升过程，但要分配好课时．

第三种安排：新课程把本节内容设置在必修5第三章《不等式》中就比较合适，在此之前，学生高一已经学完了基本函数模型，包括一次函数、二次函数、指数函数对数函数、幂函数、三角函数、数列等，有了基本函数的知识储备，同时在数学思想方法上，学生通过学习了向量、函数与方程，有了一定的数形结合思想的意识．向量在整个高中阶段有非常重要的地位，也是几年来高考的热点，是“数形结合”标志性知识点．在《函数与方程》这节中，对函数的“形”的认识已经有了较高的基础．所以本节课主旨设计就是用数形结合的思想，把三个“二次”之间的关系，衔接“等”与“不等”的关系．不仅在知识技能上起了巩固作用，还在数学思想方法上进一步加深，有助于学生今后的高中数学学习．

三、设计的前瞻

1.如何呈现定义

在解决这一困难时，笔者大胆处理教材，舍弃课本上枯燥的应用题．通过“回顾热身”，引导学生回忆二次函数的图像、零点、方程的根等概念，设置了题组一，用具体题目明晰了函数与方程之间的关系．在题组一的基础上设置了题组二，通过函数图像的“区域”直观地呈现了“不等”关系，因此抽象出代数式，给出了一元二次不等式的定义．方程、函数和不等式是关系非常密切的“兄弟”，通过题组一的函数图像，让学生在还没有开始解决解一元二次不等式之前，就已经让它们携手上阵了．为后面本节课的重点突破，埋下了伏笔．同时题组二中“潜伏”着f（x）>0，f（x）>C，f（x）>g（x）三种不等式的基本形态，在学生的头脑中埋下种子．

2.如何突破本节课的重点

利用函数法求解一元二次不等式，是围绕学习“一元二次不等式”的主要目的展开的，并且在一元二次函数、一元二次方程学习之后，既对一元二次函数的图像、性质及一元二次方程进行了全面复习，又使得重要数学内容得到了应用，同时也有利于理解一元二次不等式的意义和一元二次函数的关系．对于其他函数，如指数函数、三角函数等的一元二次不等式，利用函数法求解也比较方便．因此利用函数法求解一元二次不等式的解是通性通法．本节课笔者重点用函数法求解一元二次不等式．

在题组一中已经出现了函数图像，在解决题组二的前两个问题时自然想到了用函数图像，但在课堂讨论中进一步归纳简化解法．之后在题组二中第三个问题的错误解法中再把解法进一步改良，在两次改良后，在题组三中学生体验，把解一元二次不等式的解法变为通法．通过一次归纳、两次改良、最后总结，使得学生的思维螺旋式上升，在不知不觉中掌握了求解一元二次不等式的解法．

3.如何安排教学

本节课始终贯穿数形结合的思想，用图像法解一元二次不等式．那么如何设计教学“用因式分解法解一元二次不等式”，存在自己的疑虑．把求解一元二次不等式的问题转化为求解一元一次不等式组的问题，是根据“数”的性质，把它理解为集合运算的一个载体，理解集合的交、并运算．一方面考虑到一元二次不等式用数轴的区间来刻画的方法，可以延伸到高次不等式的解法（数轴法）；另一方面，一元二次不等式可以用来刻画数轴上的区间，类似地可以推广：二元不等式组，可以刻画平面上的区域，三元不等式可以刻画空间中的区域．

虽然用因式分解求解一元二次不等式解决的问题具有一定的局限性，但学生对十字相乘的认识深刻，所以这里只是作为特殊技巧介绍给学生，因为一元二次不等式普遍是不能分解的二次结构．另外非一元二次不等式，使用因式分解就很难求解，例如sinx<0等等．